高二数学选修2-2《变化率与导数》单元练习题一．选择题1. 某地某天上午9：20的气温为23.40℃，下午1：30的气温为15.90℃，则在这段时间内气温变化率为（℃/min ） （ ）A. 03.0B. 03.0-C. 003.0D. 003.0- 2. =∆∆--∆+→∆x x x f x x f 2)()(lim 000x （ ） A. )(210x f ' B. )(0x f ' C. )(20x f ' D. )(-0x f ' 3. 若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++=4. 曲线322+=x y 在点1-=x 处的切线方程为（ ）A.14+=x yB. 54--=x yC. 14+-=x yD. 54-=x y5. 曲线xx y πsin 2=过点)0,(πP 的切线方程是（ ） A. 0=-+πy x B. 022=-+πy xC. 0222=--ππy xD. 0222=-+ππy x6. 已知)1)(2)(1(-++=x x x y ，则='y ( )A. 2223--+x x xB. 1432-+x xC. 2432-+x xD. 3432-+x x7. 设210,,k k k 分别表示正弦函数x y sin =在2,4,0ππ===x x x 附近的平均变化率，则（ ）A. 210k k k <<B. 120k k k <<C. 012k k k <<D. 201k k k <<8. 函数4)1cos(2++=x y 的导数是（ ）A.)1sin(22x x +B. )1sin(2x +-C. )1cos(22x +D. )1sin(22x x +-9. 过点（－1，0）作抛物线21y x x =++的切线，则其中一条切线为( )A. 220x y ++=B. 330x y -+=C. 10x y ++=D. 10x y -+=10. 函数x x x y sin cos -=的导数为（ ）A. x x x sin cos 2+B. x x x sin cos 2-C. x x sin -D. x x sin二．填空题11. 曲线122+=x x y 过点)1,1(P 的切线方程是_____________。

12. 曲线y ＝x e x ＋2x ＋1在点(0,1)处的切线方程为________________． 13. 求导：（1）2)3(-=x y ，则_________='y ；（2）x x x y cos sin -=，则_________='y 。

（3）函数121)(3++=x x x f 的导数是__________。

14. 若曲线f (x )＝ax 2＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．15. 曲线2212)(x x f -=与241)(3-=x x g 在交点处切线的夹角的正切值是_____________。

三．解答题。

16.（1）.设f (x )＝(ax ＋b )sin x ＋(cx ＋d )cos x ，试确定常数a ，b ，c ，d ，使得f ′(x )＝x cos x .（2） 设)(x f y =是二次函数，方程0)(=x f 有两个相等的实根，且22)(+='x x f ，求)(x f y =的表达式。

17. （1）已知函数c bx x g ax x x f +=+=23)(,2)(的图像都过点)0,2(P ，且在点P 处有公共切线，求)(),(x g x f 的表达式。

（2）设曲线d cx bx ax y S +++=23:在)1,0(A 点的切线为1:1+=x y l ，在)4,3(B 点的切线为102:1+-=x y l ，求d c b a ,,,。

18. 设函数()32()f x x bx cx x R =++∈，已知()()()g x f x f x '=-是奇函数，求b 、c 的值。

19. 已知曲线66:23+--=x x x y S ，求S 上斜率最小的切线方程。

20．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标；(3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．21．已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12，和直线m ：y ＝kx ＋9，又f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k 的值，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．参考答案1. B2. B3. A4. C5. D6. B7. C8. D9. D 10. C 11. 1=y ；12. y ＝3x ＋113.（1）x31-；（2）x 2cos 1- 。

（3）232)12(23++--x x x 。

14. (－∞，0)15.3。

16. a ＝d ＝1，b ＝c ＝0.17.（1） 164)(,82)(23-=-=x x g x x x f 。

解析：由题意知22)2(826)2(,04,82⨯='=-⨯='=+-=b g f c b a ，得16,4,8-==-=c b a 。

（2） 1,1,1,31===-=d c b a 解析：由2)3(,4)3(,1)1(,1)0(-='=='=f f f f 列式求得。

18. ∵()32f x x bx cx =++，∴()232f x x bx c '=++。

从而322()()()(32)g x f x f x x bx cx x bx c '=-=++-++＝32(3)(2)x b x c b x c +-+--是一个奇函数，所以(0)0g =得0c =，由奇函数定义得3b =。

19. 1313)2(31123)(22-≥--=--='x x x x f ，所以最小切线斜率为13-，当2=x 时取到。

进而可得切点)12,2(-，得切线方程为：01413=-+y x 。

20．(1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上．∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13.∴切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32.(2)法一：设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝320x ＋1，∴直线l 的方程为y ＝(320x ＋1)(x －x 0)＋30x ＋x 0－16，又∵直线l 过点(0,0)，∴0＝(320x ＋1)(－x 0)＋30x ＋x 0－16，整理得，30x ＝－8，∴x 0＝－2，∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k ＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．法二：设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)，则k ＝y 0－0x 0－0＝300016x x x +-，又∵k ＝f ′(x 0)＝320x ＋1， ∴300016x x x +-＝320x ＋1，解之得x 0＝－2，∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k ＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．(3)∵切线与直线y ＝－x 4＋3垂直，∴切线的斜率k ＝4.设切点的坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝320x ＋1＝4，∴x 0＝±1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝1，y 0＝－14，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18.切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18.即y ＝4x －18或y ＝4x －14.21．(1)f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ，f ′(－1)＝0，即3a －6－6a ＝0，∴a ＝－2.(2)∵直线m 恒过定点(0,9)，先求直线m 是曲线y ＝g (x )的切线，设切点为(x 0,320x ＋6x 0＋12)， ∵g ′(x 0)＝6x 0＋6，∴切线方程为y －(320x ＋6x 0＋12)＝(6x 0＋6)(x －x 0)，将点(0,9)代入，得x 0＝±1，当x 0＝－1时，切线方程为y ＝9；当x 0＝1时，切线方程为y ＝12x ＋9.由f ′(x )＝0得－6x 2＋6x ＋12＝0，即有x ＝－1或x ＝2，当x ＝－1时，y ＝f (x )的切线方程为y ＝－18；当x ＝2时，y ＝f (x )的切线方程为y ＝9.∴公切线是y ＝9.又有f ′(x )＝12得－6x 2＋6x ＋12＝12，∴x ＝0或x ＝1.当x ＝0时，y ＝f (x )的切线方程为y ＝12x －11；当x ＝1时，y ＝f (x )的切线方程为y ＝12x －10，∴公切线不是y ＝12x ＋9.综上所述公切线是y＝9，此时存在，k＝0.。