第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数（1）
教材分析
导数是微积分的核心概念之一.它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具，因而也是解决诸如运动速度、物种繁殖率、绿化面积增长率，以及用料最省、利润最大、效率最高等实际问题的最有力的工具.在本章,我们将利用丰富的背景与大量实例,学习导数的基本概念与思想方法;通过应用导数研究函数性质、解决生活中的最优化问题等实践活动，初步感受导数在解决数学问题与实际问题中的作用.教材安排导数内容时，学生是没有学习极限概念的．教材这样处理的原因，一方面是因为极限概念高度抽象，不适合在没有任何极限认识的基础上学习．所以，让学生通过学习导数这个特殊的极限去体会极限的思想，这为今后学习极限提供了认识基础．另一方面，函数是高中的重要数学概念，而导数是研究函数的有力工具，因此，安排先学习导数方便学生学习和研究函数．基于学生已经在高一年级的物理课程中学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度，再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型，并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的．
课时分配
本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A 版）数学选修1－1第三章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念》是第2课时，主要讲解导数的概念及利用定义求导数.
教学目标
重点: 通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求，抽象概括出函数导数的概念．
难点：使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念．
知识点：导数的概念.
能力点：掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤
教育点：通过导数概念的构建，使学生体会极限思想，为将来学习极限概念积累学习经验
自主探究点：通过导数概念的教学教程，使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的重要
过程.
考试点：利用导数的概念求导数.
易错易混点：对0x ∆→的理解，0,0,x x ∆>∆<0,0x x ∆>∆≠但0x ∆≠. 拓展点：导数的几何意义.
教具准备 多媒体课件和三角板 课堂模式 学案导学
一、引入新课
师生活动：
教师：请说出函数()y f x =从x 1到x 2的平均变化率公式．
学生：
2121
()()
f x f x x x --．
教师：如果用x 1与增量△x 表示，平均变化率的公式是怎样的？ 学生：
11()()
f x x f x x
+∆-∆
教师：高台跳水的例子中，在时间段650,
49⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
里的平均速度是零，而实际上运动员并不是静止的．这说明平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态.
学生：在教师的讲述中思考用什么量来反映运动员的运动状态． 提问：用一个什么样的量来反映物体在某一时刻的运动状态？ 学生：体会并明确瞬时速度的作用．
提问：我们如何得到物体在某一时刻的瞬时速度？例如，要求物体在2s 的瞬时速度，应该怎么解决？
【设计意图】让学生理解平均速度与瞬时速度的区别与联系，感受到平均速度在时间间隔很小时可以近似
地表示瞬时速度.
【设计说明】应使学生明确平均速度与瞬时速度的关系，为下一阶段实验活动作铺垫.
二、探究新知
已知跳水运动员在跳水过程中距离水面的高度与时间的函数2
() 4.9 6.510h t t t =-++，完成下列表格中02t =秒附近的平均速度的计算并填充好表格，观察平均速度的变化趋势．
师：观察以上表格，你能发现平均速度有什么变化趋势吗？将结果投影，引导同学们一起观察.
在学生观察的基础上指出：
当t ∆趋近于0时，平均速度都趋近于一个确定的常数，这个常数就是瞬时速度．
[设计意图] 让学生通过定量分析感受平均速度在时间间隔越来越小时向瞬时速度逼近的过程．给学生充分的感性材料, 使学生从感性上获得求瞬时速度的方法．培养学生归纳、概括能力.
师:你认为通过实验所得结果（常数）就是瞬时速度吗？这个数据到底是精确值还是近似值？
启发学生归纳出结论：0t ∆→时，平均速度所趋近的这个常数是可以得到的，它不是近似值，是一个精确值，它与变量t ∆无关，只与时刻0t 有关．
[设计意图] 使学生认识到平均速度当时间间隔趋向于零时的极限就是瞬时速度，为给出导数概念提炼出一个具体的极限模型．
一般地,函数()y f x =在x x =处的瞬时变化率是00()()lim
lim
x x f x x f x y
x x
∆→∆→+∆-∆=∆∆,我们称它为函数()y f x =在x x =处的导数,记作()f x '或|x x
y =',即()f x '=00()()lim lim
x x f x x f x y
x x
∆→∆→+∆-∆=∆∆. 三、理解新知
求函数()y f x =在点0x 处的导数的步骤大致分为以下三步：
第一步，求函数增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；
第二步，求平均变化率
00()()
f x x f x y x x
+∆-∆=∆∆； 第三步，求平均变化率的极限，即导数'
00()lim
x y
f x x
∆→∆=∆．
[设计意图]为准确地运用新知，作必要的铺垫.
