!
C0 (1 v)(2 v)(3 v)L
(m 1 v)(m v)
2v
1 (1
v)
(1)m
22m m
!
1 (1 v)(2 v)(3 v)L
(m 1 v)(m v)
2(2mv) m
!
(1)m (1 v)(1 v)(2 v)(3 v)L
(m 1 v)(m v)
(1)m
2(2mv) m ! (m 1 v)
C0 (c2 v2 ) xc C1[(c 1)2 v2 ]xc1 {Ck [(c k )2 v2 ] Ck2}xck 0 k 2
要使等式两边成立，则x各次幂的系数为零
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(1) (c2 v2 ) C0 0 (k 0)
(c2 v2 ) 0
(2) [(c 1)2 v2 ]C1 0 (k 1)
v阶贝塞尔方程的通解： y AJv (x) BYv (x) 如果v不是整数，其通解还可表示为
y AJ v (x) BJ v (x)
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贝塞尔函数的图象
第二类贝塞尔函数的图象 贝塞尔、牛曼函数的图象
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J
v
(
x)
m0
m
!
(1)m (m 1
v)
x 2
2mv
v阶第一类 贝塞尔函数
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令
y1
Jv
(x)
um
m0
(x)
m0
m
(1)m !(m 1
v)
x 2
2mv
对于任意x(-,+)，
lim
um1 ( x)
x
2
lim
1
0
m um (x) 2 m (m 1)(m 1 v)
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第四章：贝塞尔函数
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本章提要:
• 几个微分方程的引入 • 伽马函数的基本知识 • 贝塞尔方程的求解 • 贝塞尔函数的基本性质 • 贝塞尔函数应用举例
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参考了孙秀泉教授的课件
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贝塞尔函数是贝塞尔方程的解。除初等函数外， 在物理和工程中贝塞尔函数是最常用的函数，它们 以19世纪德国天文学家 F.W.Bessel 的姓氏命名，他 在1824年第一次描述过它们。
d dx
(1
x2
)
dy dx
y
0
勒让德方程
二、伽马函数的基本知识
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定义：
(x) ett x1dt (x 0)
0
基本性质： (x 1) x(x)
证明： (x 1） ett x11dt t xd (et ) t xet x ett x1dt x(x） 0
贝塞尔的主要贡献在天文学，以《天文学基础》（1818）为标志发展了 实验天文学 ，还编制基本星表 ，测定恒星视差， 预言伴星的存在，导出用 于天文计算的贝塞尔公式，较精确地计算出岁差常数等几个天文常数值，还 编制大气折射表和大气折射公式，以修正其对天文观测的影响。他在数学研 究中提出了贝塞尔函数，讨论了该函数的一系列性质及其求值方法，为解决 物理学和天文学的有关问题提供了重要工具。此外，他在大地测量学方面也 做出一定贡献，提出贝塞尔地球椭球体等观点。贝塞尔重新订正了《布拉德 莱星表》，并加上了岁差和章动以及光行差的改正 ; 还编制了包括比九等星 更亮的75000多颗恒星的基本星表，后来由他的继承人阿格兰德扩充成著名的 《波恩巡天星表》。
2
d 2R
d 2
dR
d
(k 2
2 ) 2
m2
R
0
x (k 2 2) y(x) R()
贝塞尔方程
x2
d2y dx2
x
dy dx
x2
m2
y0
另一途径：
d dx
k(x)
d d
y x
q
(
x)
y
(x)
y
0
,
(a x b)
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Sturm-Liouville（ 施 图姆-刘维尔）型方程
因此级数y1的收敛区间为 (-,+) 在x=0时，
Jv (0) 1 (v 0) Jv (0) 0 (v 0)
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再考虑c=-v情况，得到
y2
Jv (x)
m0
(1)m m !(m 1
v)
x 2
2mv
贝塞尔方程的通解为：
y AJ v (x) BJ v (x)
其中v为实数（不是整数），A、B为待定系数
对于变系数方程y+p(x)y+q(x)y=0，如果xp(x)、x2q(x)
都能在x=0附近展开成幂级数，则在这个邻域内方程有
广义幂级数解 y Ck xck k 0
(C0 0)
Ck是展开系数， c是待定常数
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y(x) xc (C0 C1x C2 x2 Ck xk ) Ck xck k 0
C0 22 (1 v)
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C4
C42 4(4 2v)
C2 4(4 2v)
C0 242!(1 v)(2
v)
C6
C62 6(6 2v)
C4 6(6 2v)
263!(1
C0 v)(2
v)(3 v)
C2m
(1)m
C0 22m m!(1 v)(2 v)(3
v)
k=0
d r 2 dR 2R 0
dr dr
球贝塞尔方程
k=0
欧拉方程
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1
s in
d
d
s in
d ( 2 d
s
m2
in 2
)
0
x cos y(x) ( )
连带勒让德方程：
d dx
(1
x2)
dy dx
( 2
m2 1 x2
)y
0
m=0
勒让德方程：
(2n)! 22n n!
n
1 2
1
(2n 1)! 22n1 n!
三、贝塞尔方程的求解
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x2
d2y dx2
x
dy dx
（x2
2）y
0
(x 0)
阶贝塞尔方程
变系数的二阶线性常微分方程，其解称为贝塞尔函数
y'' 1 x
y'
x2 2
x2
y
0
不能在x=0附近展开成幂级数，因为x=0是它的 正则奇点
y(x) Ck (c k)xck1 k 0
y(x) Ck (c k 1) (c k)xck2 k 0
代入贝塞尔方程
x2
d2y dx2
x
dy dx
（x2
v2）y
0
x2 Ck (c k 1) (c k)xck2 x Ck (c k)xck1 (x2 v2 ) Ck xck 0
Jv (x)和Jv (x)称为第一类贝塞尔函数
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当 v 为正整数或零时， (m 1 n) (m n)!，故有
J
n
(
x)
m0
m
(1)m !(m n)
!
x 2
2mn
(n 0,1,2, )
(1)m
Jn (x) m0 m ! (m 1 n)
x
2mn
2
(n 0,1, 2,L )
d dx
(1
x
2
)
dy dx
2
y
0
柱坐标下：
z
r
x
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x cos
y
sin
y
z z
2u k 2u 0
1
(
u )
1
2
2u
2
2u z2
k 2u
0
u(,, z) R()()Z(z)
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''() m2() 0
Z''(z) 2Z(z) 0
s in
u
1
r 2 sin 2
2u
2
k 2u
0
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设u(r, ,) R(r)( )()，代入原方程
''() m2() 0
1
s in
d
d
s in
d ( 2 d
m2
sin 2 ) 0
d r 2 dR (k 2r 2 2 )R 0
dr dr
取：k(x) 1、q (x) 0、 (x) 1
d2y dx2
y
0
亥姆霍兹方程
取：k(x) x、q (x) m2 、 (x) x
x
d dx
x
dy dx
m2 x
y xy
0
参数形式的 贝塞尔方程
=1
d dx
x
dy dx
m2 x
y xy
0
贝塞尔方程
取： k(x) 1 x2、q 0、 1
(m
v)
一个特解为
y
Ck xck
k 0
C0
m0
(1)m 22m m!(1 v)(2 v)(3 v)
(m v)
x2mv
C0为任意常数，通常取
C0
2v
1 (1
v)