华南理工大学期末试卷《概率论与数理统计》试卷A 卷注意事项：1.考前请将密封线内各项信息填写清楚；2.解答就答在试卷上；3.考试形式：闭卷；4.本试卷共八大题，满分100分，考试时间120分钟。

注：标准正态分布的分布函数值Φ（2.33）=0.9901；Φ（2.48）=0.9934；Φ（1.67）=0.9525一、选择题（每题3分，共18分）1.设A 、B 均为非零概率事件，且A ⊂B 成立，则 （ ） A. P(A ⋃B)=P(A)+P(B) B. P(AB)=P(A)P(B) C. P(A ︱B)=)()(B P A P D. P(A-B)=P(A)-P(B)2. 掷三枚均匀硬币，若A={两个正面，一个反面}，则有P(A)= ( ) A.1/2 B.1/4 C.3/8 D.1/83. 对于任意两个随机变量ξ和η，若E(ξη)=E ξE η,则有（ ） A. D(ξη)=D ξD η B. D(ξ+η)=D ξ+D ηC. ξ和η独立D. ξ和η不独立 4. 设P(x)=⎩⎨⎧∉∈],0[,0],0[,sin 2ππA x A x x 。

若P(x)是某随机变量的密度函数，则常数A= （ ）A.1/2B.1/3C.1D.3/25. 若ξ1，ξ2，…，ξ6相互独立，分布都服从N(u, 2σ),则Z=∑=-6122)(1i iu ξσ的密度函数最可能是 （ ）A. f(z)=⎪⎩⎪⎨⎧≤>0,00,1612/2z z e z z B. f(z)=+∞<<-∞z e z ,12112/2π C. f(z)=+∞<<-∞-z e z,12112/2πD. f(z)= ⎪⎩⎪⎨⎧≤>-0,00,1612/2z z e z z6.设（ξ，η）服从二维正态分布，则下列说法中错误的是 （ ） A.（ξ，η）的边际分布仍然是正态分布B.由（ξ，η）的边际分布可完全确定（ξ，η）的联合分布C. （ξ，η）为二维连续性随机变量D. ξ与η相互独立的充要条件为ξ与η的相关系数为0二、填空题（每空3分，共27分）1. 设随机变量X 服从普阿松分布，且P(X=3)=234-e ，则EX= 。

2. 已知DX=25 , DY=36 , XY r =0.4 , 则cov (X,Y)= ________.3. 设离散型随机变量X 分布率为P{X=k}=5A k )21( (k=1,2,…),则A= .4. 设ξ表示10次独立重复试验中命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.6，则ξ2的数学期望E(ξ2)= .5. 设随机变量ξ的分布函数F(x)=⎩⎨⎧≤>--0,00,1x x e x λ （λ﹥0），则ξ的密度函数p(x)=______________ ,E ξ= , D ξ= .6. 设X ～N(2, 2σ),且P{2<X<4}=0.3,则P{X<0}=7. 袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的。

现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球，则第二人取到黄球的概率是 。

三、（本题8分）在房间里有10个人，分别佩戴从1到10号的纪念章，任选3人纪录其纪念章的号码，试求下列事件的概率： （1）A=“最小号码为6”； （2）B=“不含号码4或6”。

四、（本题12分）设二维随机变量（ξ，η）具有密度函数⎩⎨⎧>>=+-其它,00,0,),()(2y x Ce y x p y x 试求（1）常数C ； （2）P(ξ+η<1); (3) ξ与η是否相互独立？为什么？（4）ξ和η的数学期望、方差、协方差。

五、（本题8分）已知产品中96%为合格品。

现有一种简化的检查方法，它把真正的合格品确认为合格品的概率为0.98，而误认废品为合格品的概率为0.05.求在这种简化检查下被认为是合格品的一个产品确实是合格品的概率？六、（本题8分）一个复杂的系统由100个相互独立起作用的部件所组成。

在运行期间，每个部件损坏的概率为0.1，而为了使整个系统正常工作，至少必须有85个部件工作。

求整个系统正常工作的概率。

七、（本题12分）有一类特定人群的出事率为0.0003，出事赔偿每人30万元，预计有500万以上这样的人投保。

若每人收费M 元（以整拾元为单位，以便于收费管理。

如122元就取为130元、427元取成430元等），其中需要支付保险公司的成本及税费，占收费的40%，问M 至少要多少时才能以不低于99%的概率保证保险公司在此项保险中获得60万元以上的利润？ 八、（本题7分）叙述大数定理，并证明下列随机变量序列服从大数定理。

ξ⎝⎛-n n n /1~ n /210- ⎪⎪⎭⎫n n /1，n=2,3,4…2005级概率论与数理统计试卷A 卷参考答案一、 1. C注释：由“A ⊂B 成立”得P(A)=P(AB)()()(|)()()P AB P A P A B P B P B ==故2. C3. B注释：参考课本86页 4. B2sin 1A xdx π=⎰0注释：?5. 6. BA 项参见课本64页，D 项参见课本86页 二、 1. 2注释：若X 服从Poisson 分布，则EX=λ，DX=λ。

