由（3）和（4）式相加减分别可得
2 J 1 ( x) J 1 ( x) J ( x) (5) x
J 1 ( x) J 1 ( x) 2 J ( x) (6)
第四章-贝塞尔函数的性质
4
4
注：从这些递推关系可以得到 ( x ) J1 ( x ) J0 (把 0 代入(3)即得) 注：对所有正整数m, J m ( x) 都可以用 J 0 ( x) 和
xJ ( x) J ( x) x J 1 ( x) (3)
( x) J n 1 ( x) J n 1 ( x) 2J n
2n J n 1 ( x) J n 1 ( x) J n ( x) x
J ( x) xJ ( x) x J 1 ( x) (4) 2 J 1 ( x) J 1 ( x) J ( x) (5) x J 1 ( x) J 1 ( x) 2 J ( x) (6)
第四章-贝塞尔函数的性质
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1 2n 1 x J 1 ( x ) ( 1) n ( ) 2 (2n 1)!! 2 n 0 2 n! 2n
2 n x (1) x n 0 (2n)!

2n
2 cos x x
2 cos x J 1 ( x) x 2
第四章-贝塞尔函数的性质
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(2)证明固有函数正交性
r 2 R(r ) rR( r ) ( r 2 2 ) R ( r ) 0 固有值问题 | R (0) | R ( R0 ) 0， (13)
d dR (r ) 2 (r ) ( r ) R (r ) 0. dr dr r 根据Sturm-Liouville理论，其固有函数系 J (n r ) 在区间[0,R0]上带权r正交，即
第四章-贝塞尔函数的性质
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一般地有
J
1 m 2
( x) (1)
m
2 x
m 1 2
m
1 2
1 d m sin x ( ) ( ), (9) x dx x
2 J x 1 ( x) ( m ) 2
它是算子
1 d x dx
1 d m cos x ( ) ( ). (10) x dx x
xJ1 ( x) 2 J 0 ( x) c.
第四章-贝塞尔函数的性质
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诺伊曼函数也有与第一类贝塞尔函数相同的递推 关系式，只不过将上述(1)—(6)中的 J v ( x) 换成 N v ( x )
第四章-贝塞尔函数的性质
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二. 半整数阶贝塞尔函数 第一类和第二类贝塞尔函数都不是初等函数，但是 半整数阶贝塞尔函数是初等函数，即若m是整数则 时，J 1 ( x) 和 N 1 ( x ) 都是初等函数。
贝塞尔函数递推公式的应用之一就是计算贝塞尔 函数的积分。主要用于被积函数为幂函数与贝塞 尔函数的乘积的情形。
第四章-贝塞尔函数的性质
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例
求
xJ
2
( x)dx.J 1 ( Nhomakorabea) J 1 ( x) 2 J ( x) (6)
d ( x J ( x)) x J 1 ( x) (2) dx
利用递推关系可以证明， N
1 也是初等函数。 m 2
第四章-贝塞尔函数的性质
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三、贝塞尔方程的固有值问题 考虑贝塞尔方程的固有值问题
r 2 R(r ) rR( r ) ( r 2 2 ) R( r ) 0 | R(0) | R( R0 ) 0， (13)
1 d , 这里为了方便起见，我们采用微分算子 x dx
m
连续作用 m 次的缩写。例如
2
1 d sin x 1 d 1 d sin x . x dx x x dx x dx x
第四章-贝塞尔函数的性质
第四章-贝塞尔函数的性质
2
2

