ti《导数及其应用》一、选择题1.是函数在点处取极值的:()0f x'=()f xxA．充分不必要条件 B．必要不充分条件　C．充要条件 D．既不充分又不必要条件2、设曲线在点处的切线的斜率为，则函数的部分图象可以为21y x=+))(,(xfx()g x()cosy g x x=A. B. C. D.3．在曲线y＝x2上切线的倾斜角为的点是( )π4A．(0,0) B．(2,4) C. D.(14，116)(12，14)4.若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1 5．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a等于( )A．2 B．3 C．4 D．56. 已知三次函数f(x)＝x3－(4m－1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2在x∈(－∞，＋∞)是增函数，则m的取值13范围是( )A．m<2或m>4 B．－4<m<－2 C．2<m<4 D．以上皆不正确7. 直线是曲线的一条切线，则实数的值为A． B． C． D．y x=lny a x=+a1-e ln21 8. 若函数上不是单调函数，则实数k的取值范围（）)1,1(12)(3+--=kkxxxf在区间A．B．3113≥≤≤--≤kkk或或3113<<-<<-kk或C． D．不存在这样的实数k22<<-k9. 10．函数的定义域为，导函数在内的图像如图所示，()f x(),a b()f x'(),a b则函数在内有极小值点()f x(),a bA．1个 B．2个 C．3个 D．4个10.已知二次函数的导数为，，对于任意实数都有，则2()f x ax bx c=++'()f x'(0)0f>x()0f x≥的最小值为A． B． C． D．(1)'(0)ff352232二、填空题11.函数的导数为_________________sin xy x=12、已知函数在x=1处有极值为10，则f (2)等于____________.223)(a bx ax x x f +++=13．函数在区间上的最大值是2cos y x x =+[0,]2π14．已知函数在R 上有两个极值点，则实数的取值范围是3()f x x ax =+a 15. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，0)1(=f ，)()(2>-'x x f x f x ）（0>x ，则不等式0)(2>x f x 的解集是三、解答题16. 设函数f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0<x <2π，求函数f (x )的单调区间与极值．17. 已知函数.3()3f x x x =-（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的单调区间.)2(f '()f x 18. 设函数.R x x x x f ∈+-=,56)(3（1）求的单调区间和极值；)(x f （2）若关于的方程有3个不同实根，求实数的取值范围.x a x f =)(a （3）已知当恒成立，求实数的取值范围.)1()(,),1(-≥+∞∈x k x f x 时k19. 已知是函数的一个极值点，其中1x =32()3(1)1f x mx m x nx =-+++,,0m n R m ∈< （1）求与的关系式；（2）求的单调区间；m n ()f x（3）当，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于，求的取值范围。

[1,1]x ∈-()y f x =3m m 20. 已知函数2()ln .f x x ax bx =--（I ）当时，若函数在其定义域内是增函数，求b 的取值范围；1a =-()f x （II ）若的图象与x 轴交于两点，且AB 的中点为，求证：()f x 1212(,0),(,0)()A x B x x x <0(,0)C x 0'()0.f x <21. 已知函数2(),()2ln (x f x g x a x e e==为自然对数的底数）（1）求()()()F x f x g x =-的单调区间，若()F x 有最值，请求出最值；（2）是否存在正常数a ，使()()f x g x 与的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线？若存在，求出a 的值，以及公共点坐标和公切线方程；若不存在，请说明理由。

《导数及其应用》参考答案一、选择题： 题号12345678910答案B A D A D D D B AC二、填空题：11. ；12. 18 13.； 14.； 15.2cos sin 'x x x y x -=36+π}0|{<a a ),1()0,1(+∞- 三、解答题16. [解析]　f ′(x )＝cos x ＋sin x ＋1＝sin(x ＋)＋1　(0<x <2π)2π4令f ′(x )＝0，即sin(x ＋)＝－，π422解之得x ＝π或x ＝π.32x ，f ′(x )以及f (x )变化情况如下表：x (0，π)π(π，π)32π32(π，2π)32f ′(x )＋0－0＋f (x )递增π＋2递减3π2递增∴f (x )的单调增区间为(0，π)和(π，2π)单调减区间为(π，π)．3232f 极大(x )＝f (π)＝π＋2，f 极小(x )＝f (π)＝.323π217. 解：（Ⅰ），所以.33(2-='x x f ）9)2(='f （Ⅱ），2()33f x x '=-解，得或.()0f x '>1x >1x <-解，得.()0f x '<11x -<<所以，为函数的单调增区间，为函数的单调减区间.(,1)-∞-(1,)+∞()f x (1,1)-()f x 18. 解:（1） …………………1分2,2,0)(),2(3)(212=-=='-='x x x f x x f 得令∴当，…………………2分()0;,()0x x f x x f x ''<>><<<,当时∴的单调递增区间是，单调递减区间是……3分)(x f (,)-∞+∞和)2,2(-当；当.