复变函数的积分习题二答案
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习题二解答1．利用导数定义推出：
1 1
n n−1 ⎛⎞
1)( )' ,( ) 2 '
z nz n是正整数；）⎜⎟− 2 。

z z
⎝⎠
n (z +∆z)n −zn n−1 2 n−2 n−1 n−1
证 1 ）(z )' lim lim(nz +C z
∆z +∆z ) nz
n
z z
∆→0 ∆z ∆→0
1 1
−
1 1
1
⎛⎞z +∆z z
2 ）⎜⎟' lim −lim =− 2
z ∆→z 0 ∆z ∆→z 0 z(z +∆z) z
⎝⎠
2．下列函数何处可导？何处解析？
2
3 3
（1）f (z ) x −i y （2 ）f (z) 2x =+3y i
() 2 2
（3）f z xy +ix y （4 ）f (z) sin xchy +i cosxshy
∂u ∂u ∂v ∂v
解（1）由于2x, 0, 0, −1
∂x ∂y ∂x ∂y
1
( )
在z 平面上处处连续，且当且仅当x − 时，u,v 才满足C-R 条件，故f z u +i v x −i y 仅在
2
1
直线x − 上可导，在z 平面上处处不解析。

2
∂u 2 ∂u ∂v ∂v
2
（2 ）由于6x ，0 ，0 ，
9y
∂x ∂y ∂x ∂y
在z 平面上处处连续，且当且仅当2
2
2x 3y ,即2x ±
3y 0 时，u,v 才满足C-R 条件，故
3 3
f z u =+iv 2x =+3y i 仅在直线2x ±3y 0 上可导，在z 平面上处处不解析。

( )
∂u 2 ∂u ∂v ∂v 2 （3）由于y ，2xy ，2xy ，x
∂x ∂y ∂x ∂y
在z 平面上处处连续，且当且仅当z=0 时，u,v 才满足C-R 条件，故() 2 2
f z xy +i x y 仅在点z 0
处可导，在z 平面处处不解析。

∂u ∂u ∂v
∂v
（4 ）由于cosxchy ，sin xshy ，
=−sin xshy ，cosxchy
∂x ∂y ∂x
在z 平面上处处连续，且在整个复平面u,v 才满足C-R 条件，故f (z) sin xchy +i cosxshy 在
z 平面处处可导，在z 平面处处不解析。

3．指出下列函数f (z) 的解析性区域，并求出其导数。

1）(z −1)5 ；（2 ）z3 +2iz ；
1 az +b
3）；（4 ）
中至少有一个不为
2
(c,d 0)
z −1 cz +d
′ 4 ()
解（1）由于f z 5(z =−1) ，故f z 在z 平面上处处解析。

( )
′( ) 2 ()
（2 ）由于f z 3z +2i ，知f z 在z 平面上处处解
−2z 2z
（3）由于′( )
f z 2 − 2 2
2 ( )( )
(z ) z −1 z +1
−1
知()
()
f z 在除去点z ±1外的z 平面上处处可导。

处处解析，z ±1是f z 的奇点。

1
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ad −bc
f ′z ()
（4 ）由于( ) 2 ，知f z 在除去z −d / c(c ≠0) 外在复平面上处处解析。

(cz +d)
5．复变函数的可导性与解析性有什么不同？判断函数的解析性有那些方法？
答：
f (z) 在D （区域）内解析 f (z) 在D 内可导
f (z) 在z0 解析 f (z) 在z0 可导
f (z) 在z0 连续
判定函数解析主要有两种方法：1）利用解析的定义：要判断一个复变函数在z0 是否解析，只
要判定它在z0 及其邻域内是否可导；要判断该函数在区域D 内是否解析，只要判定它在D 内是否
可导；2 ）利用解析的充要条件，即本章§2 中的定理二。

6．判断下述命题的真假，并举例说明。

() ′( )
（1）如果f z 在z0 点连续，那么f z0 存在。

′( ) ( )
（2 ）如果f z0 存在，那么f z 在z0 点解析。

() ()
（3）如果z0 是f z 的奇点，那么f z 在z0 不可导。

（4 ）如果()
z 是f z 和g (z) 的一个奇点，那么z 也是f z +g (z) 和f z / g(z) 的奇点。

0 0 ( ) ( )
（5）如果u(x, y) 和v(x,。