贝塞尔的主要贡献在天文学，以《天文学基础》（1818）为标志发展了 实验天文学 ，还编制基本星表 ，测定恒星视差， 预言伴星的存在，导出用 于天文计算的贝塞尔公式，较精确地计算出岁差常数等几个天文常数值，还 编制大气折射表和大气折射公式，以修正其对天文观测的影响。他在数学研 究中提出了贝塞尔函数，讨论了该函数的一系列性质及其求值方法，为解决 物理学和天文学的有关问题提供了重要工具。此外，他在大地测量学方面也 做出一定贡献，提出贝塞尔地球椭球体等观点。贝塞尔重新订正了《布拉德 莱星表》，并加上了岁差和章动以及光行差的改正 ; 还编制了包括比九等星 更亮的75000多颗恒星的基本星表，后来由他的继承人阿格兰德扩充成著名的 《波恩巡天星表》。
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定义：

(x) ett x1dt (x 0)
0
基本性质： (x 1) x(x)
证明：


(x 1） ett x11dt t xd (et ) t xet x ett x1dt x(x）
令t=u2
0

1



ett
1
2dt


eu2
三维热传导方程： t

a
2

2
x2

2
y 2

2
z 2


a22
分离变量： (r,t) u(r)T (t)
对u(r)，
得到： 2u k 2u （0 亥姆霍兹方程）
球坐标下：
z
r

x
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x r sin cos
x
d dx

x
dy dx


m2 x
y xy
0
参数形式的 贝塞尔方程
=1
d dx
x
dy dx


m2 x
y
xy
0
贝塞尔方程
取： k(x) 1 x2、q 0、 1
d dx
(1

x2
)
dy dx


y

0
勒让德方程
二、伽马函数的基本知识
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''() m2() 0
Z''(z) 2Z(z) 0
2
d 2R
d 2


dR
d

(k 2
2 ) 2

m2
R

0
x (k 2 2) y(x) R()
贝塞尔方程
x2
d2y dx2

x
dy dx

x2
m2
球贝塞尔方程
k=0
欧拉方程
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1
s in
d
d
s in

d ( 2 d
m2 ) 0
sin 2
x cos y(x) ( )
连带勒让德方程：
d dx
(1
x2)
dy dx

( 2

m2 1 x2
)y
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德国天文学家，数学家，天体测量学的奠基人。1784 年7 月22日生于 明登 ，1846 年3月17日卒于柯尼斯堡。15岁辍学到布莱梅一家商行学徒，业 余学习天文、地理和数学。20岁时发表了有关彗星轨道测量的论文。1810年 任新建的柯尼斯堡天文台台长，直至逝世。1812年当选为柏林科学院院士。

0
m=0
勒让德方程：
d dx
(1

x2
)
dy dx



2
y

0
柱坐标下：
z
r

x
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x cos

y


sin

y
z z
2u k 2u 0
1



(
u )

1
2
2u
2
2u Βιβλιοθήκη z2 k 2u0
u(,, z) R()()Z(z)
0
0
0
0

(1) etdt et 1 0 0
(2) 1 (1) 1
(3) 2 (2) 2!
(4) 3(3) 3! (n 1) n!
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求证： 1 2

(x) ett x1dt

y

r
sin

sin

y z r cos
2u k 2u 0
1 r2
r
r 2
u r
1
r 2 sin


s in

u


1
r 2 sin 2
2u
2
k 2u
0
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设u(r, ,) R(r)( )()，代入原方程
1837年，贝塞尔发现天鹅座61正在非常缓慢地改变位置， 第二年，他宣布这颗星的视差是0.31弧秒，这是世界上最早 被测定的恒星视差之一。
一、几个微分方程的引入
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三维波动方程：
2
t 2

a
2

2
x2

2
y 2

2
z 2


a22
y0
另一途径：
d dx
k(x)
d d
y x


q
(x)
y



(x)
y

0
,
(a x b)
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Sturm-Liouville（ 施 图姆-刘维尔）型方程
取：k(x) 1、q (x) 0、 (x) 1
d2y dx2

y

0
亥姆霍兹方程
取：k(x) x、q (x) m2 、 (x) x
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第四章：贝塞尔函数
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本章提要:
• 几个微分方程的引入 • 伽马函数的基本知识 • 贝塞尔方程的求解 • 贝塞尔函数的基本性质 • 贝塞尔函数应用举例
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参考了孙秀泉教授的课件
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贝塞尔函数是贝塞尔方程的解。除初等函数外， 在物理和工程中贝塞尔函数是最常用的函数，它们 以19世纪德国天文学家 F.W.Bessel 的姓氏命名，他 在1824年第一次描述过它们。
''() m2() 0
1
s in
d
d
s in

d ( 2 d
m2
sin 2 ) 0
d r 2 dR (k 2r 2 2 )R 0
dr dr
k=0
d r 2 dR 2R 0
dr dr