1.轻型飞机连同驾驶员总质量为31.010kg ⨯。
飞机以155.0m s -⋅速率在水平跑道上着陆后,驾驶员开始制动,若阻力与时间成正比,比例系数215.010N S -∂=⨯⋅求:⑴ 10秒后飞机的速率;⑵ 飞机着陆后10秒内滑行的距离。
解:(1)在水平面上飞机仅受阻力作用,以飞机滑行方向为正方向, 由牛顿第二定律得:t dt dv mma F -∂===∴ dt m t dv t v v ⎰⎰∂-=00 可得:202t mv v ∂-=∴ 当s t 10=时,10.30-⋅=s m v (2)又∵ dtdr v =∴⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛∂-==ttrdt t m v vdt dr 020002 ∴m t mt v r r s 4676300=∂-=-= 2.用铁锤把钉子敲入墙面木板,设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深度成正比。
若第一次敲击,能把钉子钉入木板21.0010m -⨯。
第二次敲击时,保持第一次敲击钉子的速度,那么第二次能把钉子钉入多深?试问木板对钉子的阻力是保守力?解:由动能定理,有:12201011022s m kx x ks -=-=-⎰d v设铁锤第二次敲打时能敲入的深度为ΔS ,则有112220111110()222s s s m kx x k s s ks +∆⎡⎤-=-=-+∆-⎢⎥⎣⎦⎰d v得:2211()2s s s +∆= 化简后为:11s s +∆=第二次能敲入的深度为:111)10.41cm s s ∆=-=⨯=cm 易知:木板对钉子的阻力是保守力3.某弹簧不遵守胡克定律,力F 与伸长x 的关系为F =52.8x +38.4x 2(SI ),求: ⑴ 将弹簧从伸长x 1=0.50 m 拉伸到伸长x 2=1.00 m 时,外力所需做的功。
⑵ 将弹簧横放在水平光滑桌面上,一端固定,另一端系一个质量为2.17 kg 的物体,然后将弹簧拉伸到一定伸长x 2=1.00 m ,再将物体由静止释放,求当弹簧回到x 1=0.50 m 时,物体的速率。
⑶此弹簧的弹力是保守力吗? 解:(1)()2211252.838.431x x x x W Fdx x x dx J ==+=⎰⎰(2)由动能定理可知2220111222W mv mv mv =-=,即 5.35/v m s == (3)很显然,力F 做功与路径无关,此弹簧的弹力是保守力。
()()()220202002022222011322:,,,,3341111332222B A B A A B kx m v v A B K B v v v v v v v Lmv mv mv mv m v mv m v kL =∴=--->↓↑===+=-----=++---有①对、、系统过平衡位置后由于弹簧被拉长且当时弹簧拉得最长动量导恒②机械能守恒③4.在光滑水平面上有一质量为B m 的静止物体B ,在B 上又有一质量为A m 的静止物体A ,今有一小球从左边射到A 上,并弹回,于是A 以速度0v (相对于水平面的速度)向右边运动,A 和B 间的摩擦系数为μ,A 逐渐带动B 运动,最后A 与B 以相同的速度一起运动。
问A 从运动开始到与B 相对静止时,在B 上走了多远?解:由于水平面是光滑的,故而物体A 和物体B 所组成的系统水平方向动量守恒,设A 与B 运动相同的速度为v ,则有()v m m v m B A A +=0,即BA A m m v m v +=A 和B 间的摩擦之间的摩擦力为g m A μ,则A 的加速度大小为g μ,B 的加速度大小BA m gm μ,设在达到共同的速度时,A 相对地面走的路程为1S ,B 相对地面走的路程为2S 则有12022gS v v μ-=-,222S m gm v B A μ=,即A 在B 上走的距离为()gm m v m S S B A B +=-μ2221 5. 两个质量分别为m 1和m 2的木块A和B,用一个质量忽略不计,劲度系数为k 的弹簧联接起来,放置在光滑水平面上,使A紧靠墙壁(如图所示),用力推木块B使弹簧压缩x 0,然后释放,已知m 1=m ,m 2=3m ,求:⑴ 释放后,A、B两木块速度相等时的瞬时速度的大小;⑵ 释放后,弹簧的最大伸长量。
解:放手后,B 向右运动。
当B 运动到弹簧原长处0时2414343343)2(434302020220222220020x L kx x m k m x m K m kL kL m v m v x m k v v =∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=---==用①、④式代入:由③式变为:④由②式得:6. 一转动惯量为J 的圆盘绕一固定轴转动;起初角速度为ω 0,设它所受阻力矩与转动角速度成正比,即M = - k ω (k 为正的常数),求圆盘的角速度从ω 0变为ω 0/2时所需的时间。
