习题一 随机事件及其概率一、填空题1．设随机试验E 对应的样本空间S ,与其任何事件不相容的事件为φ，而与其任何事件相互独立的事件为φP （A|B ）=1, 则A 、B 两事件的关系为 A=B ；设E 为等可能型试验，且S 包含 10 个样本点，则按古典概率的定义其任一基本事件发生的概率为 0.1 。

2．若A 表示某甲得100分的事件，B 表示某乙得100分的事件，则（1）A 表示 甲未得100分的事件；（2）A B ⋃表示 甲乙至少有一人得100分的事件；（3）AB 表示 甲乙都得100的事件；（4）AB 表示 甲得100分，但乙未得100分的事件；（5）AB 表示 甲乙都没得100分的事件；（6）AB 表示 甲乙不都得100分的事件；3．若事件,,A B C 相互独立，则()P A B C ⋃⋃= ()()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P A P C P B P C P A PB PC ++---+。

4．若事件,A B 相互独立，且()0.5,()0.25,P A P B ==则 ()P A B ⋃=0.625。

5．设111()()(),()()(),(),4816P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =======则 ()P A B C ⋃⋃=167；()P ABC =169；(,,)P A B C =至多发生一个43；(,,P A B C =恰好发生一个）163；(|)P A A B C ⋃⋃=74。

6．袋中有 50 个乒乓球，其中 20 个是黄球，30 个白球，今有两人依次随机地从袋中各取1球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 0.4 。

7．将 C ，C ，E ，E ，I,N,S 七个字母随机地排成一行，则恰好排成英文单词 SCIENCE 的概率为11260。

8．10 件产品有 4 件次品，现逐个进行检查，则不连续出现 2 个次品的概率为 。

9．在[-1,1]上任取一点，则该点到原点距离不超过13的概率是0.33。

10．在区间（0，1）上随机地取出两个,u v ，则关于x 的一元二次方程220x vx u -+=有实根的概率是0.33。

11．若有n 个人随机地站成一列，其中有甲、乙两个，则夹在甲和乙之间恰 有r 个人的概率为)1()1(2---n n r n 。

12．对二事件,A B 已知()0.6P A =，()0.7P B =,那么()P AB 可能取到的最大值是 0.6 ；可能取到的最小值是 0.3 ；()P A B ⋃可能取到的最大值是 1 ；可能取到的最小值是 0.7 。

13．由装有 3 个白球 2 个黑球的箱中，随机地取出 2 个球，然后放到装有 4个白球和4个黑球的箱子中，试计算最后从第二个箱子中取出一球，此球为白球的概率为 0.52。

二、选择题1．以下命题正确的是 （ABCD ） A.()()AB AB A ⋃=； B.若A B ⊂，则AB A =；C.若A B ⊂，则B A ⊂；D.若A B ⊂，则A B B ⋃=.2．某学生做了三道题，以A 表示“第i 题做对了的事件”(1,2,3)i =，则该生至少做对了两道题的事件可表示为 （ B D ） A. 212313123A A A A A A A A A ⋃⋃； B. 122313AA A A A A ⋃⋃； C. 122313A A A A A A ⋃⋃ ； D. 212313123123A A A A A A A A A A A A ⋃⋃⋃.3． 若事件A 与B 相容，则有 （ B ）A.()()()P A B P A P B ⋃=+；B. ()()()()P A B P A P B P AB ⋃=+-；C. ()1()()P A B P A P B ⋃=--；D. ()1()()P A B P A P B ⋃=-.4 .事件A 与B 互相对立的充要条件是 （ C ）A.()()()P AB P A P B =;B.()0P AB =且()1P A B ⋃=;C.AB =∅且A B S ⋃=;D.AB =∅.5.已知()0P B >且12A A =∅,则（ ABC ）成立.A.1(|)0P A B ≥；B.1212(()|)(|)(|)P A A B P A B P A B ⋃=+；C.12(|)0P A A B =；D. 12(|)1P A A B =.6．若()0,()0P A P B >>且(|)()P A B P A =，则（ AB ）成立.A. (|)()P B A P B =；B.(|)()P A B P A =；C.,A B 相容；D.,A B 不相容.7．对于事件A 与B ，以下命题正确的是( ).A.若A 、B 互不相容,则A 、B 也互不相容；B.若A 、B 相容,则A 、B 也相容；C.若A 、B 独立，则A 、B 也独立；D.若A 、B 对立，则A 、B 也对立.8．若事件A 与B 独立，且()0,()0P A P B >>， 则（ AB ）成立.A. (|)()P B A P B =；B.(|)()P A B P A =；C.,A B 相容；D.,A B 不相容.三、解答题1． 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间S 与随机事件A ：（1）掷一颗骰子，观察向上一面的点数；事件A 表示“出现奇数点”；（2）对一个目标进行射击，一旦击中便停止射击，观察射击的次数；事件A 表示“射击不超过3次”；（3）把单位长度的一根细棒折成三段，观察各段的长度；事件A 表示“三段 细棒能构成一个三角形”。