(n 1) (n ) (n )
J ( x)

n 0
(1) n
1 x ( ) 2 n n!(n 1) 2
d ( x J ( x)) x J 1 ( x) (2) dx
2 n 2 d d 1 x n ( J ( x ) x ) [ ( 1) ] 证明: 2 n dx dx n 0 n !(n 1) 2 2 n 2 1 2( n ) x (1) n 2 n n ! ( n 1) 2 n 0
R(r ) CJ ( r ) 利用边界条件 R ( R0 ) 0
J ( R0 ) 0
即 是这个方程的正根(我们将在后面说明该方程 有无穷多个正根)设为 0 1 2 n 则固有函数为 J (n r ) ( n 1, 2,3).
第四章-贝塞尔函数的性质
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贝塞尔函数常用递推公式： ( x ) J 1 ( x) J0 ( xJ1 ( x)) xJ 0 ( x)
( xn J n ( x)) xn J n1 ( x)
( x n J n ( x)) x n J n 1 ( x)
J ( x) d J ( x) ( ) 1 (1) dx x x d ( x J ( x)) x J 1 ( x) (2) dx
1 J 3 ( x) J 1 ( x) J 1 ( x) 2 ( sin x 1 cos x) 2 2 x 2 x x 2 3 1 d cos x 2 x . x dx x
2 J 1 ( x) J 1 ( x) J ( x) (5) x
贝塞尔函数的性质
贝塞尔函数的性质

J ( x)
n 0 一、递推公式 J 1 ( x) d J ( x) ( ) (1) dx x x

(1) n
1 x ( ) 2 n n!(n 1) 2
2n d J ( x) d 1 x 证明: ( ) [ (1) n ] 2 n dx x dx n 0 n !( n 1) 2 2 n 1 2 n x (1) n 2 n n ! ( n 1) 2 n 1
解： J 2 ( x) J 0 ( x) 2J1 ( x),
d ( xJ1 ( x)) xJ 0 ( x) dx
xJ
2
( x)dx xJ 0 ( x)dx 2 xJ1( x)dx
xJ1 ( x) 2( xJ1 ( x) J1 ( x) dx)
( x)dx) xJ1 ( x) 2( xJ1 ( x) J 0
(7)
同样可得
2 sin x J 1 ( x) x 2
(8)
10
第四章-贝塞尔函数的性质
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1 2 1 J 3 ( x) J 1 ( x) J 1 ( x) ( cos x sin x) 2 2 x x x 2
2 3 x2 1 d sin x . x dx x
2 k 1 2( k 1) x (1)k 1 2 k 2 ( k 1)! ( k 2) 2 k 0 2 k 1 1 x J 1 ( x) k (1) . 2 k 1 k ! ( k 2) 2 x k 0
m 2
m 2
证明：由于
1 2n x J 1 ( x ) (1) n ( ) 2 1 2 n 0 2 n ! ( n ) 2
1
1 2n 1 x ( 1) n ( ) 2 (2n 1)!! 2 n 0 n! 2n 1 1 1 2n 1 2n 3 1 1 (2n 1)!! ( n ) ( n ) ( n ) ( ) n 2 2 2 2 2 2 2 2
作变换
r x,
2 2 x y ( x) xy ( x) ( x v ) y ( x) 0 2
固有值为

2
(1)求固有函数、固有值 (2)证明固有函数正交性 (3)求固有函数的模
第四章-贝塞尔函数的性质
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(1)求固有函数、固有值 方程(13)的通解为 R (r ) CJ ( r ) DN ( r ), 因为 N ( r ) , ( r 0) 所以 在自然边界条件 R(0) 下,D 0,
dr
dr
r
以 J (n r ) 和 J (m r ) 分别乘以这两个方程，
第四章-贝塞尔函数的性质
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2 d d 2 J (n r ) (r J (m r )) (m r ) J (n r ) J (m r ) 0, dr dr r 2 d d 2 J (m r ) (r J (n r )) (n r ) J (n r ) J (m r ) 0. dr dr r
2 J ( r ) J ( r ) 证明 设 m 和 n 分别是对应与固有值 m 2 和 n 的固有函数，则 2 d d 2 (r J (m r )) (m r ) J (m r ) 0, dr dr r 2 d d 2 (r J (n r )) (n r ) J (n r ) 0.
12
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此外，由于
J 1 ( x ) cos( ) J 1 ( x) 2 2 2 2 N 1 ( x) J 1 ( x) sin x (11) x 2 2 sin( ) 2
J 1 ( x) cos J 1 ( x) 2 2 2 2 N 1 ( x) J 1 ( x) cos x (12) x 2 2 sin 2