平面向量部分常见的题型练习
类型(一)：向量的夹角问题
1•平面向量a,b，满足a =1,b =4且满足a.b = 2，则a与b的夹角为 _________
2•已知非零向量a,b满足a = b,b丄(b—2a),则a与b的夹角为___________
3•已知平面向量a,b满足(a -b).(2a - b) —4且*2,” 以且，则a与b的夹角为_________________ 4•设非零向量a、b、c满足| a |=| b |=| c |,a ■ b = c，则：::a, b = ____
5•已知a =2」b| =3, a +b = J7,求a与b的夹角。
6•若非零向量a,b满足a = b ,(2a+b).b=0,则a与b的夹角为____________
类型(二)：向量共线问题
1. 已知平面向量a =(2,3x),平面向量b =( 一2,18),若a // b，则实数x ____________
2. 设向量a = (2,1),b = (2,3)若向量，a - b与向量c = (- 4, - 7)共线，则，-
3・已知向量a (1,1),b (2, x)若a b与4b - 2a平行，则实数x的值是( )
A. -2
B. 0
C. 1
D. 2
4已知向量OA =(k,12),0B =(4,5),OC =(-k,10),且A, B, C三点共线，
则k = ___
5. 已知A (1,3),
B (—2,—3),
C (x,7)，设AB =a , BC = b 且a // b，则x 的值为()
(A) 0 (B) 3 (C) 15 (D) 18
6. 已知a= (1, 2), b= (-3 —2)若k a+2b与2a-4b共线，求实数k的值；
7. 已知a —c是同一平面内的两个向量，其中 a =
(1 —2)若|^ = 2. 5，且a // c，求c的坐标
—I-
8. n为何值时，向量a ( n ,1)与b = (4, n)共线且方向相同？
9. 已知a = 3,b = (1,2),且a // b，求a的坐标。
10. 已知向量a (2, -1),b ( -1, m),c =(-1,2)，若(a b)// c，则m= ________________
11. 已知a,b不共线，c =ka • b,d =a -b，如果c // d，那么k= _________ ,c与d的方向关系
是 ___
12.已知向量a =(1,2),b ( -2, m),且a // b，则2a - 3b = ________
类型(三)：向量的垂直问题
1 •已知向量a ( x,),b =(3,6)且a_b，则实数x的值为______________
2. 已知向量a =(1, n),b =(-1，n),若2a—b与b垂直，贝V a= _______
3. 已知a = (1, 2), b = (-3, 2)若k a+2b与2a-4b垂直，求实数k的值
4. 已知=2,冃=4，且a与b的夹角为§ ,若ka 2b与ka -2b垂直，求k的值。
5•已知a =(1,0),b =(1,1),求当•为何值时，a —b与a垂直？
―if f f ~►
6.已知单位向量m和n的夹角为一，求证：(2n - m) _ m
3
7•已知a =(4,2),求与a垂直的单位向量的坐标。
8. 已知向量a (-3,2),b =(-1,0)且向量a b与a-2b垂直，贝V实数■的值为___________
9. a (3,1),b =(1,3),c =(k,2),若(a -© _ b,则k 二__________
10. a =(1,2),b = (2,—3)，若向量C满足于(C + a)/ b , C丄(a + t),则c = ___
类型(四)投影问题
1. 已知H=5」b=4,, a与b的夹角日=¥，则向量b在向量a上的投影为_______________
J[ -------- b -------- *
2. 在Rt △ ABC 中，C ,AC=4,则AB.AC 二____________
2
3. 关于a.b =a.c且a = 0，有下列几种说法：
①a _ (b -c)；②b _ c :③a.(b-c) = 0 ④b在a方向上的投影等于c在a
方向上的投影：⑤b-'a :⑥b二c
其中正确的个数是()
(A) 4 个(B) 3 个(C) 2 个(D) 1 个
类型(四)求向量的模的问题
—F- —*■ —* —»
1. 已知零向量a =(2,),a.b=10, a+b =5*2,贝V b = _________
2. 已知向量a,b满足ia-,ib =2」a —b| =2,贝U R +b| =一
3.已知向量 a =(1,J3) , b =(_2,0)，则 a+b' =
4•已知向量a=(1,sin 8),b =(1,cos8),则a_b 的最大值为
8.设向量a , b 满足a=1,”=2,a 丄(a —2b ),则2a+b|的值为
4•下列各组向量中，可以作为基底的是(
5. a (1,1) ,b ( (4,2)
6已知a =3, |b| =2, a 与b 的夹角为
,c = a 2b,d 二 ma - 6( m R ) 3
(1)当m 为何值时，c 丄d ?(2)若c 与 d 平行，求c + d
类型(六)平面向量与三角函数结合题
1•已知向量 m=(2sin -,cos -) , n =(cos~ / 3)，设函数 f (x)二 m n
4 2 4
⑴求函数f (x)的解析式
(2) 求f(x)的最小正周期；
(3) 若0 _x _二，求f (x)的最大值和最小值.
