选修2-2第一章《导数及其应用》单元测试题一、选择题：(每小题有且只有一个答案正确，每小题5分，共50分) 1．下列结论中正确的是（ ）A ．导数为零的点一定是极值点B ．如果在0x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么)(0x f 是极大值C ．如果在0x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么)(0x f 是极小值D ．如果在0x 附近的左侧0)('<x f ，右侧0)('>x f ，那么)(0x f 是极大值 2. 已知函数c ax x f +=2)(,且(1)f '=2,则a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．－1D ．03．()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x 与()g x 满足()()f x g x ''=，则()f x 与()g x 满足( )A ．()()f x g x =B ．()()f x g x -为常数函数C ．()()0f x g x ==D ．()()f x g x +为常数函数4．函数x x y 33-=在[－1，2]上的最小值为（ ） A ．2 B ．－2 C ．0D ．－45．设函数()y f x =在定义域内可导，()y f x =的图象如图1所示，则导函数()y f x '=可能为（ ）6．方程0109623=-+-x x x 的实根个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．07．曲线ln(21)y x =-上的点到直线082=+-y x 的最短距离是 （ ）A ．B ．C ．D ．08．曲线)230(cos π≤≤=x x y 与坐标轴围成的面积是（ ）A ．4B ．52C ．3D ．29．设12ln )(:2++++=mx x x e x f p x在),0(+∞内单调递增，5:-≥m q ，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件AB C DC ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．设曲线1*()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,则12n x x x ⋅⋅⋅ 的值为（ ） A ．1n B ．11n + C ．1n n + D ．1二、填空题：(每小题5分，共25分)11．若xex f 1)(-=，则0(12)(1)limt f t f t→--=___________.12．220(3)10,x k dx k +==⎰则 ；8-=⎰_________________.13．由曲线22y x =+与3y x =，0x =，2x =所围成的平面图形的面积为 .14．已知R 上可导函数()f x 的图象如图所示，则不等式2(23)()0x x f x '-->的解集 .15．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为()f x '，(0)0f '>，对于任意实数x ，有()0f x ≥，则(1)(0)f f '最小值为 .三、解答题：(共75分) 16．（本小题满分12分）已知函数1193)(23+--=x x x x f （1）写出函数()f x 的递减区间；（2）讨论函数()f x 的极大值或极小值，如有试写出极值； 17．（本小题满分12分）当0>x 时，证明不等式2211x x e x++>成立.18．（本小题满分12分）已知函数32()f x x ax bx c =+++在2x =-处取得极值,并且它的图象与直线33y x =-+在点( 1 , 0 ) 处相切, 求a , b , c 的值.19．（本小题满分12分）如图所示，等腰三角形△ABC 的底边AB=CD=3，点E 是线段BD 上异于B 、D 的动点，点F 在BC 边上，且EF ⊥AB ，现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使PE ⊥AE ，记BE=x ，V （x ）表示四棱锥P-ACEF 的体积。

（1）求V(x)的表达式；（2）当x 为何值时，V(x)取得最大值？20．（本小题满分13分）定义在定义域D 内的函数)(x f y =，若对任意的D x x ∈21,都有12|()()|1f x f x -<，则称函数)(x f y =为“妈祖函数”，否则称“非妈祖函数”.试问函数]1,1[()(3-∈+-=x a x x x f ,R a ∈)是否为“妈祖函数”？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由. 21．