二次函数中考综合题1、如图11，抛物线与轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），过点A的直线交抛物线于另一点C，点C的坐标为（-2，6）.(1)求a的值及直线AC的函数关系式；(2)P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，交x轴于点N.①求线段PM长度的最大值；②在抛物线上是否存在这样的点M，使得△CMP与△APN相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由.解：（1）由题意得6=a(-2+3)(-2-1)∴a=-21分∴抛物线的函数解析式为y=-2(x+3)(x-1)与x轴交于B（-3，0）、A（1，0）设直线AC为y=kx+b，则有0=k+b6=-2k+b解得k=-2b=2∴直线AC为y=-2x+2（2）①设P的横坐标为a(-2≤a≤1)，则P（a,-2a+2），M（a,-2a2-4a+6）4分∴PM=-2a2-4a+6-(-2a+2)=-2a2-2a+4=-2a2+a+14+92=-2a+122+92∴当a=-12时，PM的最大值为92②M1（0，6）M2（-14，678）2、如图9，已知抛物线y=x2–2x＋1的顶点为P，A为抛物线与y轴的交点，过A与y轴垂直的直线与抛物线的另一交点为B，与抛物线对称轴交于点O′，过点B和P的直线l交y轴于点C，连结O′C，将△ACO′沿O′C翻折后，点A落在点D的位置．(1) (3分) 求直线l的函数解析式；图9(2) (3分) 求点D的坐标；(3) (3分) 抛物线上是否存在点Q，使得S△DQC= S△DPB? 若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．(1) 配方,得y=(x–2)2–1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点为P(2，–1) ．················································································································ 1分取x=0代入y=x2–2x＋1，得y=1，∴点A的坐标是(0，1)．由抛物线的对称性知，点A(0，1)与点B关于直线x=2对称，∴点B的坐标是(4，1)． (2)分设直线l的解析式为y=kx＋b(k≠0)，将B、P的坐标代入，有解得∴直线l的解析式为y=x–3． (3)分(2) 连结AD交O′C于点E，∵点D由点A沿O′C翻折后得到，∴O′C垂直平分AD．由(1)知，点C的坐标为(0，–3)，∴在Rt△AO′C中，O′A=2，AC=4，∴O′C=2．据面积关系，有×O′C×AE=×O′A×CA，∴AE=，AD=2AE=．作DF⊥AB于F，易证Rt△ADF∽Rt△CO′A，∴，∴AF=.AC=，DF=.O′A=， ....................................................... 5分又∵OA=1，∴点D的纵坐标为1–= –，∴点D的坐标为(，–)． (6)分(3) 显然，O′P∥AC，且O′为AB的中点，∴点P是线段BC的中点，∴S△DPC= S△DPB ．故要使S△DQC= S△DPB，只需S△DQC=S△DPC ．···································································· 7分过P作直线m与CD平行，则直线m上的任意一点与CD构成的三角形的面积都等于S△DPC，故m与抛物线的交点即符合条件的Q点．容易求得过点C(0，–3)、D(，–)的直线的解析式为y=x–3，据直线m的作法，可以求得直线m的解析式为y=x–．令x2–2x＋1=x–，解得x1=2，x2=，代入y=x–，得y1= –1，y2=，因此，抛物线上存在两点Q 1(2，–1)(即点P )和Q 2(，)，使得S △DQC = S △DPB ． (9)分(仅求出一个符合条件的点Q 的坐标，扣1分)3、如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC 在第一象限内，E 是边OB 上的动点（不包括端点），作∠AEF = 90︒，使EF 交矩形的外角平分线BF 于点F ，设C （m ，n ）．（1）若m = n 时，如图，求证：EF = AE ；（2）若m ≠n 时，如图，试问边OB 上是否还存在点E ，使得EF = AE ？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若m = tn （t ＞1）时，试探究点E 在边OB 的何处时，使得EF =（t + 1）AE 成立？并求出点E 的坐标．如图，在OA 上取点C ，使AG = BE ，则OG = OE ． ∴ ∠EGO = 45︒，从而 ∠AGE = 135︒．由BF 是外角平分线，得 ∠EBF = 135︒，∴ ∠AGE =∠EBF ． ∵ ∠AEF = 90︒，∴ ∠FEB +∠AEO = 90︒． 在Rt △AEO 中，∵ ∠EAO +∠AEO = 90︒， ∴ ∠EAO =∠FEB ，∴ △AGE ≌△EBF ，EF = AE ．（2）假设存在点E ，使EF = AE ．设E （a ，0）．作FH ⊥x 轴于H ，如图． 由（1）知∠EAO =∠FEH ，于是Rt △AOE ≌Rt △EHF ． ∴ FH = OE ，EH = OA ．∴ 点F 的纵坐标为a ，即 FH = a ．由BF 是外角平分线，知∠FBH = 45︒，∴ BH = FH = a ． 又由C （m ，n ）有OB = m ，∴ BE = OB －OE = m －a ，xOE BA y CFxO E B AyCFxO EBAyCFword 版 初中数学∴ EH = m －a + a = m ．又EH = OA = n ， ∴ m = n ，这与已知m ≠n 相矛盾． 因此在边OB 上不存在点E ，使EF = AE 成立．（3）如（2）图，设E （a ，0），FH = h ，则EH = OH －OE = h + m －a ． 由 ∠AEF = 90 ，∠EAO =∠FEH ，得 △AOE ∽△EHF ， ∴ EF =（t + 1）AE 等价于 FH =（t + 1）OE ，即h =（t + 1）a ， 且，即，整理得 nh = ah + am －a 2，∴ ．把h =（t + 1）a 代入得 ，即 m －a =（t + 1）（n －a ）．而 m = tn ，因此 tn －a =（t + 1）（n －a ）． 化简得 ta = n ，解得．∵ t ＞1， ∴＜n ＜m ，故E 在OB 边上．∴当E 在OB 边上且离原点距离为处时满足条件，此时E （，0）．4、已知：直线与轴交于A ，与轴交于D ，抛物线与直线交于A 、E 两点，与轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 （1，0）． （1）求抛物线的解析式；（2）动点P 在轴上移动，当△P AE 是直角三角形时，求点P 的坐标．（3）在抛物线的对称轴上找一点M ，使的值最大，求出点M 的坐标．（1）将A （0，1）、B （1，0）坐标代入得解得∴抛物线的解折式为． ················································ （2分） yxO DEA BCxOE BAyCF G H xO EB AyCF（2）设点E 的横坐标为m ，则它的纵坐标为则E （，）． 又∵点E 在直线上， ∴．解得（舍去），．∴E 的坐标为（4，3）． ··················· （4分） （Ⅰ）当A 为直角顶点时 过A 作交轴于点，设．易知D 点坐标为（，0）．由得 即，∴． ∴． ···················································································· （5分）（Ⅱ）同理，当为直角顶点时，点坐标为（，0）． ························· （6分） （Ⅲ）当P 为直角顶点时，过E 作轴于，设．由，得．．由得．解得，．∴此时的点的坐标为（1，0）或（3，0）． ··········································· （8分）综上所述，满足条件的点P 的坐标为（，0）或（1，0）或（3，0）或（，0）（Ⅲ）抛物线的对称轴为． ·························································· （9分）∵B 、C 关于对称，∴．要使最大，即是使最大．由三角形两边之差小于第三边得，当A 、B 、M 在同一直线上时的值最大．yxO DEAB C P 1 F P 2P 3 M···········································································································（10分）易知直线AB的解折式为．∴由得∴M（，－）． ···························（11分）5、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，其顶点为M,若直线MC的函数表达式为,与x轴的交点为N，且COS∠BCO＝。