第11讲 解析几何之直线与圆的方程一．基础知识回顾（一）直线与直线的方程1．直线的倾斜角与斜率：(1)直线的倾斜角①定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴________与直线l________方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为________．②倾斜角的范围为__________．(2)直线的斜率①定义：一条直线的倾斜角α的________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝________，倾斜角是90°的直线斜率不存在．②过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2) (x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝____________.2．直线的方向向量：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线的一个方向向量为P 1P 2→，其坐标为________________，当斜率k 存在时，方向向量的坐标可记为(1，k)．34.12112212M的坐标为(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ ，y ＝ ，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式． 二．直线与直线的位置关系1．两直线的位置关系：平面上两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况．(1)两直线平行：对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1∥l 2⇔_________________.对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 2B 2C 2≠0)，l 1∥l 2⇔________________________.(2)两直线垂直：对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1⊥l 2⇔k 1²k 2＝____.对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝____.2．两条直线的交点：两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，如果两直线相交，则交点的坐标一定是这两个方程组成的方程组的____；反之，如果这个方程组只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是l 1和l 2的________，因此，l 1、l 2是否有交点，就看l 1、l 2构成的方程组是否有________．3.常见的直线系方程有：(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是：Ax ＋By ＋m ＝0 (m ∈R 且m ≠C )；(2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0 (m ∈R)；(3)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0 (λ∈R)，但不包括l4．平面中的相关距离：(1)两点间的距离平面上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离|P 1P 2|＝____________________.(2)点到直线的距离：平面上一点P (x 0，y 0)到一条直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝_______________.(3)两平行线间的距离已知l 1、l 2是平行线，求l 1、l 2间距离的方法：①求一条直线上一点到另一条直线的距离；②设l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0，则l 1与l 2之间的距离d ＝________________.三．圆与圆的方程1．圆的定义：在平面内，到________的距离等于________的点的________叫圆．2．确定一个圆最基本的要素是________和________．3．圆的标准方程；(x －a )2＋(y －b )2＝r 2 (r >0)，其中________为圆心，____为半径．4．圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是__________________，其中圆心为___________________，半径r ＝____________________________.四．点线圆之间的位置关系1．点与圆的位置关系：点和圆的位置关系有三种．圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0)，(1)点在圆上：(x 0－a )2＋(y 0－b )2____r 2；(2)点在圆外：(x 0－a )2＋(y 0－b )2____r 2；(3)点在圆内：(x 0－a )2＋(y 0－b )2____r 2.2.直线与圆的位置关系：位置关系有三种：________、________、________.判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：(1)代数法：利用判别式Δ，即直线方程与圆的方程联立方程组消去x 或y 整理成一元二次方程后，计算判别式Δ(2)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系：d <r ⇔________，d ＝r ⇔________，d >r ⇔________3.计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．(2)代数方法运用韦达定理及弦长公式|AB |＝1＋k2|x A －x B |＝＋k 2x A ＋x B 2－4x A x B ].说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法．4．圆与圆的位置关系(1)圆与圆的位置关系可分为五种：________、________、________、________、________.（2）判断圆与圆的位置关系常用方法：(几何法)设两圆圆心分别为O 1、O 2，半径为r 1、r 2 (r 1≠r 2)，则|O 1O 2|>r 1＋r 2________；|O 1O 2|＝r 1＋r 2______；|r 1－r 2|<|O 1O 2|<r 1＋r2________；|O 1O 2|＝|r 1－r 2|________；0≤|O 1O 2|<|r 1－r 2|________．