（本小题满分14分）已知函数()e x f x kx x =-∈R ，（Ⅰ）若e k =，试确定函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若0k >，且对于任意x ∈R ，()0f x >恒成立，试确定实数k 的取值范围；（Ⅲ）设函数()()()F x f x f x =+-，求证：12(1)(2)()(e 2)()nn F F F n n +*>+∈N ．选修2-2第一章《导数及其应用》单元测试题_ P_ F_ E _ D_ C_ B_ A命题人：湖大附中周先华 审题人：湖大附中李俊答案：1. B2. A3. B4. B5. D6. C7. B8. C9. Ｂ 10. B 11. e2-12. 1；45413. 114.(,1)(1,1)(3,)-∞-⋃-⋃+∞15. 216. 解：令0)('=x f ，得11-=x ，31=x ，x 变化时，)('x f 的符号变化情况及()f x 的增减性如下表所示：（2）由表可得，当1-=x 时，函数有极大值16)1(=-f ；当3=x 时，函数有极小值16)3(-=f .17. 证明：设(),2112x x e x f x---=则()x e x f x--=1'，令,1)(x e x g x --=则1)('-=xe x g ，当0>x 时，()01'>-=xe x g ，∴)(x g 在()+∞,0上单调递增，而0)0(=g ，∴(),0)0(=>g x g 0)(>x g 在()+∞,0上恒成立，即0)('>x f 在()+∞,0恒成立. ∴)(x f 在()+∞,0上单调递增， 又,0)0(=f ∴,02112>---xx e x即0>x 时，2211x x ex++>成立.18.'2'2'2:()32(2)3(2)2(2)01240(1)3231,8()(1,0)1106f x x ax b f a b a b f a b a b f x a b c c =++∴-=-+-+=∴-+==++=-∴==-∴+⨯+⨯+=∴= 3解又又过点,119. 解：（1）由折起的过程可知，PE ⊥平面ABC ，ABC S ∆=225412B E FB DC xS S x∆∆=⋅=21(9)312x -（0x <<（2）21'())34Vx x =-，所以(0,6)x ∈时，'()0v x > ，V(x)单调递增；6x <<'()0v x < ，V(x)单调递减；因此x=6时，V(x)取得最大值20. 解:因为|||)()(|min max 21f f x f x f -<-，)3(13)(]],1,1[()(23分导数是函数 -='∈-∈+-=x x f R a x a x x x f)2(,1924|||)()(|,932,932)],1,1[()(,)1()1()2(;932]0,1[)(,),4(;932]1,0[)(,013)(,33;013)(,330.33,013min max 213222分故最小值是的最大值是所以函数因为分内的极大值是在同理分内的极小值是在故时当时当即时当 <=-<--+∈-∈+-==-=+--∈>-='><-='<<±==-f f x f x f a a R a x a x x x f a f f a x f a x x f x x f x x x f x x x )],1,1[()(3R a x a x x x f ∈-∈+-=所以函数是“妈祖函数”.（2分）21. 本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．解：（Ⅰ）由e k =得()e e x f x x =-，所以()e e xf x '=-．由()0f x '>得1x >，故()f x 的单调递增区间是(1)+∞，， 由()0f x '<得1x <，故()f x 的单调递减区间是(1)-∞，． （Ⅱ）由()()f x f x -=可知()f x 是偶函数．于是()0f x >对任意x ∈R 成立等价于()0f x >对任意0x ≥成立．由()e 0xf x k '=-=得ln x k =．①当(01]k ∈，时，()e 10(0)xf x k k x '=->->≥．_ P_ F_ E _ D_ C_ B_ A此时()f x 在[0)+∞，上单调递增． 故()(0)10f x f =>≥，符合题意． ②当(1)k ∈+∞，时，ln 0k >．当x 变化时()()f x f x '，的变化情况如下表：由此可得，在[0)+∞，上，()(ln )ln f x f k k k k =-≥．依题意，ln 0k k k ->，又11e k k >∴<<，． 综合①，②得，实数k 的取值范围是0e k <<． （Ⅲ）()()()e e x x F x f x f x -=+-=+ ，12()()F x F x ∴=12121212121212()()e eeeee2e2x x x x x x x x x x x x x x +-+--++-+++++>++>+，1(1)()e2n F F n +∴>+，11(2)(1)e 2()(1)e2.n n F F n F n F ++->+>+由此得，21[(1)(2)()][(1)()][(2)(1)][()(1)](e2)n nF F F n F F n F F n F n F +=->+故12(1)(2)()(e 2)nn F F F n n +*>+∈N ，．。