参数思想及参数方法在解析几何中的应用一、知识概要1．一般曲线的参数方程⎩⎨⎧==)()(t g y t f x （t 为参数）x ，y 分别是参数t 的函数。
2．直线的参数方程设直线l 过定点P 0（x 0，y 0），α为其倾斜角，P （x 、y ）是l 上任一点，P 0P ＝t （有向线段P 0的数量），则直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x ，当P 点在P 0的上方（右方）时t>0；当P 在P 0的下方（左方）时t<0。
如果把直线l 看成以P 0为原点，向上或向右为正方向的数轴，则t 是点P 的坐标。
设P 1，P 2是直线l 上的两个点，分别对应t 1，t 2（即P 0P ＝t 1，P 0P ＝t 2），则线段P 1P 2的中点对应t 中＝221t t +；线段P 1P 2的长度为|P 1P 2|＝|t 1－t 2|。
3．圆的参数方程圆：(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2的参数方程为：⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00r y y r x x （α为参数，表θC 的动半径的旋转角）4．椭圆的参数方程椭圆：b 2(x －x 0)2＋a 2(y －y 0)2＝a 2b 2的参数方程为：⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00b y y a x x （θ为参数，表动点P （x ，y ）的离心角）5．双曲线的参数方程双曲线:b 2(x －x 0)2－a 2(y －y 0)2＝a 2b 2的参数方程为：⎩⎨⎧+=+=θθtan sec 00b y y a x x （θ为参数，表双曲线上动点P（x ，y ）的离心角）6．抛物线的参数方程抛物线:(y －y 0)2＝2p(x －x 0)的参数方程为：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=pt y y ptx x 22020（t 为参数，表动点P （x ，y ）与顶点连线斜率的倒数）二、典型例题（一）轨迹问题例1 （全国高中联赛） 若动点P （x ，y ）以等角速度ω在单位圆上逆时针运动，则点θ（－2xy ，y 2－x 2）的运动方程是A ．以角速度ω在单位圆上顺时针运动B ．以角速度ω在单位圆上逆时针运动C ．以角速度2ω在单位圆上顺时针运动D ．以角速度2ω在单位圆上逆时针运动解：将P （x ，y ）表示成⎩⎨⎧==ty tx ωωsin cos （ω>0，t 为参数）又令θ的坐标为（u ，v ），则u ＝－2xy＝－2cos ωtsin ωt ＝－sin2ωt ＝cos(－2ωt ＋23π)，v ＝y 2－x 2＝sin 2ωt －cos 2ωt ＝－cos2ω t ＝sin(－2ωt ＋23π)，∴θ（u ，v ）的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=)232sin()232cos(πωπωt v t u ，显然，ωt 与－2ωt 的旋转方向是相反的。
而P （x ，y ）在单位圆上逆时针运动，∴θ（－2xy ，y 2－x 2）以角速度2ω在单位圆上顺时针运动。
选C 。
例2 （2000年希望杯一试18题） 过原点作互相垂直的两条直线，分别交抛物线y ＝x 2于A 、B 两点，则线段AB 中点的轨迹方程是 。
解：设OA l ：y ＝kx ，则OB l ：y ＝x k 1-（易知k 应存在且不为0），联立：⎩⎨⎧==2xy kx y 得A （k ，k 2），同理B )1,1(2k k -。
设AB 中点为M （x ，y ），则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=-=212122k k y k k x 消去k 得y ＝2x 2＋1例3 （全国高中联赛） 设0<a<b ，过两定点A （a ，0）和B （b ，0）分别作直线l 和m ，使与抛物线y 2＝x 有四个不同的交点，当这四点共圆时，求这两条直线l 与m 的交点的轨迹。
解：本题是过定点弦问题，宜用参数法。
在利用四点共圆条件时，应充分挖掘几何条件去转化，比如圆幂定理。
设l 与m 交于点P （x 0，y 0），它们与x 轴的倾角分别为θ1，θ2，于是l ：⎩⎨⎧+=+=1010sin cos θθt y y t x x ，t 为参数① m ：⎩⎨⎧+=+=2020sin cos θθt y y t x x t 为参数 ②将①代入y 2＝x 得t 2sin 2θ1＋t(2ysin θ1－cos θ1)＋(y 20－x 0)＝0，由韦达定理得|t 1||t 2|＝|sin |12020θx y -，由参数t 的几何意义得|PA 1||PA 2|＝|sin |12020θx y -。
将②代入y 2＝x ，同理有|PB 1||PB 2|＝|sin |2220θx y -.∵A 1、A 2、B 1、B 2四点共圆，由圆幂定理得，|PA 1||PA 2|＝|PB 1||PB 2|,∴sin 2θ1＝sin 2θ2,故θ1＝θ2或θ1＝π－θ2.若θ1＝θ2，则l ∥m，无交点，故舍去。