解:dtd J k M ωω=−−−→−-=转动定律由7. 如图,长为L 质量为m 的均匀细杆可绕水平轴O 在竖直平面内转动,另有一质量也为m 的小球用一轻绳栓住.不计一切摩擦,开始时使杆和绳均在水平位置,再让它们同时由静止释放,若在相同的时间内球与杆转过相同的角度,求:⑴绳的长度a ; ⑵若撞后,球与杆一起转动,其角速度ω为多大? 解:,,)1(21转到竖直位置时棒角速度为设小球角速度为ωω()()l g m L m a m l m a la lg m l m gl ag m a m ga /3713)3/1(:)2(32:,331212122/12222122122221212=∴+=-===∴⎪⎭⎫ ⎝⎛==∴=ωωωωωωωωωω角动量守恒得由棒小球8. 一内外半径分别为1R 和2R 的均匀带电球壳总电量为1Q ,球壳外同心地罩一个半径为3R 的带电球面,球面带电为2Q 。
求:⑴ 场强E 分布;⑵ 作E —r 曲线。
(r 为场点到球心的距离)解:(1)以球心O 为原点,球心至场点的距离r 为半径,作同心球面为高斯面。
由于电荷分布呈球对称分布,电场强度也为球对称分布,高斯面上电场强度沿径矢方向,且大小相等。
因而由高斯定理0Sq E dS ε⋅=∑⎰⇒ 024επ∑=⋅q rE ,可得204r q E πε∑=2ln 21ln :0200kJ t dt J k d dt J k d dt J k t =∴=-=-=-⎰⎰ωωωωωω积分分离变量1R r <时,高斯面内无电荷,0=∑q ,故01=E21R r R <<时,高斯面内电荷3132313131331321)()(34)(3/4R R R r Q R r R R Q q --=-⋅-=∑ππ, 所以33112332021()4()Q r R E R R r πε-=- 32R r R <<时,高斯面内电荷1Q q =∑,故2134/r Q E οπε= 3R r >时,高斯面内电荷21Q Q q +=∑,故124204Q Q E r πε+=以上电场强度的方向均沿径矢方向。
9. 电荷Q 均匀分布在半径为R 的球体内,试求球内、外的电势分布。
解: 因电荷Q 的分布具有球对称性,所以球内外场强分布具有球对称性,可在球内、外作半径为r 的同心球面为高斯面,由高斯定理0ε∑⎰=⋅iSqS d E⇒024επ∑=⋅iqr E 得:204rqE i πε∑=。
R r >时(即球外),2014r QE πε=,所以球外任意一点的电势rQ r r Q r E V rr02014d 4d πεπε==⋅=⎰⎰∞∞R r <时(即球内),33333434RQr r R Q q i ==∑ππ,故3024R QrE πε= 所以球内任意一点的电势为⎰⎰⎰⎰∞∞+=⋅+⋅=RrRR rR dr rQ dr R Qr r d E r d E V 20301244πεπε3022022308)3(4)(8Rr R Q R Qr R R Qπεπεπε-=+-= 10. 球壳的内半径为R 1,外半径为R 2,壳体内均匀带电,电荷体密度为ρ ,A、B、C点分别与球心O 相距为a 、b 、c ,求:A、B、C三点的电势与场强。
解:(1)作半径为r 的同心球面为高斯面,由于电荷分布具有球对称性,电场强度分布也呈球对称性,高斯面上各点的电场强度沿径矢方向,且大小相等。
因而由高斯定理ε∑⎰=⋅iSqS d E ⇒ 024επ∑=⋅iq rE 得:204r qE iπε∑=所以A 、B 、C 三点的场强分别为 0=A E203133)(b R b E B ερ-=, 2031323)(cR R E C ερ-= 电场强度沿径矢方向(2)A 、B 、C 三点的电势分别为⎰⎰⎰∞-=-+⋅-+=1221)(23)(3)(02122020313220313R aR R R A R R dr rR R dr r R r dr V ερερερ )23(63)(3)(3122202031322031322b R b R dr r R R dr r R r V R bR B --=-+⋅-=⎰⎰∞ερερερ 33332121200()()33C CR R R R V dr r cρρεε∞--=⋅=⎰11. 两个同轴的圆柱,长度都是L ,半径分别为R 1与R 2 (L >>R 1,R 2),这两个圆柱带有等值异号电荷Q ,两圆柱之间充满电容率为ε的电介质,忽略边缘效应。
⑴ 求这个圆柱形电容器的电容;⑵ 求与圆柱轴线垂直距离为r (R 1 < r < R 2)处一点P 的电场能量密度; ⑶ 求电介质中的总电场能量。
解: 由高斯定理,r 处的电场强度()2QE r rLπε=,(1)故两圆柱的电势差221121()ln 22R R R R Q Q R U E r dr dr rL L R πεπε===⎰⎰ 故212ln Q L C R U R πε== (2)因为()2Q E r rL πε=,所以,222221()28E Q w E r r Lεπε== (3)总能量221122222212ln 44R R E R R Q rLdr Q R W w rLdr r L L R πππεπε===⎰⎰ 12. 载有电流为I 的无限长导线,弯成如图形状,其中一段是半径为R 的半圆,则圆心处的磁感应强度B 的大小为多少? 解: 选B 以垂直纸面向外为正方向.C123B B B B →→→→=++1(14IB Rομπ=--2,42I B R ομπ=⋅34I B R ομ=∴ )12(4-+=ππμοRIB13. 如图,电流I 均匀地自下而上通过宽度为a 的无限长导体薄平板,求薄板所在平面上距板的一边为d 的P 点的磁感应强度。