19 ´ 21 20 ´ 22
这是 1 前 20 项的和，同上差为 2，但(下)首(上)尾不同 n * (n + 2)
原式=( 1 + 1 + ...... + 1 )+( 1 + 1 ...... + 1 )
1´3 3´5
19 ´ 21 2 ´ 4 4 ´ 6
20 ´ 22
= 1 (1 - 1 ) + 1 (1 - 1 ) = 10 + 5 2 21 2 2 22 21 22
7、1+2*2!+3*3!+......+8*8!
由于(n+1)!-n!=n*n! 所以原式=（1+3!-2!+4!-3!+……+9!-8!）= 9!-1
8、
C33
+
C
3 4
+
C53 ...... +
C135
由
于
C
m+1 n+1
-
C m+1 n
=
C
m n
，（ n ³ m +1）
所以原式=1+ C54
10、 3 + 32 + 33......+ 39
等比数列，因为 3n = 1 (3n+1 - 3n ) 2
所以原式= 1 (32 - 3 + 33 - 32 + ......+ 310 - 39 ) = 1 (310 - 3) = 29523
2
2
其他如：
1
= n+1- n
n+1+ n
(a - 1)a n = a n+1 - a n lg n + 1 = lg(n + 1) - lg n
19 ´ 21
和上题原理一样，只是分母相乘的两个数差为 2
因为
1
= 1( 1 - 1 )
(2n -1) * (2n +1) 2 2n -1 2n + 1
所以原式= 1 (1 - 1 ) = 10 2 21 21
3、 1 + 1 + 1 + 1 ...... + 1 + 1
1´3 2´ 4 3´5 4´ 6
-
C
4 4
+
C64
-
C
4 5
+
.....
.+
C146
- C145
= C146
= 1820
或展开组合式子用 n(n+1)(n+2)的裂变也可以得出答案C33+ NhomakorabeaC
3 4
+
C53 ...... +
C135
=1
+
4!/3!
+
5!/(3!2!)
+
6!/(3!3!)
+......+
15!/(3!12!)
=1+4*3*2/3!+5*4*3/3!+6*5*4/3!+.....+15*14*13/3!
3
6、 1* 2 * 3 + 2 * 3 * 4 + 3 * 4 * 5 + ......+ 9 *10 *11
同上题一样 n(n + 1)(n + 2) = 1 [n(n + 1)(n + 2)(n + 3) - (n -1)n(n +1)(n + 2)] 4
所以原式= 1 (9 ´10 ´11´12) = 2970 4
n
等等
3
1
5、 1* 2 + 2 * 3 + 3 * 4 + ......+ 19 * 20
以上 4 例为分数裂项，本题为整数裂项 因为 n(n +1) = 1 [n(n + 1)(n + 2) - (n -1)n(n + 1)]
3 比如 2 * 3 = 1 (2 ´ 3 ´ 4 -1´ 2 ´ 3)
3 所以原式= 1 (19 ´ 20 ´ 21) = 2660
典型的裂项法求和例题
1、 1 + 1 + 1 ...... + 1
1´ 2 2´3 3´ 4
19 ´ 20
这是最简单的裂项求和，因为 1 = 1 - 1 n * (n + 1) n n + 1
所以原式=1- 1 = 19 20 20
2、 1 + 1 + 1 ...... + 1
1´3 3´5 5´7
4、 1 + 1 + 1 ...... +
1
1´ 2´3 2´3´ 4 3´ 4´5
19 ´ 20 ´ 21
这是
1
前 19 项的和
n(n +1)(n + 2)
同样分解为
1
= 1[ 1 -
1
]
n(n +1)(n + 2) 2 n * (n + 1) (n + 1)(n + 2)
所以原式= 1 ( 1 - 1 ) = 209 2 1´ 2 20 ´ 21 840
=1+(4*3*2+5*4*3+6*5*4+.....+15*14*13) / 3!
=1+1/4(16*15*14*13-1*2*3*4) / 3!
=1+ 6*(10*14*13-1) / 3! = 1820
2
9、1 + 2 + 22 + 23 + ......+ 29 典型的等比数列，因为 2n = 2n+1 - 2n 所以原式=1 + 22 - 2 + 23 - 22 + .......+ 210 - 29 = 210 -1 = 1023