（课本84页） 2. 12注释：cov(X,Y)= rXY （参考课本86页） 3. 1/5注释：运用等比求和公式S=1(1)1n a q q--4. 38.4注释：22()(),(,),,E D E B n p E np D npq ξξξξξξ=+==:对于5．p(x)=,00,0x e x x λλ-⎧>⎨≤⎩,211,E D ξξλλ==6. 0.2注释：类似2006级试卷填空题第6题 7. 2/5 三、（1）1/20; (2)14/15注释：（1）P(A)=224431078910C C C ，表示从、、、这四个数中选两个;（2）B =“三个号码中既含4又含6”四、（1）C=4;(2)112()-200{1}41-3e ;x x y P dx e dy ξη--++<==⎰⎰(3)222__02__0(),()0_____00_____0()()(,),x y e x e y p x p y x y p x p y p x y ξηξηξη--⎧⎧≥≥==⎨⎨<<⎩⎩⋅=因故与独立？(4)22220022112,2221()41124xx E x e dx E x e dx D E E E D ξηξηξξξξξηη+∞+∞--=⋅==⋅==-===⎰⎰与独立，所以cov(,)=0故同理，， 五、 0.9979注释：运用全概率公式，类似2006级试卷第三题 六、0.9525100(100,0.9),85{85)11( 1.67)(1.67)0.9525X X B P X ⨯⨯≈Φ-Φ≥≈-Φ=-Φ-=Φ=注释：设这个部件中没有损坏部件数为， 则服从二项分布且有______EX=np=1000.9=90,DX=npq=900.1=9由拉普拉斯定理，P{a<X<b}故至少须有个部件工作的概率为：85-90七、M=160,X ⨯⨯⨯≈⨯⨯≥≥≤≥≤:注释：设出事人数为则有X B(5000000,0.0003)EX=50000000.0003=1500,DX=50000000.00030.99971500若要以99%的概率保证保险公司在此项保险中获得60万元以上的利润，则P{5000000M (1-40%)-X 300000600000}99%得P{X 10M-2}99%X-150010M-2-150099%99% 2.33159.22,160M M ≥Φ≥≈Φ≥=10M-2-1500即（）解得故八、（1）课本98页辛欣大数定理 （2）22222n11221222211()0(1)(0()()[()]()211_____0(1)(211,2,3,,()()0112)()2nn n n nnn k n kk knn kkEn n nD E E En n nk E En nD nn n nξξξξξξξξξξξ++==+==⋅-++⋅==-==⋅-+⋅+⋅===⋅⋅⋅====⋅=∑∑∑由于令则______________________ D(由契比雪夫2n0,2()|}1lim()|}1}n nn nnEnEεξξεεξξεξ→∞>-<≥--<=不等式，对任意的有________________P{|P{|服从大数定律,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试《概率论与数理统计》试卷A卷（2学分用）1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚；可使用计算器，解答就答在试卷上；．考试形式：闭卷；注：标准正态分布的分布函数值9922.0)42.2(9938.0)5.2(9901.0)33.2(,8413.0)0.1(=Φ=Φ=Φ=Φ选择题（每题3分，共15分）、设X～N（μ，σ2），则概率P（X≤1＋μ）=（）A）随μ的增大而增大；B）随μ的增加而减小；C）随σ的增加而增加；D）随σ的增加而减小．2、设A 、B 是任意两事件，则()=-)(B A PA ）)()(B P A P - B ）)()()(AB P B P A P +-C ）)()(AB P A P -D ）)()()(AB P B P A P -+3、设ξ是一个连续型变量，其概率密度为ϕ(x)，分布函数为F(x)，则对于任意x 值有( )A ）P(ξ=x) = 0B ）F '(x) = ϕ(x)C ）P(ξ = x) = ϕ(x)D ）P(ξ = x) = F(x)4、对于任意两个随机变量X 和Y ，若()()()E XY E X E Y =⋅，则（ ）A ）()()()D XY D X D Y =⋅B ）()()()D X Y D X D Y +=+C ）X 和Y 独立D ）X 和Y 不独立 5、设ξ的分布律为而{}x P x F <=ξ)( ，则=)2( F ( )A ）0.6，B ）0.35，C ）0.25，D ）0二、填空题 （每空3分，共21分）1、某射手有5发子弹，射一次命中的概率为0.75。

如果命中了就停止射击，否则就一直射到子弹用尽。

则耗用子弹数ξ的数学期望为 。

2、已知DY=36，cov(X ，Y)=12，相关系数r XY =0.4，则DX= 。

3、三次独立的试验中，成功的概率相同，已知至少成功一次的概率为6437，则每次试验成功的概率为 。

4、设),4(~),,3(~p B Y p B X ，且X 、Y 相互独立，则Y X +服从二项分布 。

5、若)5,0(~U X ，方程04522=-++X Xx x 有实根的概率 。