参数方程与齐次化方法在解析几何问题中的应用探究复旦实验中学 袁青2013年高考上海理科试卷第22题为解析几何问题，研究讨论直线与曲线位置关系问题，很多学生看着感觉能做，一做却又做错．其实该题并不用于高三阶段一般的解析几何训练题，简单地将问题转化为联立直线与曲线方程，对方程的根进行讨论，与一般直线与圆锥曲线的关系练习题中联立方程之后直接利用根与系数关系研究弦长、面积、定点等问题有是有很大区别的．尤其在（3）中，如果没有办法利用图像先得知1k >，则会很难寻找到与1k ≤的这样一对矛盾关系，而这体现了学生对“解析几何问题毕竟是个几何问题”这一实质的理解．本文对此题解法做进一步探究，研究一下在把握住“解析几何问题毕竟是个几何问题”这一大原则的基础上，参数方程和齐次化方法可能给解题带来的方便．考题再现：（2013年理科第22题，文科第23题）如图，已知双曲线1C ：2212x y -=，曲线2C ：1y x =+．P 是平面内一点，若存在过点P 的直线与1C 、2C 都有公共点，则称P 为“12C C -型点”．（1）在正确证明1C 的左焦点是“12C C -型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线y kx =与2C 有公共点，求证：1k >，进而证明原点不是“12C C -型点”；（3）求证：圆2212x y +=内的点都不是“12C C -型点”． 标准答案所给解法：（1）1C的左焦点为()，写出的直线方程可以是以下形式：x =(y k x =，其中k ≥ （2）因为直线y kx =与2C 有公共点，所以方程组1y kx y x =⎧⎨=+⎩有实数解，因此1kx x =+，得11x k x +=>． 若原点是“12C C -型点”，则存在过原点的直线与1C 、2C 都有公共点．考虑过原点与2C 有公共点的直线0x =或y kx =（1k >）．显然直线0x =与1C 无公共点．如果直线为y kx =（1k >），则由方程组2212y kx x y =⎧⎪⎨-=⎪⎩得222012x k =<-，矛盾． 所以，直线y kx =（1k >）与1C 也无公共点．因此，原点不是“12C C -型点”．（3）记圆O ：2212x y +=，取圆O 内的一点Q ．设有经过Q 的直线l 与1C 、2C 都有公共点．显然l 不垂直于x 轴，故可设l ：y kx b =+． 若1k ≤，由于圆O 夹在两组平行线1y x =±与1y x =-±之间，因此圆O 也夹在直线1y kx =±与1y kx =-±之间，从而过Q 且以k 为斜率的直线l 与2C 无公共点，矛盾，所以1k >．因为l 与1C 有公共点，所以方程组2212y kx b x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩有实数解，得()222124220k x kbx b ----=． 因为1k >，所以2120k -≠，因此()()()()222224412228120kb k b b k ∆=----=+-≥，即2221b k ≥-． 因为圆O 的圆心()0,0到直线l的距离d =222121b d k =<+，从而2221212k b k +>>-，得21k <，与1k >矛盾． 因此，圆2212x y +=内的点都不是“12C C -型点”． 解法分析：第（2）、（3）两题由于在研究直线与曲线发生的相交的情况，所以主要切入点为函数与方程的思想，将交点个数问题转化为了方程解的个数问题．即使（3）中的直线是不确定的，也从其一般形态y kx b =+入手，使问题得以顺利解决．但（3）中1k >的得出过程并不是每一位同学都能如此严谨地进行表述的．解法另探：可以从参数方程角度将（2）解决，利用齐次化方法对（3）求解．（2）假设原点可以为“12C C -型点”，通过反证法可以得到并不可能．设直线的参数方程cos sin x t y t θθ=⎧⎨=⎩，则代入1y x =+可得11sin cos 1t t θθ=+，代入2212x y -=可得222222cos 2sin 2t t θθ-=． 所以，()1sin cos 1t θθ-=，()2222cos 2sin 2t θθ-= 由此可知sin cos 0θθ->且22cos 2sin θθ>所以sin cos θθθ>>，则sin 0θ<，并不可能发生，假设不成立．所以得证原点并不是“12C C -型点”．另外，由于y kx =与1y x =+相交时有sin cos θθ>，则可同样得证sin 1cos k θθ=>． （3）记圆O ：2212x y +=，取圆O 内的一点Q ．设有经过Q 的直线l 与1C 、2C 都有公共点．显然l 不垂直于x 轴，故可设l ：y kx b =+．由（1）可知Q 不是()0,0，则0b ≠∵直线过圆内一点∴d=<，则2221b k<+①∵22112y kxbxy-⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩∴2222x y kxyb-⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即()()2222222420b y kxy k b x+-+-=∴()()222222420y yb k k bx x⎛⎫+-+-=⎪⎝⎭∴()()2222224216422216880k b k b k b b b∆=-+-=-++≥，则2221k b≤+②∴由①②可知21b<且21k<∴假设y kx b=+与1y x=+交于第一象限点（注：不可能交于()0,1，与1b≠矛盾）∴1y kxy xb--==，则()1yb b kx-=-∴11y b kx b-=>-∵1b<∴1b k b-<-∴1k>显然与21k<矛盾∴假设不成立因此，圆2212x y+=内的点都不是“12C C-型点”．