（3）两圆公共弦所在的直线，方程为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋(F 1－F 2)＝0.二．典例精析题型一：求直线的方程例1：求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P (3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14； (3)过点A (1，－1)与已知直线l 1：2x ＋y －6＝0相交于B 点且AB ＝5.解:(1)设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ，若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)，∴l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0. 若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋y a ＝1，∵l 过点(3,2)，∴3a ＋2a＝1，∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0，综上可知，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0.(2)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－14³3＝－34.又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0. (3)过点A (1，－1)与y 轴平行的直线为x ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12x ＋y －6＝0，求得B 点坐标为(1,4)，此时AB ＝5，即x ＝1为所求．设过A (1，－1)且与y 轴不平行的直线为y ＋1＝k (x －1)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －6＝0y ＋1＝k (x －1)，得两直线交点为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝k ＋7k ＋2y ＝4k －2k ＋2.(k ≠－2，否则与已知直线平行)．则B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2.由已知⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －2k ＋2＋12＝52，解得k ＝－34，∴y ＋1＝－34(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0. 综上可知，所求直线的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.变式训练1：求满足下列条件的直线l 的方程：:(1)过点A (0,2)，它的倾斜角的正弦值是35； (2)过点A (2,1)，它的倾斜角是直线l 1：3x ＋4y ＋5＝0的倾斜角的一半；(3)过点A (2,1)和直线x －2y －3＝0与2x －3y －2＝0的交点．（4）求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程．解：(1)设直线l 的倾斜角为α，则sin α＝35，tan α＝±34，由斜截式得y ＝±34x ＋2， 即3x －4y ＋8＝0或3x ＋4y －8＝0. (2)设直线l 和l 1的倾斜角分别为α、β，则α＝β2∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，又tan β＝－34，则－34＝2tan α1－tan 2α，解得tan α＝3或tan α＝－13(舍去)．由点斜式得y －1＝3(x －2)，即3x －y －5＝0(3)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －3＝0，2x －3y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－5，y ＝－4.即两条直线的交点为(－5，－4)．由两点式得y －1－4－1＝x －2－5－2，即5x －7y －3＝0.（4）先解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y －1＝05x ＋2y ＋1＝0，得l 1、l 2的交点坐标为(－1,2)，再由l 3的斜率35求出l 的斜率为－53，于是由直线的点斜式方程求出l ：y －2＝－53(x ＋1)，即5x ＋3y －1＝0. 题型二：两条直线的平行与垂直例2：(1)已知两直线l 1：x ＋m 2y ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3my ＋2m ＝0，若l 1∥l 2，求实数m的值；(2)已知两直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和l 2：x ＋(a －1)y ＋(a 2－1)＝0.若l 1⊥l 2，求实数a 的值解：(1)①当m ＝0时，l 1：x ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1∥l 2②当m ≠0时，l 1：y ＝－1m 2x －6m 2，l 2：y ＝2－m 3m x －23，由－1m 2＝2－m 3m 且－6m 2≠－23，∴m ＝－1.故所求实数m 的值为0或－1. (2)直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的等价条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0. 由所给直线方程可得：a ²1＋2²(a －1)＝0⇒a ＝23.故所求实数a 的值为23. 变式训练2：已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0.试确定m 、n 的值，使(1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)；(2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.解:(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8＋n ＝02m －m －1＝0，解得m ＝1，n ＝7. (2)当m ＝0时，显然l 1不平行于l 2；当m ≠0时，由m 2＝8m ≠n －1，得⎩⎪⎨⎪⎧ m ²m －8³2＝0，8³(－1)－n ²m ≠0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝4，n ≠－2，或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－4，n ≠2.