导数及其应用测试题一、选择题(本大题共12小题，第小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符是合题目要求的．)1．下列各式正确的是( )A ．(sin a )′＝cos a (a 为常数)B ．(cos x )′＝sin xC ．(sin x )′＝cos xD ．(x －5)′＝－15x －62．函数y ＝x 2(x －3)的减区间是( )A ．(－∞，0)B ．(2，＋∞)C ．(0,2)D ．(－2,2)3．曲线y ＝4x －x 3在点(－1，－3)处的切线方程是( )A ．y ＝7x ＋4B ．y ＝7x ＋2C ．y ＝x －4D ．y ＝x －2 4．若函数f (x )＝x 3＋ax 2－9在x ＝－2处取得极值，则a ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5 5．函数y ＝13x 3＋x 2－3x －4在[－4,2]上的最小值是( )A ．－173 B.163 C ．－643 D ．－1136．若曲线y ＝1x在点P 处的切线斜率为－4，则点P 的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫12，2B.⎝⎛⎭⎫－12，－2或⎝⎛⎭⎫12，2C.⎝⎛⎭⎫－12，－2D.⎝⎛⎭⎫12，－2 7．已知函数y ＝f (x )，其导函数y ＝f ′(x )的图象如下图所示，则y ＝f (x )( )A ．在(－∞，0)上为减函数B ．在x ＝0处取极小值C ．在(4，＋∞)上为减函数D ．在x ＝2处取极大值8．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1，在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]9．把一个周长为12 cm 的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱底面周长与高的比为( )A ．2∶1B ．1∶πC．1∶2 D ．2∶π 10．已知对任意实数x ，有()()f x f x -=-，()()g x g x -=，且0x >时，()0f x '>，()0g x '>，则0x <时（ ）Ａ．()0f x '>，()0g x '> Ｂ．()0f x '>，()0g x '< Ｃ．()0f x '<，()0g x '>Ｄ．()0f x '<，()0g x '<11.已知f(2)=-2,f ′(2)=g(2)=1,g ′(2)=2,则函数()()g x f x 在x=2处的导数值为( )A.-54 B.54 C.-5 D.5 12．对于R 上可导的任意函数f （x ），若满足（x －1）f x '（）≥0，则必有（ ） A ． f （0）＋f （2）<2f （1） B. f （0）＋f （2）≤2f （1）C. f （0）＋f （2）≥2f （1）D. f （0）＋f （2）>2f （1）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上） 13．函数f (x )＝e x ＋e －x在(0，＋∞)上的单调性是________．14．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调递增函数，则m 的取值范围是________．15．已知函数f (x )＝x 3－12x ＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M －m ＝________. 16.若曲线y ＝x 3-2ax 2+2ax 上任意点处的切线的倾斜角都是锐角，则整数a 的值为__________． 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. (10分)如果函数3()f x ax x =+恰有三个单调区间，试确定实数a 的取值范围，并求出这三个单调区间.18．(12分)设函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ≠0)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，求a ，b 的值； (2)求函数f (x )的单调区间和极值点．19．(12分)已知函数f （x ）＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1时都取得极值.（1） 求a 、b 的值与函数f （x ）的单调区间（2） 若对x ∈〔－1，2〕，不等式f （x ）<c 2恒成立，求c 的取值范围.20.（12分）设函数f(x)=x+ax 2+blnx,曲线y=f(x)过P （1，0），且在P 点处的切线斜率为2.（1）求a,b 的值；（2）证明：f(x)≤2x-2.21.（12分）已知某工厂生产x 件产品的成本为C=25 000+200x+140x 2（元），问：（1）要使平均成本最低，应生产多少件产品？（2）若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？22．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R )．