毕业论文题目：分形理论学院：物理与电子工程学院专业：物理学毕业年限：2012年6月学生姓名：**学号：************指导教师：***分形理论学生姓名：张婷指导教师：段文山（西北师范大学物理与电子工程学院甘肃兰州 730070）摘要：分形理论是现代非线性科学中的一个重要的分支，是科学研究中一种重要的数学工具和手段。

本文介绍了分形理论的基本概念，给出了分形理论的重要参数分形维数的几种常见定义和计算方法。

重点介绍了分形理论在城镇管理、工程技术、物理、等学科领域的应用及其最新的进展情况。

提出分形理论将面临和有待解决的问题。

关键词：分形理论；分形维数；应用状况Theory of FractalAbstract:Fractal theory is a branch of nonlinear science and an important means for science research.This paper introduces the basic concept and several calculating methods of fractal dimension as a main parameter of fractal theory.Primarily,it is summarized that fractal theory have been used in various fields such as management,engineering and geography,physics,etc.In the end,problems in face of fractal theory is advanced．Key words:Fractal theory;Fractal dimension;Application目录中文摘要 (1)英文摘要 (1)引言 (3)1 分形的概述 (3)1.1 分形的提出 (3)1.2 分形的特征 (4)1.3 分形维数及其计算方法 (5)2 分形理论的应用实例 (8)2.1 分形理论在甘肃城镇规模中的应用 (8)2.1.1甘肃省城镇规模等级结构特点 (8)2.1.2甘肃省城镇体系空间结构的特点 (10)2.1.3甘省城镇体系的分形研究 (11)2.2分形理论在河流研究中的应用 (13)3 分形理论在一些领域中的应用 (14)3.1 在工程技术中的应用 (14)3.1.1在疲劳断裂分析中的应用 (14)3.1.2分形理论在故障诊断中的应用 (15)3.2 分形理论在物理学中的应用 (15)4 结论 (16)引言分形理论创始于二十世纪七十年代初期,其研究对象为自然界和现实生活中广泛存在的非规则而具有自相似特性的几何形态。

所生活的自然界是丰富多彩的,天空中飘浮着的变幻莫测的云团,辽阔无际的地貌,海洋上风起云涌时的巨大海浪,各种犬牙交错的海岸线,以及身边无处不在的花草、树木等等。

对于这么多的千变万化的不规则的形态,多少年来,人们习惯于用传统的欧几里得几何理论来描述,主要是用直线段、圆弧、平面、及曲面等手段来对他们进行分析。

这种用规则的几何理论去描述非规则的几何形态所得到的结果应该说是有巨大差异的,有时甚至是不可能的。

一方面是自然界中无处不在的非规则几何形体,另一方面是很难确切地来描述它,这给带来了极大的困惑。

分形几何学的创立,为准确地描述非规则的几何形态提供了强有力的工具。

1967年—1981年,是分形的产生和起步阶段。

在这一阶段的标志性人物是B.B.Mandelbrot和后来被称为“分形之父”的芒德布罗[1]。

分形理论的创立和发展不仅为自然学规律性的发现建立了崭新的数学语言和定量描述，同时亦为自然学提供了新思想和新方法，其应用可看作是继数理统计方法、遥感技术、GIS技术之后地学的一次非线性革命。

虽然“革命”能否成功，目前尚难定论，但有一点是可以肯定的，那就是，分形理论以非规则和非线性物体为研究对象，主要研究和揭示复杂的自然和社会现象中所隐藏的规律性、层次性和标度不变性，是一门横跨自然科学、社会科学和思维科学的新学科，是探索复杂对象的一种新方法。

分形理论自诞生以来先后应用于数学、物理学、地质学等学科，后又渗透到化学材料科学、生物医学等领域。

近年来开始延伸至历史、文艺、语言、社会结构、经济、管理等社会科学领域，成为非线性科学的重要前沿分支，并正处于迅猛发展中。

1 分形理论的概述1.1 分形的提出大千世界存在很多奇形怪状的物体及扑朔迷离的自然景观,人们很难用一般的物质运动规律来解释它们,象变换多姿的空中行云,崎岖的山岳地貌,纵横交错的江河流域,蜿蜒曲折的海岸线,夜空中繁星的分布,各种矿藏的分布,生物体的发育生长及形状,分子和原子的无规运动轨迹,以至于社会及经济生活中的人口、噪声、物价、股票指数变化等等。

欧氏几何与普通的物理规律不能描述它们的形状及运动规律,这些客观现象的基本特征是在众多复杂因素影响下的大系统(指包括无穷多个元素)的无规运动。

通俗一点讲,这是一个复杂的统计理论问题,用一般的思维逻辑去解决肯定是很困难的或者说是行不通的。

1973年，美籍数学家曼德尔勃罗特（Mandelbrot）[2]首次提出了分形（Fracta1）一词，其原意具有不规则、支离破碎等意义。

在这之后几年内，曼德尔布罗特通过对这些系统的随机运动现象的大量研究,提出了让学术界为之震惊的“分形理论”,以企图揭示和了解深藏在杂乱无规现象内部的规律性及其物理本质，从而开辟了一个全新的物理与数学研究领域，引起了众多物理学家和数学家的极大兴趣。