即m ＝4，n ≠－2时或m ＝－4，n ≠2时，l 1∥l 2. (3)当且仅当m ²2＋8²m ＝0，即m ＝0时，l 1⊥l 2.又－n 8＝－1，∴n ＝8. 即m ＝0，n ＝8时，l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1. 题型三: 求圆的方程例3:根据下列条件，求圆的方程：(1)经过P (－2,4)、Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6；(2)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)解 (1)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P 、Q 点的坐标分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧ 2D －4E －F ＝20，3D －E ＋F ＝－10. ①②又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0. ③设x 1，x 2是方程③的两根，由|x 1－x 2|＝6有D 2－4F ＝36④由①、②、④解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8，或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0，或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.(2)设所求方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2，根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－4x 0，(3－x 0)2＋(－2－y 0)2＝r 2，|x 0＋y 0－1|2＝r ，解得⎩⎨⎧ x 0＝1，y 0＝－4，r ＝2 2.因此所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8. 变式训练3：(1)已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为__________________． (2)若圆上一点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x －y ＋1＝0相交的弦长为22，则圆的方程是__________________． 解析：(1)设圆心坐标为(a ，－a )，则|a －(－a )|2＝|a －(－a )－4|2，即|a |＝|a －2|，解得a ＝1，故圆心坐标为(1，－1)，半径r ＝22＝2，故圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. (2)设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，说明圆心在直线x ＋2y ＝0上，即有a ＋2b ＝0，又(2－a )2＋(3－b )2＝r 2，而圆与直线x －y ＋1＝0相交的弦长为22，故r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b ＋122＝2，依据上述方程，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝－3，r 2＝52或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝14，b ＝－7，r 2＝244.∴所求圆的方程为(x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(y ＋7)2＝244. 题型四：直线与圆的位置关系例4：m 为何值时，直线2x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝5.(1)无公共点；(2)截得的弦长为2；(3)交点处两条半径互相垂直．解：(1)由已知，圆心为O (0,0)，半径r ＝5，圆心到直线2x －y ＋m ＝0的距离d ＝|m |22＋(－1)2＝|m |5，∵直线与圆无公共点，∴d >r ，即|m |5>5，∴m >5或m <－5. 故当m >5或m <－5时，直线与圆无公共点．(2)由平面几何垂径定理知r 2－d 2＝12.即5－m 25＝1得m ＝±25，∴当m ＝±25时，直线被圆截得的弦长为2. (3)由于交点处两条半径互相垂直，∴弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形，∴d ＝22r ，即|m |5＝22²5，解得m ＝±522. 故当m ＝±522时，直线与圆在两交点处的两条半径互相垂直． 变式训练4：已知直线l ：y ＝kx ＋1，圆C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝12.(1)试证明：不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点；(2)求直线l 被圆C 截得的最短弦长．证明:(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，(x －1)2＋(y ＋1)2＝12，消去y 得(k 2＋1)x 2－(2－4k )x －7＝0，因为Δ＝(2－4k )2＋28(k 2＋1)>0，所以不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点．(2)解：设直线与圆交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，则直线l 被圆C 截得的弦长AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝28－4k ＋11k 21＋k 2＝2 11－4k ＋31＋k 2，令t ＝4k ＋31＋k2，则tk 2－4k ＋(t －3)＝0，当t ＝0时，k ＝－34，当t ≠0时，因为k ∈R，所以Δ＝16－4t (t －3)≥0，解得－1≤t ≤4，且t ≠0，故t ＝4k ＋31＋k2的最大值为4，此时AB 最小为27. 题型五：圆的切线问题例5：已知点M (3,1)，直线ax －y ＋4＝0及圆(x －1)2＋(y －2)2＝4.(1)求过M 点的圆的切线方程；(2)若直线ax －y ＋4＝0与圆相切，求a 的值；(3)若直线ax －y ＋4＝0与圆相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，求a 的值．