(1)若a ＝0，b ＝2，求F (x )＝(2x ＋1)f (x )的导数；(2)若函数f (x )在x ＝0，x ＝4处取得极值，且极小值为－1，求a ，b 的值；(3)若x ∈[0,1]，函数f (x )的图象上的任意一点的切线斜率为k ，试讨论k ≥－1成立的充要条件．导数及其应用测试题答案及解析一．1-5:C,C,D,B,A,B ;7-12:D,D,A,B,A,C 二．13．增函数 14．m ≥13 15．32． 16. a ＝1.三．解答题 17. 解析：2()31f x a '=+若0a >，则()0,f x x R '>∈，此时()f x 只有一个单调区间，与题设条件矛盾； 若0a=，则()10f x '=>，此时()f x 也只有一个单调区间，矛盾；若0,()3()()33a f x a x x a a<=+---，此时()f x 恰有三个单调区间，其中减区间为(,)3a -∞--和(,)3a +∞-，增区间为(,)33a a--- 18．解析：(1)f ′(x )＝3x 2－3a (a ≠0)，因为曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，所以⎩⎨⎧f ′2＝0，f 2＝8.即⎩⎨⎧34－a ＝0，8－6a ＋b ＝8.解得a ＝4，b ＝24.(2)f ′(x )＝3(x 2－a )(a ≠0)，当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数f (x )没有极值点； 当a >0时，由f ′(x )＝0，得x ＝±a ，当x ∈(－∞，－a )时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(－a ，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． 此时，x ＝－a 是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点． 19．解析：（1）f （x ）＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，f '（x ）＝3x 2＋2ax ＋b由f '（23－）＝124a b 093－＋＝，f '（1）＝3＋2a ＋b ＝0得a ＝12－，b ＝－2 f '（x ）＝3x 2－x －2＝（3x ＋2）（x －1），函数f （x ）的单调区间如下表：x（－∞，－23） －23（－23，1） 1 （1，＋∞）f '（x ） ＋0 －0 ＋f （x ）↑ 极大值↓ 极小值↑所以函数f （x ）的递增区间是（－∞，－3）与（1，＋∞），递减区间是（－3，1） （2）f （x ）＝x 3－12x 2－2x ＋c ，x ∈〔－1，2〕，当x ＝－23时，f （x ）＝2227＋c为极大值，而f （2）＝2＋c ，则f （2）＝2＋c 为最大值。

要使f （x ）<c 2（x ∈〔－1，2〕）恒成立，只需c 2>f （2）＝2＋c ，解得c <－1或c >220. 解析：(1)f ′(x)=1+2ax+b x .由已知条件得()()f 10f 12=⎧⎪⎨'=⎪⎩，即1a 012a b 2+=⎧⎨++=⎩.解得a=-1,b=3.（2）f(x)的定义域为（0，+∞），由(1)知f(x)=x-x 2+3lnx.设g(x)=f(x)-(2x-2)=2-x-x 2+3lnx,则g ′(x)=-1-2x+3x=-()()x 12x 3x -+. 当0<x<1时，g ′(x)>0;当x>1时，g ′(x)<0.所以g(x)在（0，1）上单调递增，在（1,+∞）上单调递减. 而g(1)=0, 故当x>0时，g(x)≤0, 即f(x)≤2x-2.21. 解析：（1）设平均成本为y 元，则2125 000200x x25 000x 40y 200xx 40++==++，∴225 0001y ,x 40-'=+令y ′=0得x=1 000．当在x=1 000附近左侧时,y ′<0； 在x=1 000附近右侧时,y ′>0，故当x=1 000时，y 取极小值，而函数只有一个点使y ′=0，故函数在该点处取得最小值，因此，要使平均成本最低，应生产1 000件产品．（2）利润函数为S=500x-(25 000+200x+ 2x 40)=300x-25 000- 2x 40，S ′=300-x20，令S ′=0，得x=6 000，当在x=6 000附近左侧时,S ′>0；在x=6 000附近右侧时,S ′<0，故当x=6 000时，S 取极大值，而函数只有一个点使S ′=0，故函数在该点处取得最大值，因此，要使利润最大，应生产6 000件产品．22．解析： (1)F (x )＝－2x 4－x 3＋4x ＋2，∴F ′(x )＝－8x 3－3x 2＋4.(2)令f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＝0得x ＝0或x ＝2a 3.∴2a3＝4得a ＝6， 当x <0，f ′(x )<0，当0<x <4时，f ′(x )>0， 故当x ＝0时，f (x )达到极小值f (0)＝b ，∴b ＝－1. (3)当x ∈[0,1]时，－3x 2＋2ax ≥－1恒成立． 即g (x )＝3x 2－2ax －1≤0. 对一切x ∈[0,1]恒成立， 只需⎩⎨⎧g 0＝－1≤0g1＝2－2a ≤0，即a ≥1.反之，当a ≥1时，g (x )≤0对x ∈[0,1]恒成立． ∴a ≥1是k ≥－1成立的充要条件．．。