四、运用新知
例1求2
y x =在点1x =处的导数． 解:2
2
2
(1)12()y x x x ∆=+∆-=∆+∆,
2
2()2y x x x x x ∆∆+∆==+∆∆∆, ∴00
lim
lim(2)2x x y
x x ∆→∆→∆=+∆=∆.
1'|2x y =∴=
注意:2
()x ∆括号别忘了写.
变式训练: 求2
24y x x =+在点3x =处的导数.
解:2
2
2
2(3)4(3)(2343)2()16y x x x x ∆=+∆++∆-⨯+⨯=∆+∆,
216y
x x
∆=∆+∆, 00
lim lim(216)16x x y x x ∆→∆→∆=∆+=∆, 即3'|16x y ==.
[设计意图]通过变式训练,便于学生全面的认识利用定义求导数的步骤, 提高理解、运用知识的能力． 例2 已知21y x =+,求'y .
解:[]2()1(21)y x x x ∆=+∆+-+2x =∆,
2y
x
∆∴
=∆, 0lim 2x y x
∆→∆∴=∆,即'2y =.
变式训练: 已知y =,求'y .
解:y ∆=
,
y x ∆=∆,
0lim
lim
x x y x x ∆→∆→∆=
=∆∆=’
'
y ∴=
[设计意图] 由一个问题引申为一类问题，提高学生的解题能力．同时,便于学生发现不同题目解题过程的 区别与联系,有利于学生用联系的观点看问题．
五、课堂小结
教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？学生作答： 1．知识：导数的概念.
2．思想：特殊与一般、化归的思想．
教师总结: 本节课学习了导数的概念，导数的概念表明：当自变量的增量趋向于零时，函数在某点
的平均变化率的无限地趋向于函数在该点的瞬时变化率，这是非常重要的极限思想．
求导数的步骤大致分为以下三步： 第一步，求函数增量； 第二步，求平均变化率并化简； 第三步，求平均变化率的极限，即导数． [设计意图] 加强对学生学习方法的指导．
六、布置作业
1．阅读教材P74—76； 2.书面作业
必做题： P79 习题3.1 A 组 1,2,3,4,5. 选做题：
1.如果质点A 按照规律2
3s t =运动，则在3t =时的瞬时速度为 . 2.设函数()f x 可导，则0
(1)(1)
lim
3x f x f x
∆→+∆-=∆ .
3. 设函数()f x 3ax =+，若'(1)3f =，则a = .
4.函数1
y x x
=+
在1x =处的导数等于 . 5.质点M 按规律2
23s t =+做直线运动(位移单位:cm ，时间单位：s)，求质点M 在2t =时的瞬时速度，并与运用匀变速直线运动速度公式求得的结果进行比较. 答案:1. 18 2.
1
(1)3
f ' 3. 3 4. 0 5. 瞬时速度为8/cm s ,用两种方法求得的结果相同. 课外思考:函数()y f x =在一点处的导数有什么几何意义吗?
[设计意图]设计作业1,2，是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯.书面作业的布置，是为了让学生能够运用导数的概念，解决简单的数学问题；课外思考的安排，是让学生深刻思考、领悟导数的意义，为下节课的学习做铺垫．
七、教后反思
1.“以学生为本”的教育观是教学设计的根本指导思想.学生通过“经历”、“体会”、“感受”，最后形成概念的学习过程，充分体现了学生为本的现代教育观.
2.作业的布置尽量满足多样化的学习需求,做到因材施教,但在具体实施中,分寸的把握需视情况而定.
八、板书设计
x
∆,我们称它处的导数,记作()f x '或
(lim
x f x y
x x
∆-∆=∆∆.。