(A) 3a b (B) 3a - b (C) -a 3b (D) a 3b
5. 设点 M 是 线段 BC 的中点，点 A 在直线 BC 夕卜，
____F 2 _ _ BC =16, AB + AC
=AB' _AC ,则 AM ' =()
(A) 8 (B) 4 (C) 2 (D) 1
6.设向量a , b 满足 =1 及 4a —3b =3，求 3a +5b 的值
=5ab=-3求 a + b 禾口 a — b
类型 (五)平面向量基本定理的应用问题
1•若 a = (1, 1), b = (1, -1), c = (-1, -2)，则 c 等于 ()
1 3」 a b
2 2
3 1 ■
(C)；a b 2 2 (A) 1 一
3 二
(B) a b
2 2
3 .丄 1 二 (D)
a b
2 2 2•已知 a =(1,0),b =(1,1),c =(一1,0) ,求■和■啲值，使c - ■ a ：〔=b
3•设”'是平面向量的一组基底，则当 e 1 e 时，’1e 「’
2e 2=0 (A )e 广(0,0),e 2 =(1,-2) (B) 珂“2)© = (5,7)
(C) e =(3,5), e 2 =(6,10) (D) e 1 =(2,—3),e 2 =(+，-4) 2 4
7.已知向量a,b 满足a
1 3 -
2.已知，A、B、C在同一个平面直角坐标系中的坐标分别为
2 2
A(3,0)、B(0,3)、C(cos： ,sin :-)。
(I)若i AC冃BC |，求角的值；
(II)
当怎葩」时，求诙鳥心的值。
3.已知：ABC的三个内角A、B、C所对的三边分别是a、b、c,平面向量m=(1,si n(B - A))，
平面向量n = (sin C - sin(2A),1).
■J r
(I)如果c =2,C ,且ABC的面积S二,3,求a的值；
3
(II)若m _n,请判断ABC的形状.
4.已知向量a =(2,sinx),b = (sin2x,2cosx),函数f (x) = a b
(1)求f (x)的周期和单调增区间；
⑵若在心ABC中，角代B, C所对的边分别是a, b,c，(J2a-c) cos B = b cosC ，求
f(A)的取值范围。
f f __ J I
5已知平面向量a = (sin v,-2),b = (1,cosR相互垂直，其中二-(0,，) (1)求sin二和cosv的值；(2)若sinC -)二洋,°「匕，求cos•的值.
6已知向量m = (sinA,cosA), n =(1,-2),且m.n =0
(1)求tanA 的值;(2)求函数f(x) =cos2x tan As in x(x R)的值域.
A A A A
7已知a，b，c分别为卫ABC的内角A，B，C的对边，m = ( -cos— ,sin— ),n =( cos— ,sin—)，且
2 2 2 2
m.n =丄.(1)求角A的大小;(2)若a = 2 3，厶ABC的面积为S3,求b • c的值.
2
8.已知a =(sin日,cos日)(0兰日兰兀)，b =(1,3)( 1)当日为何值时，向量a,b
不能作为平面向量的一组基底？( 2)求|a-b的取值范围。