1.2 分形的特征分形,简单的讲就是指系统具有“自相似性”和“分数维度”。

具体来说，分形是指一类无规则、混乱而复杂, 但其局部与整体有相似性的体系, 自相似性和标度不变性是其重要特征。

体系的形成过程具有随机性,体系的维数可以不是整数而是分数[3]。

它的外表特征一般是极易破碎、无规则和复杂的,而其内部特征则是具有自相似性和自仿射性。

自相似性是分形理论的核心，指局部的形态和整体的形态相似，即把考察对象的部分沿各个方向以相同比例放大后,其形态与整体相同或相似；自仿射性是指分形的局部与整体虽然不同，但经过拉伸、压缩等操作后，两者不仅相似，而且可以重叠。

综上我们可以知道自相似性即是指物体的（内禀）形似,不论采用什么样大小的测量“尺度”，物体的形状不变。

如树木不管大小形状长得都差不多,即使有些树木从来也没见过,也会认得它是树木；不管树枝的大小如何，其形状都具有一定的相似性。

曼德尔勃罗特分别从数学和更通俗的角度为分形进行了定义[1]：若集合A满足Dim（A）>dim（A），则称之为分形集。

其中，Dim（A）为集合A的Hausdoff维数（或分维数），dim（A）为其拓扑维数。

部分与整体以某种形式相似的形，称为分形。

然而经过理论和应用的检验，人们发现这两个定义很难包括分形如此丰富的内容。

因此至今为止也没有一个对分形全面的、确切的定义。

本文中我们使用英国数学家Falcomer按照生物学给出“生命”定义的类似方法[4]对分形所进行的特征描述，将分形看成是具有以下所列性质的集合F：（1）F具有精细结构，即在任意小范围内包含整体（2）F是不规则的，以至于不能用传统的语言来描述（3）F通常具有某种自相似性，可以是近似的可以是具有统计意义的（4）F在某种方式下定义的“分维数”通常大于F的拓扑维数（5）F的定义常常是简单的，并由递归,迭代产生1.3 分形维数及其计算方法维数是几何对象的一个重要特征量，传统的欧氏几何学研究、立方体等非常规整的几何形体。

按照传统几何学的描述，点是零维，线是一维，面是二维，体是三维。

但仔细观看，对于大自然用分型维数来描述可能会更接近实际。

分形的分数维,是相对于欧氏几何中的直线、平面、立方而言的,它们分别对应整数一、二、三维，当然分数维度“空间”不同于人们已经习惯的整数维度空间，其固有的逻辑关系不同于整数维空间中的逻辑关系。

科学家发现海岸线的长度是不可能准确测量的，对一个足够大的海岸线无论采用多么小的标尺去测量其长度发现该海岸长度不趋于一个确定值！用数学语言来描述即是海岸线长度与测量标尺不是一维空间的正比关系，而是指数关系，其分形维是1.52。

因此有理由相信海岸线的形状与这个分数维有内在关系。

分形维数[2]是用来定量描述自相似性的参数，记为D，定量刻画分形特征的参数，在一般情况下是分数（包括整数），它是表征分形集复杂度的，分形维数越大，其分布就越复杂，反之亦然。

由于研究目的和方式不同, 分维有不同的定义并且可以通过计算的方法来实现，因此分形维数D有多种定义和计算方法，常用的是拓扑维数、豪斯道夫维数、盒维数[7]、信息维数、容量维数、相似维数、关联维数和广义维数等。

下面是几种分形维数的测定方法：（1）拓扑维数一个几何对象的拓扑维数等于确定其中一个点的位置所需要的独立坐标数目。

对于一个二维几何体——边长为单位长度的正方形，若用尺度r=1/2的小正方形去分割，则覆盖它所需要的小正方形的数目N(r)和尺度r 满足如下关系式(1) 若r=1/4，则(2) 当r=1/k （k=1，2，3，…）时，则 (3) 一般地，如果用尺度为r 的小盒子覆盖一个d 维的几何对象，则覆盖它所需要的小盒子数目N(r)和所用尺度r 的关系为：(4) 变形得 (5) 定义为拓扑维数（2）Hausdorff 维数几何对象的拓扑维数有两个特点：一是d 为整数；二是盒子数虽然随着测量尺度变小而不断增大，几何对象的总长度(或总面积，总体积)保持不变。

但总长度会随测量尺度的变小而变长，最后将趋于无穷大。

因此，对于分形几何对象，需要将拓扑维数的定义推广到分形维数。

因为分形本身就是一种极限图形，可以得出分形维数的定义：(6) 上式就是Hausdorff 分形维数，通常也简称为分维。

拓扑维数是分维的一种特例，分维D0大于拓扑维数而小于分形所位于的空间维数。

2)21(14)21(==N 2)41(116)41(==N 22)1(1)1(kk kN ==d r r N 1)(=)/1ln()(ln r r N d =)/1ln()(ln lim00r r N D r →=（3）容量维数测定方法。

容量维数是应用最广的维数之一，该方法的计算过程是若()d N 是能够覆盖住一个点集的直径为d 的小球的最小数目, 则点集的容量维数[8]定义为/lgd d lgN lim -D 0d K ）（→= (7) (4)信息维数测定方法。

如果将每一个小盒子编上号，并记分形中的部分落入第i 个小盒子的概率为Pi ，那么用尺度为r 的小盒子所测算的平均信息量为(8)若用信息量I 取代小盒子数N(r)的对数就可以得到信息维1D 的定义(9) 如果把信息维看作Hausdorff 维数的一种推广，那么Hausdorff 维数应该看作一种特殊情形而被信息维的定义所包括。