若θ1＝π－θ2，故过定点A （a ，0），B （b ，0）的直线方程分别为：l ：y ＝k(x －a)m ：y ＝－k(x －b),联立解得直线的交点P （x 0，y 0）的坐标为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=)(2200a b k y b a x ,∴交点P 的轨迹为直线2b a x +=（除去与x 轴的交点和与y 2＝x 的交点）方法二： 设l 的方程为y －kx ＋ka ＝0，m 的方程为：y －k′x＋k′b＝0，于是过l ，m 与y 2＝x 的四个不同交点的二次曲线，应有方程：y 2－x ＋λ（y －kx ＋ka ）（y －k′x ＋k′b）＝0,即：（1＋λ）y 2－λ（k ＋k′）xy ＋λkk′x 2＋λ（ka ＋k′b）－[λkk′(a＋b)＋1]x ＋λkk′ab＝0，它成为圆的充要条件是⎩⎨⎧'=+'-=k k k k λλ1即：⎪⎩⎪⎨⎧+-='-=211k k k λ,∴这种直线l ：y －kx ＋ka ＝0；m ：y －k′x＋k′b＝0的交点P （x 0，y 0）的坐标⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=)(2200a b k y b a x 即P 在AB 的中垂线上，故P 点的轨迹是直线2b a x +=（除去其与x 轴，y 2＝x 的三个交点）. （二）定点定值问题例4 （98年全国高中联赛） 已知抛物线y 2＝2px 及定点A （a ，b ），B （－a ，0）（ab≠0，b 2≠2pa），M 是抛物线上的点，设直线AM ，BM 与抛物线的另一交点分别为M 1，M 2，求证：当M 点在抛物线上变动时（只要M 1，M 2存在且M 1≠M 2），直线M 1M 2恒过一个定点，并求出这个定点的坐标。
解：分析：设动点M 的坐标为（x 0，y 0）由直线AM ，MB 与抛物线相交可以表示出交点M 1，M 2的坐标（用x 0，y 0，a ，b ，p 表示），又可求定点P （x ，y ）在直线M 1M 2上，故P ，M 1，M 2三点共线可化简为关于 P （x ，y ）的方程，系数用x 0，y 0表示，由于（x 0，y 0）的任意性而求出P （x ，y ）。
设M ，M 1，M 2的坐标分别为),2(),,2(),,2(222121020y py y p y y p y ,由A ，M ，M 1共线得：b y a py y y p y p y --=--020012021222，化简得:y 1y 0＝b(y 1＋y 0)－2pa 即y 1＝by paby --002,① 同理：由B ，M 1，M 2共线得：y 2＝2y pa, ② 设（x ，y ）是直线M 1M 2上的点，则y 1y 2＝y(y 1＋y 2)－2px, ③由（1）、（2）和（3）消去y 1，y 2得:px y pab y pa by y y b y pa pa by 2)22()(2)2(000000-+--=-⋅-,经整理得：0)2(2)(2)2(020=-+-⋅+-pa by pa x a pb y by px y ,由（x 0，y 0）的任意性知上式成立，当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-02002pa by x a by px 解得⎪⎩⎪⎨⎧==b pa y ax 2∴直线M 1M 2恒过定点（a ，b pa 2）. 评注 ：本题不是直接求出点M 1，M 2的坐标，而是设出M 1，M 2的坐标并当作参数（点参数），再利用共线条件，建立起M 与M 1，M 2的坐标关系，从而间接写出直线M 1M 2的方程，进而求出定点坐标。
这是参数思想的完美体现，具体到技巧而言，就是常见的“设而不求”的手法。
方法二：设M ，M 1，M 2的坐标为),2(),,2(),,2(222121020y py y p y y p y ,同方法一得y 1y 0＝b(y 1＋y 0)－2pa, ①y 2y 0＝2pa, ② 由①,②消去y 0得：y 1y 2＝bpa2(y 1＋y 2)－2pa, ③ 而过两点M 1，M 2的直线方程为：y 1y 2＝(y 1＋y 2)·y－2px, ④ 比较③，④得⎪⎩⎪⎨⎧==b pa y a x 2从而得证例5 （00年全国联赛一试十五题） 已知C 0：x 2＋y 2＝1和C 1：2222by a x +＝1（a>b>0），试问当且仅当a ，b 满足条件时，对C 1上任意一点P ，均存在以P 为顶点，与C 0外切，与C 1内接的平行四边形？证明你的结论。
解：所求条件为：11122=+ba 。
必要性：易知圆的外切平行四边形必为菱形，圆心即菱形中心。
假设结论成立，则对点（a ，0），有以（a ，0）为顶点的菱形与C 1内接，与C 0外切，（a ，0）相对的顶点为（－a ，0）。
由于菱形的对角线互相垂直平分。
∴另两个顶点必为（0，b ），（0，－b ）从而菱形的一条边的方程为=+bya x 1，即bx ＋ay －ab ＝0。
由于菱形与C 0外切，故必有1||22=+a b ab ，整理得：11122=+b a 。
充分性：设11122=+b a ，P 是C 1上任意一点，过P ，O 作C 1的弦PR ，再过O 作与PR 垂直的弦QS ，则PQRS 为与C 1内接的菱形，设|OP|＝r 1，|OQ|＝r 2，则P 、Q 的坐标分别为（r 1cos θ，r 1sin θ），（r 2cos(θ＋2π)，r 2sin(θ＋2π)）代入椭圆方程，得1)sin ()cos (221221=+b r a r θθ，1)]2sin([)]2cos([222222=+++br a r πθπθ, 于是212211||1||1r r OQ OP +=+＝111])2(sin )2(cos [)sin cos (2222222222=+=+++++b a b a b a πθπθθθ 又在Rt ΔPOQ 中，设点O 到PQ 的距离为h ，则：1||1||11222=+=OQ OP h ，故h ＝1。