…………4分245)(,2+-=有极大值x f x 245)(,2-=有极小值x f x （2）由（1）可知图象的大致形状及走向（图略）)(x f y =∴当的图象有3个不同交点，……6分)(,245245x f y a y a ==+<<-与直线时即当有三解. …………………………………7分55a -<<+α=)(x f（3）)1()5)(1()1()(2-≥-+--≥x k x x x x k x f 即∵上恒成立. …………………………………………9分),1(5,12+∞-+≤∴>在x x k x 令，由二次函数的性质，上是增函数，5)(2-+=x x x g ),1()(+∞在x g ∴∴所求的取值范围是……………………………………12分,3)1()(-=>g x g k 3-≤k 19. 解：（1）因为是函数的一个极值点.所以2'()36(1).f x mx m x n =-++1x =()f x '(1)0f =即所以36(1)0,m m n -++=36n m =+ （2）由（1）知，22'()36(1)363(1)[(1)]f x mx m x m m x x m=-+++=--+当时，有，当为化时，与的变化如下表：0m <211m>+x ()f x '()f x x 2(,1)m -∞+21m+2(1,1)m +1(1,)+∞'()f x -0+0-()f x 单调递减极小值单调递增极大值单调递减故由上表知，当时，在单调递减，在单调递增，在上单调0m <()f x 2(,1)m -∞+2(1,1)m+(1,)+∞递减.（3）由已知得，即又，所以，即'()3f x m >22(1)20mx m x -++>0m <222(1)0x m x m m-++< 设，其函数图象开口向上，由题意知①式恒成立，所以222(1)0,[1,1]x m x x m m -++<∈-212()2(1g x x x m m=-++ 解之得所以即的取值范围为22(1)0120(1)010g m m g ⎧-<+++<⎧⎪⇒⎨⎨<⎩⎪-<⎩403m m -<<又403m -<<m 4(,0)3-20.（1）由题意：，在上递增，对bx x x x f -+=2ln )( )(x f ),0(+∞∴021)(≥-+='b x xx f 恒成立，即对恒成立，只需，),0(+∞∈x x x b 21+≤),0(+∞∈x ∴min )21(x xb +≤，，当且仅当时取“=”，，的取值范围为0>x ∴2221≥+x x22=x ∴22≤b ∴b )22,(-∞（2）由已知得，，两式相减，得：⎩⎨⎧=--==--=0ln )(0ln )(2222212111bx ax x x f bx ax x x f ⇒⎩⎨⎧-=-=22221211ln ln bx ax x bx ax x ，)())((ln21212121x x b x x x x a x x -+-+=⇒])()[(ln 212121b x x a x x x x++-=由及，得：b ax x x f -+='21)(2102x x x +=])([221)(2211000b x x a x x b ax x x f ++-+=--='2111ln 1222x x x x x x +-+=，令，]ln)(2[121111222xxxxxxxx-+--=ln)1()1(2[121212112xxxxxxxx-+--=)1,0(21∈=xxt且，，在上为减函数，tttt ln122)(-+-=ϕ)10(<<t 0)1()1()(22<+--='t tttϕ∴)(tϕ)1,0(，又，∴0)1()(=>ϕϕt21xx<∴0)(<'xf21. 解：（1）3222()()()()(0)x a x eaF x f x g x xe x ex-'''=-=-=>①当0,()0a F x'≤>时恒成立()(0,)F x+∞在上是增函数，()F x F只有一个单调递增区间（0，-∞），没有最值……3分②当0a>时，()0)F x x=>，若0x<<()0,()F x F x'<在上单调递减；若x>()0,())F x F x'>+∞在上单调递增，x∴=当时，()F x有极小值，也是最小值，即min()2lnF x F a a a a==-=-…………6分所以当0a>时，()F x的单调递减区间为单调递增区间为)+∞，最小值为lna a-，无最大值…………7分（2）方法一，若()f x与()g x的图象有且只有一个公共点，则方程()()0f xg x-=有且只有一解，所以函数()F x有且只有一个零点…………8分[来源:学_科_网]由（1）的结论可知min()ln01F x a a a=-==得…………10分此时，2()()()2ln0xF x f x g x xe=-=-≥min()0F x F==1,()()f g f x g x∴==∴与的图象的唯一公共点坐标为又f g''==()()f xg x∴与的图象在点处有共同的切线，其方程为1y x-=-，即1y x=-…………13分综上所述，存在a1=，使()()f xg x与的图象有且只有一个公共点，且在该点处的公切线方程为 1.y x=-…………14分方法二：设()f x与g(x)图象的公共点坐标为00(,)x y，根据题意得即22ln22xa xex ae x⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩⎩⎨⎧==)()()()(''xfxfxgxf由②得2xae=，代入①得021ln,2x x=∴=从而1a=…………10分此时由（1）可知min()0F x F==0x x∴>≠当且()0,()()F x f x g x>>即因此除x=外，再没有其它x，使00()()f xg x=…………13分故存在1a=，使()()f xg x与的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线，易求得公共点坐标为，公切线方程为1y x=-…………14分。