解：(1)圆心C (1,2)，半径为r ＝2，①当直线的斜率不存在时，方程为x ＝3.由圆心C (1,2)到直线x ＝3的距离d ＝3－1＝2＝r 知，此时，直线与圆相切．②当直线的斜率存在时，设方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0.由题意知|k －2＋1－3k |k 2＋1＝2，解得k ＝34.∴方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0. 故过M 点的圆的切线方程为x ＝3或3x －4y －5＝0. (2)由题意有|a －2＋4|a 2＋1＝2，解得a ＝0或a ＝43.(3)∵圆心到直线ax －y ＋4＝0的距离为|a ＋2|a 2＋1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫|a ＋2|a 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＝4，解得a ＝－34. 变式训练5：已知点A (1，a )，圆x 2＋y 2＝4.(1)若过点A 的圆的切线只有一条，求a 的值及切线方程；(2)若过点A 且在两坐标轴上截距相等的直线与圆相切，求a 的值及切线方程．解:(1)由于过点A 的圆的切线只有一条，则点A 在圆上，故12＋a 2＝4，∴a ＝± 3当a ＝3时，A (1，3)，切线方程为x ＋3y －4＝0；当a ＝－3时，A (1，－3)，切线方程为x －3y －4＝0，∴a ＝3时，切线方程为x ＋3y －4＝0，a ＝－3时，切线方程为x －3y －4＝0.(2)设直线方程为x ＋y ＝b ，由于直线过点A ，∴1＋a ＝b ，∴直线方程为x ＋y ＝1＋a ，即x＋y －a －1＝0. 又直线与圆相切，∴d ＝|a ＋1|2＝2，∴a ＝±22－1. ∴切线方程为x ＋y ＋22＝0或x ＋y －22＝0.题型六：圆与圆的位置关系例6：a 为何值时，圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2－5＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2ay ＋a 2－3＝0.(1)外切；(2)相交；(3)外离；(4)内切．解：将两圆方程写成标准方程．C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝9，C 2：(x ＋1)2＋(y －a )2＝4. ∴两圆的圆心和半径分别为C 1(a ，－2)，r 1＝3，C 2(－1，a )，r 2＝2，设两圆的圆心距为d ，则d 2＝(a ＋1)2＋(－2－a )2＝2a 2＋6a ＋5(1)当d ＝5，即2a 2＋6a ＋5＝25时，两圆外切，此时a＝－5或a ＝2 (2)当1<d <5，即1<2a 2＋6a ＋5<25时，两圆相交，此时－5<a <－2或－1<a <2.(3)当d >5，即2a 2＋6a ＋5>25时，两圆外离，此时a >2或a <－5. (4)当d ＝1，即2a 2＋6a＋5＝1时，两圆内切，此时a ＝－1或a ＝－2.变式训练6：圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心为O 2(2,1)．(1)若圆O 2与圆O 1外切，求圆O 2的方程；(2)若圆O 2与圆O 1交于A 、B 两点，且AB ＝22，求圆O 2的方程．解:(1)设圆O 2的半径为r 2，由于两圆外切，∴O 1O 2＝r 1＋r 2，r 2＝O 1O 2－r 1＝2(2－1)，故圆O 2的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝4(2－1)2. (2)设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 22，又圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，此两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB 所在直线的方程：4x＋4y ＋r 22－8＝0. ∴圆心O 1(0，－1)到直线AB 的距离为|r 22－12|42＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫2222＝2，解得r 22＝4或r 22＝20. 故圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.题型七：与直线和圆有关的最值问题 例7：已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求：(1)y x 的最大值和最小值；(2)y ＋x 的最大值和最小值； (3)x 2＋y 2的最大值和最小值．解：(1)令y x ＝t ，则x 2＋t 2x 2－4x ＋1＝0，即(1＋t 2)x 2－4x ＋1＝0. 由Δ≥0，得－3≤t ≤3.∴y x的最小值为－3，最大值为 3.(2)令y ＋x ＝m ，y ＝－x ＋m ，直线y ＝－x ＋m 与圆x 2＋y 2－4x ＋1＝0有公共点时，其纵截距在两相切位置对应的纵截距之间，而相切时有|2＋0－m |2＝3， |m －2|＝6，m ＝2±6.∴y ＋x 的最大值为2＋6，最小值为2－ 6.(3)x 2＋y 2表示圆x 2＋y 2－4x ＋1＝0上的点到原点的距离，故其最大值为2＋3，最小值为2－3.∴x 2＋y 2的最大值为7＋43，最小值为7－4 3.变式训练7：已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.(1)求y ＋2x ＋1的最大值和最小值； (2)求x －2y 的最大值和最小值；(3)求P (x ，y )点到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离的最大值和最小值．解:(1)原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆，y ＋2x ＋1的几何意义是圆上一点与(－1，－2)连线的斜率，设y ＋2x ＋1＝k ，即y ＋2＝k (x ＋1)． 当此直线与圆相切时，斜率k 取得最大值或最小值，此时|2k ＋k －2|k 2＋1＝3，解得k ＝6＋306或k ＝6－306.∴y ＋2x ＋1的最大值为6＋306，最小值为6－306.(2)x －2y 可看作是直线x －2y ＝b 在x 轴上的截距，当直线与圆相切时，b 取得最大值或最小值．此时：|2－b |5＝3，∴b ＝2＋15或b ＝2－15.∴x －2y 的最大值为2＋15，最小值为2－15.(3)∵圆心(2,0)到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离为d ＝|6＋12|5＝185，∴P (x ，y )到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离的最大值为185＋3，最小值为185－ 3. 