解: (1) }{11,2,3,4,5,6S =,A 1=}{1,3,5;(2) }{21,2,S = , A 2=}{1,2,3;(3) 设折得三段长度分别为x,y 和1-x-y ，()}{3,01,0,1S x y x y x y =<+<<<, .3111{(,)|0,0,1}222A x y x y x y =<<<<<+< 2． 化简下列各式 (1)AB AB ⋃ (2)()()A B A B ⋃⋃⋃ (3)()()A B A B ⋃⋂-解：(1) AB AB ⋃=A （B B ⋃）=AS =A(2) ()()A B A B ⋃⋃⋃=()()()()A B A A B B ⋃⋃⋃⋃⋃=Ω⋃Ω=Ω(3) ()()A B A B ⋃⋂-=()()()()A B AB ABAB AABB AA BB φ⋃⋂====3．一工人生产了四件产品，以i A 表示他生产的第i 件产品是正品(1,2,3,4)i =，试用i A 表示(i =1,2,3,4)下列事件：（1）没有一件产品是次品；（2）至少有一件产品是次品；（3）恰有一件产品是次品；（4）至少有两件产品不是次品。

解：(1) 1234A A A A ; (2) 1234A A A A (1234A A A A ⋃⋃⋃); (3) 1234123412341234A A A A A A A A A A A A A A A A +++;(4) ()()()()()()121314232434A A A A A A A A A A A A ⋃⋃⋃⋃⋃4．掷两颗骰子，试求出现的点数之和大于9的概率。

解：用,x y 表示两颗骰子掷出的点数，则1,6,x y ≤≤每一点对(),x y 表示每次掷两颗骰子的结果即为一基本事件，则样本空间}{(,),1,2,,6S x y x y == ，A 表示掷两颗骰子出现的点数之和大于9的事件。

则A=}{(4,6)(5,5)(5,6)(6,4)(6,5)(6,6)，而样本空间中包含的样本点总数为36，由古典概型计算公式，61()366P A ==。

5. 已知N 件产品中有M 件是不合格品，今从中随机地抽取n 件，试求:(1) n 件中恰有k 件不合格品的概率；(2) n 件中至少有一件不合格品的概率。

解：从N 件产品中抽取n 件产品的每一取法构成一基本事件,共有n N C 种不同取法.(1)设A 表示抽取n 件产品中恰有k 件不合格品的事件，则A 中包含样本点数为kn k M N M C C --,由古典概型计算公式，()k n k M N M n NC C P A C --=。

(2) 设B 表示抽取n 件产品中至少有一件不合格品的事件，则B 表示n 件产品全为合格品的事件，包含nN M C -个样本点。

则()1()1n N M n NC P B P B C -=-=-。

6. 一个口袋里装有10只球，分别编上号码1,…,10,随机地从口袋里取3只球。

试求：(1) 最小号码是5的概率；(2) 最大号码是5的概率。

解:从10只球中任取3只的每一种取法构成一基本事件，则样本点总数为310C 。

(1)设A 表示“3只球中最小号码是5的取法”，共有25C 种取法，因此121)(31025==C C A P (2)设B 表示“3只球中最大号码是5的取法”，共有24C 种取法，因此201)(31024==C C A P 7. 一份试卷上有6道题。

某位学生在解答时由于粗心随机地犯了4处不同的 错误。

试求，(1) 这4处错误发生在最后一道题上的概率；(2) 这4处错误发生在不同题上的概率；(3) 至少有3道题全对的概率。

解：4个错误发生在6道题中的可能结果共有64=1296种，即样本点总数为1296。

(1) 设A 表示“4处错误发生在最后一道题上”，只有1种情形，因此12961)(=A P ； (2) 设B 表示“4处错误发生在不同题上”，即4处错误不重复出现在6道题上，共有46P 种方式，因此有6360345=⨯⨯⨯种可能，故.1851296360)(==B P (3) 设C 表示“至少有3道题全对”相当于“至少有2个错误发生在同一题上”，而C 表示“4处错误发生在不同题上”，B C =，1813)(1)(=-=B P C P .8. 在单位圆内随机地取一点Q ，试求以Q 为中点的弦长超过1的概率。

解：在单位内任取一点Q ，坐标为),(y x ，样本空间S=}{,1),(22<+y x y x 记事件A为“以Q 为中点的弦长超过1”，A=⎩⎨⎧⎭⎬⎫<+⎩⎨⎧=⎭⎬⎫>+-43),(,)21()(1),(22222y x y x y x y x 。

由几何概型公式得75.0143)(=⋅⋅=ππA P . 9. 在长度为T 的时间段内，有两个长短不等的信号随机地进入接收机。

长信号持续时间为1()t T ≤，短信号持续时间为2()t T ≤。