α中连续的符号串且也是谓词公
式，则称β是α的子公式。
2.2 谓 词
例如， α=x(P(x)y(Q(y)R(x,y))) ，β=y(Q(y)R(x,y))，则β是
公
α的子公式。而P(x)y不是谓
式
词公式，因而也不是α的子公式
。
2.2.2 自由变元与约束变元
定义2.11 设α是一个谓词公式
，xβ(x)和xγ(x)是α的子公
词
个体性质以及各个个体间的关系，确定
公
谓词；
式
（3）根据表示数量的词确定量词；
（4）利用联结词将整个命题符号化。
2.2.1 谓词公式与翻译
例2.5 将下列命题符号化。
（1）教室里有同学在讲话。
2.2 解 因为题中没有特别指明个体域
谓
，所以这里采用全总个体域。
词
令S(x)：x是同学， R(x)：x
公
公
题可符号化为：
式
x(N(x)y(N(y)G(y,x)))。
2.2.1 谓词公式与翻译
（4）今天有雨雪，有些人会跌跤。
解 令R：今天下雨， S：今天下雪
2.2 谓 词
，M(x)：x是人，F(x)：x会跌跤 ，则命题可符号化为： (RS)x(M(x)F(x))。
公 式
2.2.1 谓词公式与翻译
定义2.11 设α是谓词公式，β是
第2章 谓词逻辑
在命题逻辑中，我们把命题分解到
原子命题为止，认为原子命题是不能再
分解的，仅仅研究以原子命题为基本单
第
位的复合命题之间的逻辑关系和推理。
2
实际上，简单命题还可以进行分解
章
，例如，“王平是大学生”这一简单命 题可以分解为主语(王平)和谓语(是大学
谓
生)，命题逻辑反映不出这一特点。
词 逻
谓
的原子谓词公式，简称原子公式
词
。
公 式
由定义可知，一个命题或一 个命题变元也称为原子公式，也 就是说，当n=0时，P(x1，x2，…
，xn)为原子命题P。
2.2.1 谓词公式与翻译
定义2.10 谓词公式归纳定义如下：
（1）原子公式是谓词公式；
（2）如果α是谓词公式，则α也是谓
2.2 谓
词公式； （3）如果α和β是谓词公式，则αβ ，αβ，β→α和αβ也都是谓词
词
（2）令Q(x)：x是奇数，则命题可表示 为：xQ(x)。
和 （3）令R(x)：x是偶数，S(x)：x是素数
量
，则命题可表示为！x(R(x)S(x))。
词
2.1.3 量词
定义2.8 若一个谓词P(x)是用来
2.1 限制个体变元的取值范围，那么
个
称谓词P(x)为特性谓词。
体
在使用全总个体域时，对个
式，则称xβ(x)与xγ(x)是α
2.2
的约束部分，x称为是约束出现的
谓
。约束出现的变元称为约束变元
词
，不是约束出现的变元称为自由
公
变元。β(x)称为是x在α中的辖
式
域（或作用域），γ(x)称为是x
在α中的辖域。
2.2.2 自由变元与约束变元
确定一个量词的辖域即是找出位于
该量词之后的相邻接的子公式，具体地 讲：
公
并要求改名后的式子与原式同真假。
式 ❖所谓代入就是把一变元代以公式(公式
的值的变域应与变元的变域相同)，并
要求代入后的公式为原式的特例。
2.2.2 自由变元与约束变元
改名的规则如下：
(1)改名只对约束变元进行，不对自由变元进
词
解 “x”与“y”是个体变元，谓
和
词为R。这里的谓词是二元谓词，
量 属于谓词变元。
词
2.1.2 谓词
例2.2 用个体，谓词表示下列命题。
2.1 （1）张华是大学生。
个
解 令a：张华； S(x)：x是大学生。整 个命题可表示为：S(a)。
体
说明：
、
①若x的个体域为某大学计算机系
谓 词
的全体学生，则S(a)为真； ②若x的个体域为某中学的全体学
谓
命题公式是谓词公式的一个特例
词
。
公 式
为叙述方便，我们下面讨论
只含“x”和“x”的谓词公式 ，事实上，量词“！x”可以通
过量词“x”和“x”来表示。
2.2.1 谓词公式与翻译
一般来说，将自然语言翻译成谓词公 式主要有以下几个步骤：
（1）确定个体域，如无特别说明，一般
2.2
使用全总个体域；
谓
（2）根据个体域，分析命题中的个体、
其次，如下两个简单命题“王平是
大学生”和“李明是大学生”，有一个 共同特点——是大学生，这一共性在命
辑
题逻辑中也表示不出来。因此，有必要