三．方法与技巧1．要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式：k ＝y 2－y 1x 2－x 1，该公式与两点顺序无关，已知两点坐标(x 1≠x 2)时，根据该公式可求出经过两点的直线的斜率．当x 1＝x 2，y 1≠y 2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.2．求斜率可用k ＝tan α(α≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”．3．求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系数法．4．两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合．对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1、l 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2；l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是什么一定要特别注意．5．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法：是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数6．过圆外一点M 可以作两条直线与圆相切，其直线方程的求法有两种：(1)用待定系数法设出直线方程，再利用圆心到切线的距离等于半径列出关系式求出切线的斜率，进而求得直线方程．(2)用待定系数法设出直线方程，再利用直线与圆相切时交点唯一列出关系式求出切线的斜率，进而求得直线方程．7．若两圆相交时，把两圆的方程作差消去x 2和y 2就得到两圆的公共弦所在的直线方程．四．课后作业设计1．若A(－2,3)，B(3，－2)，C ⎝⎛⎭⎫12，m 三点共线，则m 的值为( A ) A .12 B ．－12C ．－2D ．2 2．若点P (a,3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离为4，且点P 在不等式2x ＋y －3<0表示的平面区域内，则实数a 的值为( D )A ．7B ．－7C ．3D ．－33．已知直线l 1：ax ＋by ＋c ＝0，直线l 2：mx ＋ny ＋p ＝0，则am bn＝－1是直线l 1⊥l 2的( B ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是( C )A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或25．圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为( D )A ．x ＋3y －2＝0B ．x ＋3y －4＝0C ．x －3y ＋4＝0D ．x －3y ＋2＝06．圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与圆C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的公切线有且仅有( B )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条7．方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的条件是( D )A.14<m <1 B ．m >1 C ．m <14 D ．m <14或m >1 8．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是( A )A ．x 2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y ＋2)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝19．点P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( A )A ．x －y －3＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．x ＋y －1＝0D ．2x －y －5＝010．已知圆O 的半径为1，P A 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么P A →·PB →的最小值为( D )A ．－4＋ 2B ．－3＋ 2C ．－4＋2 2D ．－3＋2 211．过两点A (m 2＋2，m 2－3)，B (3－m －m 2,2m )的直线l 的倾斜角为45°，则m ＝－212．直线l 1：x ＋my ＋6＝0和l 2：3x －3y ＋2＝0，若l 1∥l 2，则m 的值为－1．13．已知点(0,0)在圆：x 2＋y 2＋ax ＋ay ＋2a 2＋a －1＝0外，则a 的取值范围是(－1－73，－1)∪(12，－1＋73)． 14．圆心在直线2x －3y －1＝0上的圆与x 轴交于A (1,0)、B (3，0)两点，则圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝2．15．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦的长为23，则a ＝1.16．已知两点A (－1,2)，B (m,3)，求：(1)直线AB 的斜率k ；(2)求直线AB 的方程；(3)已知实数m ∈⎣⎡⎦⎤－33－1，3－1，求直线AB 的倾斜角α的范围． 解：(1)当m ＝－1时，直线AB 的斜率不存在；当m ≠－1时，k ＝1m ＋1.(2)当m ＝－1时，AB 的方程为x ＝－1，当m ≠－1时，AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)，即y ＝x m ＋1＋2m ＋3m ＋1∴直线AB 的方程为x ＝－1或y ＝x m ＋1＋2m ＋3m ＋1.(3)①当m ＝－1时，α＝π2；②当m ≠－1时，∵k ＝1m ＋1∈(－∞，－3]∪⎣⎡⎭⎫33，＋∞，∴α∈⎣⎡⎭⎫π6，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，2π3.综合①②，知直线AB 的倾斜角α∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3.17.已知三条直线：l 1：2x －y ＋a ＝0 (a >0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0.