(在0 与 x 之间 )
该式称为函数 f ( x) 的麦克劳林公式。
一、泰勒级数
例1 求函数 f ( x) e 的麦克劳林公式
x
( n)
解 f ( x) f ( x) f ( x) f
( x) f ( n1) ( x) e x
f (0) f (0) f (0) f
若记
f ( x) sn ( x) Rn ( x) 则两边取极限有
n n n
f ( x) lim ( sn ( x) Rn ( x)) lim sn ( x) lim Rn ( x)
f ( x)
n 0
f ( n ) ( x0 ) ( x x0 ) n n!
f
( n 1)
( n)
(0) 1
( ) e

所以函数 f ( x) e x 的麦克劳林公式为
2 n x x e x n 1 e 1 x x 2! n! (n 1)!
一、泰勒级数
设函数 f ( x ) 在点 x0 的某邻域内具有任意阶导数, 则幂级数 n 0
第七章 无穷级数
§7.4 函数的幂级数展开式
引言
由上节我们知道：幂级数在其收敛域内可用其和函数 （一个初等函数）来表示。
现在我们反过来考虑：对于一给定的函数，能否将其
表示为一个幂级数呢？如果可以，就会为我们研究函 数带来方便。因为它体现了一种用简单表示复杂的思 想。这个思想和方法在工程技术中经常会用到。
lim Rn ( x) 0
n
定理 设函数 f ( x) 在点 x0 的某邻域内具有任意阶导数， 则 f ( x) 在点 x0 处的泰勒级数在该邻域内收敛于 f ( x) 的充要条件是：
lim Rn ( x) 0 （其中 Rn ( x) 是泰勒余项）.
n
函数 f ( x) 在点 x0 处的泰勒级数收敛于 f ( x) ,即有等式
lim sn ( x) f ( x)
n
函数 f ( x)在点
x0 处的 n 阶泰勒公式
(n) f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )(x x0 ) ( x x0 ) 2 ( x x0 ) n Rn ( x), 2! n!

f ( n ) (0) n x 称为函数 f ( x) 的麦克劳林展开式. n!
二、函数展开成幂级数
称函数 f ( x) 展开成 x 的幂级数，即麦克劳林级数，
1．直接方法：
f ( n ) (0) (n 1,2,) （1）求 f ( x) 的各阶导数，计算幂级数系数 a n n!
（2）根据系数求出幂级数的收敛半径 R （3）在收敛区间 ( R, R) 内考察余项 Rn ( x) 是否趋于零？
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) R1 ( x)
f ( ) R1 ( x) ( x x0 ) 2 （介于x0与x之间） 2!
一、泰勒级数
设函数 f ( x)在点 x0 的某个邻域内有n+1阶导数
(n) f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )(x x0 ) ( x x0 ) 2 ( x x0 ) n Rn ( x), 2! n!
f ( x) பைடு நூலகம்
n 0

f ( n ) ( x0 ) ( x x0 ) n ， n!
则称 f ( x) 点 x0 可展开成泰勒级数,该等式称为 f ( x) 在点 x0 处的泰勒展开式， 也称为 f ( x) 关于 x x0 的幂级数.
当 x0 0 时，有 f ( x)

n 0

f ( n ) ( x0 ) ( x x0 ) n n!
(n) f ( x0 ) f ( x0 ) 2 f ( x0 ) f ( x0 )(x x0 ) ( x x0 ) ( x x0 ) n 2! n!
称为 f ( x ) 在点 x0 的泰勒级数.
称为函数 f ( x) 的
n 阶泰勒多项式.
特别地，当 x0 0 时，函数 f ( x)的 n 阶泰勒公式可写为
f (0) 2 f ( n ) (0) n f ( x) f (0) f (0) x x x Rn ( x), 2! n!
其中
f ( n1) ( ) n1 Rn ( x) x (n 1) !
并用余项 Rn ( x) 估计误差.
一、泰勒级数
s n ( x)
k 1 n
f ( k ) ( x0 ) ( x x0 ) k k!
(n) f ( x0 ) f ( x0 ) 2 f ( x0 ) f ( x0 )(x x0 ) ( x x0 ) ( x x0 ) n 2! n!
f ( n ) ( 0) n x 称为 f ( x ) 在点x0 的麦克劳林级数. n! n 0 f ( n ) ( x0 ) n f ( x) ? ( x x0 ) 问题 n! n 0

由幂级数收敛的定义
f ( x)
n 0

f ( n ) ( x0 ) ( x x0 ) n n!
称为函数 f ( x)在点 x0 处的 n 阶泰勒公式
f ( n1) ( ) Rn ( x) ( x x0 ) n1 (在 x0 与 x 之间) (n 1) !
Rn ( x)称为
若记 则
n
阶泰勒公式的余项
f ( x) sn ( x) Rn ( x)
f ( x) sn ( x)
一、泰勒级数
y f ( x0 x) f ( x0 ) f ' ( x0 )x (x)
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 )x
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
设函数 f ( x)在点 x0 的某个邻域内有二阶导数