Venn图
A
·1 ·2
4. 随机事件之间的关系和运算
(1) 包含：若A发生则B必发生，记为 A B
A： A
(2) 相等：若AB且B A, 记为 A=B
A B
(3) 和（并）： AB = {A与B中至少有一个发生}
AB
(4) 积（交）： AB = {A与B同时发生} 也记为 AB
A, B： AB AB
A
B
(8) 运算律： 交换律： AB=BA; AB=BA; 结合律： (AB)C =A(BC); (AB)C=A(BC);
分配律： A(BC) =ABAC; A(BC)=(AB)(AC);
对偶律(De Morgan)： A B AB; AB A B
n
n
Ai Ai ;
i 1
i 1
n
n
Ai Ai ;
AB
n
推广： A1 A2 An Ai , (有限和 )
i 1
n
A1 A2 An Ai , (有限积 )
i 1
A1 A2 An Ai ,
i 1
A1 A2 An Ai ,
i 1
(可列和 ) (可列积 )
(5) 对立 (逆, 余)： A = {A不发生} A A Ω, AA , A A
例5. 对某个目标重复进行两次射击. 随机试验E1：观察各次射击情况 随机试验E2：观察两次命中目标的次数
3. 随机事件 随机事件(random event)：
样本空间的子集, 记为 A, B, C, … 例1. 抛掷一颗“骰子”，观察出现的点数.
必然事件(certain event)
不可能事件(impossible event)
(3) 若AB=， 则 P(A B) = P(A) + P(B).
推论1 若A1, …, Am , 有Ai Aj =( ij, i, j =1,2, …,m )，则
m
m
P( Ai ) P(Ai )
i 1
i 1
推论2 对任一事件A，有 P( A) 1 P( A).
例8. (彩票问题) 市面上发行一种福利彩票称为“幸 福35选 7”，开奖时摇号机从01, 02, …, 35 中不重复地 摇出 7 个基本号码和1个特殊号码. 中奖规则如下，试 求中奖概率.
n≤N, M ≤ N) 的概率：
Am={取出的n个中恰有m件次品} (m=0,1,2, …,r；r=min{n, M})
P( Am )
C C m nm M NM CNn
例5. 抽样通常有两种方式：① 不放回抽样 ② 有放回抽样
例4中一批产品共100件，其中5件次品，有放回抽 样任取3件，求 (1)全是正品的概率；(2)恰有2件次 品的概率.
A
(6) 差： A-B = { A发生而 B不发生} A
A B AB, A Ω A,
B
(7) 互不相容 (互斥)：A与B不同时发生，即 AB＝
推广: A1, …, An中任意两个之间都
互不相容，即
Ai Aj= (ij, i, j =1,2, …,n)
则称 A1, …, An两两互不相容.
i 1
i 1
例1. 设A、B、C是三个事件，试用A、B、C的运算关 系表示下列事件：
(1) A发生而B与C不发生 (2) A与B都发生而C不发生 (3) A、B、C 都发生 (4) A、B、C中至少有一个发生 (5) A、B、C都不发生 (6) A、B、C中恰有一个发生
(7) A、B、C中不多于一个发生
例7. (分配问题) 设有n只球，每只球都等可能地被放 到N个不同盒子 (N≥n)的任一个盒子中，每个盒子所 放球数不限. 试求
(1) 前 n 个盒子中各有一球的概率； (2) 任意的 n 个盒子中各有一球的概率.
由古典概型，概率具有三个基本性质：
(1) 对任一事件A，有0≤P(A) ≤1；
(2) P( )=1， P()=0；
例1.抛掷一枚硬币. 随机试验E：观察出现正、反面情况. 例2. 一个盒中有5个球，其中3个红球，2个白球.
1 12 3 4 5 随机试验E1：从中摸出一球观察号数 随机试验E2：从中同时摸出两球观察号数 例3. 一个大型超市. 随机试验E：记录一天内进入超市的顾客人次.
例4. 某灯泡厂生产的一批同型号灯泡. 随机试验E：任取一只检测其寿命(小时）
12 4 12 5 3 4 3 5 4 5
上面例子的特点： ◆试验的可能结果(样本点)的个数有限，且两两互
不相容： ＝{1, 2, … n} (有限性)
◆每个可能结果(样本点)发生的可能性相等；
P{1}
P{ n }
1 n
(等可能性)
定义1 若事件A 含有k 个样本点，则A的概率为
P( A)
k n
A所包含的样本点个数 Ω中样本点总数
古典概型
例3. 一个盒中有5个球，其中3个红球 2个白球，任取
两只，求这两只全是红球的概率.
例4. 设有一批产品共100件，其中5件次品，现从中 任取3件，求 (1)全是正品的概率；(2)恰有2件次品的 概率.
一般地，若一批产品共N件，其中M件次品，从中
任取n件，则取出的n件中恰有m件次品 (m≤n, m≤M,
一般地，若一批产品共N件，其中M件次品，有放
回地从中任取n件，则取出的n件中恰有m件次品
(m≤n, m≤M, n≤N, M ≤ N) 的概率：
Am={取出的n个中恰有m件次品} (m=0,1,2, …, n )
P( Am )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Cnm
M N
m 1
M N
nm
例6. 已知盒中a只红球，b只白球，每次从中任意抽 取一只，抽到后不放回，求第j次抽到的一只是红球 的概率 (1≤j ≤a+b).
(8) A、B、C中不多于两个发生
(9) A、B、C中至少有两个发生
§2. 概率的直观意义及其计算
概率(Probability)
P(A)
1. 古典概型
例1. 抛掷一枚硬币，观察出现正反面
例2. 一个盒中有5个球, 其中3个红球，2个白球，
从中任取一球
1 12 3 4 5
例3. 上例盒中任取两球
1 12 1 3 1 4 1 5 12 3
第1章
随机事件及其概率
§1. 随机事件及其运算
1. 随机现象
确定性现象 (deterministic phenomenon)
随机现象 (random phenomenon)
随机试验 (random experiment) E
2. 样本空间
样本点(sample point)： 样本空间(sample space) ：