且l 1与l 2的距离是7510.(1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件：①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12；③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶ 5.若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由．解：(1)∵l 1：4x －2y ＋2a ＝0 (a>0)，l 2：4x －2y －1＝0，∴两条平行线l 1与l 2间的距离为d ＝|2a ＋1|25，由已知，可得|2a ＋1|25＝7510.又a>0，可解得a ＝3.(2)设点P 的坐标为(x ，y)，由条件①，可知x>0，y>0.由条件②和③，可得⎩⎪⎨⎪⎧ |2x －y ＋3|5＝|4x －2y －1|455·|2x －y ＋3|5＝2·|x ＋y －1|2，化简得⎩⎪⎨⎪⎧4|2x －y ＋3|＝|4x －2y －1||2x －y ＋3|＝|x ＋y －1|，于是可得，4|x ＋y －1|＝|4x －2y －1|，也就是4(x ＋y －1)＝4x －2y －1，或4(x ＋y －1)＝－4x ＋2y ＋1，解得y ＝12，或8x ＋2y －5＝0.当y ＝12时，代入方程|2x －y ＋3|＝|x ＋y －1|，解得x ＝－3<0或x ＝－23<0，均舍去．由⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋2y －5＝0|2x －y ＋3|＝|x ＋y －1|，化简得⎩⎪⎨⎪⎧ 8x ＋2y －5＝0x －2y ＋4＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧ 8x ＋2y －5＝03x ＝－2，解得⎩⎨⎧ x ＝19y ＝3718或⎩⎨⎧ x ＝－23<0y ＝316(舍去)．即存在满足题设条件的点P ，其坐标为⎝⎛⎭⎫19，3718.18．根据下列条件，求圆的方程：(1)经过A (6,5)、B (0,1)两点，并且圆心C 在直线3x ＋10y ＋9＝0上；(2)经过P (－2,4)、Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6.解 (1)∵AB 的中垂线方程为3x ＋2y －15＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y －15＝0，3x ＋10y ＋9＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝－3.∴圆心为C(7，－3)．又|CB|＝65，故所求圆的方程为(x －7)2＋(y ＋3)2＝65.(2)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P 、Q 点的坐标分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧ 2D －4E －F ＝20，3D －E ＋F ＝－10.① ②又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，③由|x 1－x 2|＝6有D 2－4F ＝36.④由①②④解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0.故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0，或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.19．已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0.求：(1)m 取何值时两圆外切？(2)m 取何值时两圆内切？(3)m ＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长． 解：两圆的标准方程分别为(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝61－m ，圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，半径分别为11和61－m.(1)当两圆外切时，(5－1)2＋(6－3)2＝11＋61－m.解得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因定圆的半径11小于两圆圆心间距离，故只有61－m －11＝5.解得m ＝25－1011.(3)两圆的公共弦所在直线的方程为(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0，即4x ＋3y －23＝0.由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，不难求得公共弦的长为2× 112－⎣⎢⎡⎦⎥⎤|4＋3×3－23|42＋322＝27. 20．已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上．(1)求x ＋y 的最大值和最小值；(2)求y x的最大值和最小值；(3)求x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值和最小值．解 (1)设t ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋t ，t 可视为直线y ＝－x ＋t 的纵截距，所以x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时的纵截距．由直线与圆相切，得圆心到直线的距离等于半径，即|2＋(－3)－t|2＝1，解得t ＝2－1或t ＝－2－1，所以x ＋y 的最大值为2－1，最小值为－2－1.(2)y x可视为点(x ，y)与原点连线的斜率，y x的最大值和最小值就是过原点的直线与该圆有公共点时斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．设过原点的直线方程为y ＝kx ，由直线与圆相切，得圆心到直线的距离等于半径，即|2k －(－3)|1＋k2＝1，解得k ＝－2＋233或k ＝－2－233，所以y x 的最大值为－2＋233，最小值为－2－233.(3)x 2＋y 2＋2x －4y ＋5，即[x －(－1)]2＋(y －2)2，其最值可视为点(x ，y)到定点(－1,2)的距离的最值，可转化为圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差．又因为圆心到定点(－1,2)的距离为34，所以x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1.。