推广命题逻辑。
第三，有些简单而正确的推理过程 在命题演算里不能得到证明。例如著名 的苏格拉底三段论：
第
“人都是要死的，苏格拉底是人， 所以苏格拉底是要死的。”
2
在命题逻辑中，三个原子命题分别
、 体变化的真正取值范围，用特性
谓
谓词加以限制。一般地，对全称
词
量词，将特性谓词作蕴含的前件
和
；对存在量词，将特性谓词作合
量
取项。
词
2.1.3 量词
例2.4 用全总个体域对例2.3中
2.1 的所有命题进行符号化。
个 体
解 在例2.3的基础上增加一个特 性谓词I(x)：x是整数。则各命题
、 可表示为：
章
用P，Q，R表示，现在要证明PQR，
即证明PQR是重言式，但这在命题
谓
逻辑中是不可能的。因此从推理的角度
词
看，也有必要推广命题逻辑。
逻
谓词逻辑就是命题逻辑的自然推广 。本章介绍的谓词逻辑内容仅限于一阶
辑
谓词逻辑或狭义谓词逻辑，即谓词中的
变元不再是谓词变元。
本章内容提要：
第
1.个体、谓词和量词的概念
2
2.谓词演算公式
章
3.谓词演算的等值公式
谓
4.前束范式
词
5.推理理论
逻
6.谓词逻辑在计算机科学中的应用
辑
2.1.1 个体
定义2.1 可以独立存在的物体称为个
2.1
体，它可以是一个具体的事物，也可以 是一个抽象的概念。
个
如王平，李明，计算机，离散数学
体
，精神等都可以作为个体。
、
定义2.2 将表示具体的或确定的个体称 为个体常元，而将表示抽象的或泛指的
谓
量关系的词叫存在量词，用符号“”
词
表示；表示“存在惟一”，“恰有一个
和
”等数量关系的词叫存在惟一量词，用
量
符号“！”表示。
词
2.1.3 量词
2.1
注意：量词的优先级高于任
个
何联结词，所以
体
(x)P(x1,x2,…,xn)、
、 (x)P(x1,x2,…,xn)、可分别写成
谓
xP(x1,x2,…,xn)、
体
个体域可以是有穷集合，例如
、 谓
{1,2,3,4,5}，{a,b,c}等，也可以是无 穷集合，例如自然数集，实数集等。同 时约定，本书在论述或推理中如无指明
词
所采用的个体域，则都是使用全总个体
和
域。
量
词
2.1.2 谓词
定义2.4 表示单个个体的性质或两个
2.1 以上个体关系的词叫谓词。
个 体
定义2.5 表示具体性质或关系的谓词 称为谓词常元，表示抽象的或泛指的性
谓 词
（1）x(I(x)P(x))
和 （2）x(I(x)Q(x))
量 （3）！x(I(x)R(x)S(x))
词
2.1.3 量词
练习 将下列命题符号化。
2.1 个
(1)天下乌鸦一般黑。
体 (2)任何金属都可以溶解在某种液
、
体中。
谓
词
和
量
词
2.1.3 量词
在谓词前加上量词，称为谓 2.1 词的量化。若一个谓词中所有个体 个 变元都量化了，则该谓词就变成了 体 命题。这是因为在谓词被量化后，
生，则S(a)为假；
和
③若x的个体域为某电影院中的观
量 词
众，则S(a)真值不确定。所以个体变元 在哪些个体域取特定的值，对命题的真 值极有影响。
2.1.2 谓词
（2）武汉位于重庆和上海之间。
2.1 个 体
解 令a：武汉； b：重庆； c：上 海； P(x,y,z)：x位于y和z之间。 整个命题可表示为P(a,b,c)。
在教室里，T(x)：x在讲话，则命
式
题可符号化为：
x(S(x)R(x)T(x))。
2.2.1 谓词公式与翻译
（2）在我们班中，并非所有同学 都能取得优秀成绩。
解 令S(x)：x是同学， C(x)：x
2.2 在我们班中， E(x)：x能取得优
谓
秀成绩，则命题可符号化为：
词
x((S(x)C(x))E(x)) 。 或 者
词
公式；
公
（4）如果α是谓词公式，x是个体变元 ，则xα(x)，xα(x)和！xα(x)也
式
都是谓词公式；
（5）只有有限次地应用（1）～（4）构 成的符号串才是谓词公式。
2.2.1 谓词公式与翻译
由定义可知，谓词公式是由
原子公式、命题联结词、量词以
及圆括号按照上述规则组成的一
2.2 个符号串。因此，命题逻辑中的
、
谓 说明：显然P(a,b,c)为真，但
词
P(b,a,c)为假。所以个体变元的顺