以上三种方法其实在适当的背景下都可使用，灵活运用可为解题带来极大的方便．如下几例：例1、已知椭圆2212416x y+=，直线l：1128x y+=．点P是l上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上，且满足2OQ OP OR=g．当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解法一：联立直线与曲线方程解法设OP：y kx=∴1128y kxx y=⎧⎪⎨+=⎪⎩，则2432xk=+，由此可知22424,3223kPk k⎛⎫⎪++⎝⎭∴2212416y kxx y=⎧⎪⎨+=⎪⎩，则R⎛±⎝∴()()2222R R P QOR x k x=+=g g∴248243232Qxkk=++∴()223232Q Q Q k x k y kx ⎧+=⎪+⎨⎪=⎩则2226432xy x x y x +=+，则222346x y x y +=+ ∴2224360x x y y -+-=，除()0,0外．∵OP 斜率不存在时，()0,8P 、()0,4R ∴284OQ =g ，则()0,2Q∴轨迹方程为2224360x x y y -+-=解法二：参数方程设()11cos ,sin P t t θθ、()cos ,sin Q t t θθ、()22cos ,sin R t t θθ ∴212t t t =g 则221t t t =g ∴111128cos sin 1128x y t t θθ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，则1242cos 3sin t θθ=+ 2222222212416cos sin 12416x y t t θθ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，则2222162416cos 24sin t θθ=+g ∴2222416242cos 3sin 16cos 24sin t t θθθθ=++g g g ∴22222cos 3sin 2cos 3sin t t t t θθθθ+=+∴轨迹方程为2224360x x y y -+-=解法三：利用齐次化方法的思想（可设OP ：y kx =，也可不设）由于OQ uuu r 、OP uu u r 、OR uu u r 同向，设(),Q x y ，(),R x y λλ，则()22,P x y λλ（0λ>）222222124161128x y x y λλλλ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，则222416128x y x y +=+，记为点Q 的轨迹方程 利用齐次化方法对“解法二”进行改良： ∵22221122cos sin cos sin 11282416t t t t θθθθ+==+且221t t t =g ∴221111cos sin cos sin 11282416t t tt tt θθθθ+==+ ∴22cos sin cos sin 11282416t t θθθθ+==+ ∴2222cos sin cos sin 11282416t t t t θθθθ+==+∴221282416x y x y +=+例2、若抛物线21y ax =-（0a ≠）上总存在关于直线0x y +=的对称的两点，试确定a 的取值范围． 解法一：参数方程解法设()11,A x y 、()22,B x y 是抛物线上关于直线0x y +=对称的两点，()00,M x y 是中点设直线AB 的参数方程为00cos 4sin 4x x t y y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，t R ∈ ∴222000cos 2cos sin 10444a t ax t ax y πππ⎛⎫⎛⎫+-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∵120t t += ∴012x a=，则0012y x a =-=- ∴2011122a a a a >⎧⎪⎨⎛⎫->-⎪ ⎪⎝⎭⎩g 或2011122a a aa <⎧⎪⎨⎛⎫-<-⎪ ⎪⎝⎭⎩g ∴34a > 解法二：参数方程解法∵120t t <g 即()200110ax y a --< ∴34a >例3、设P 为椭圆2236x y +=在第一象限内部分上一点，已知60xOP ∠=o ，过点P 的两条弦PA 、PB 的倾斜角互补．求证：直线AB 的斜率k 为定值．解法一：联立方程取OP：y =则(P设PA：(1y k x -=，则PB：(1y k x -=-．∴()22136y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩则()()()222321160k x k x +++-=∴1P A A x x x +=+=，则?A x =，?A y = ∴同理求出B x 、B y的值，则AB k =（代入运算即可）解法二：齐次化方程解法将坐标原点移到(P ，则椭圆方程()(223'1'6x y ++=，即()()223''6''''0x y x ax by ++++=g整理：())2''126630''y y b a x x ⎛⎫+++++= ⎪⎝⎭∵PA 、PB 斜率为1k 、2k 就是方程的两个根∴1260b k k ++==则AB a k b=-=由此可见，其实几种解法在某些背景下都可使用，相互参照还能对现有思路进行更妙的改良．2013年的考题告诉我们在解析几何问题中需要认识到其几何本质，如果单纯地认为解析几何就是联立方程，那很多问题不但会做得很复杂，有时还会无从下手，甚至误入歧途．在此背景下，借助于对图像的理解，参数方程与齐次化方法不失为解决某些问题的好方法，遇到思维卡顿时，不妨一试．。