平面向量部分常见的题型练习类型（一）：向量的夹角问题1.已知非零向量b a ,）（a b b 2-⊥=，则b a 与的夹角为2.已知平面向量,满足424)2.(==-=+-b a b a ）（且，则与的夹角为3.设非零向量、、满足=+==|,|||||，则>=<,4.若非零向量,,0).2(=+=则与的夹角为类型（二）：向量共线问题1.n 为何值时，向量），（1n =与),4(n b =共线且方向相同？2．已知a ，c 是同一平面内的两个向量，其中=（1，252=，且∥c ，求c 的坐标 3.已知ba ,不共线，k -=+=,，如果∥，那么k= ,与的方向关系_____)10,(),54(),12,(.4=-===k C B A k OC OB k OA 则三点共线，，，，且，已知向量 类型（三）: 向量的垂直问题1．已知a =（1，2），b =（-3，2）若k a +2b 与2a -4b 垂直，求实数k 的值242==，且b a 与的夹角为3π，若的值垂直，求与k b a k b a k 22-+。

3.已知,24），（=求与a 垂直的单位向量的坐标。

4. ，若向量），（+-==)3,2(,21∥，___=+⊥（ 类型（四）投影问题1． ，45==，b a 与的夹角32πθ=，则向量b 在向量a 上的投影为 2．关于..=且≠，有下列几种说法：① )(c b a -⊥； ② b ⊥c ；③0).(=-c b a ④b 在a 方向上的投影等于c 在a 方向上的投影 ；⑤λ=；⑥=其中正确的个数是 （ ） （A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个类型（五）求向量的模的问题1. 已知零向量====，则），（2510.,122．已知向量b a ==),cos ,1(),sin ,1(θθ的最大值为 3.已知向量,a b 夹角为45︒ ，且1,210a a b =-=；则_____b =4.设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，2=16，|+|=|―|，则||= A ．8 B ．4 C ． 2 D ．15.关于平面向量,,a b c ．有下列三个命题：①若a b a c ⋅=⋅，则b c =．②若(1)(26)a k b ==-,,，，//a b ，则3k =-． ③非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60． 其中真命题的序号为 ．（写出所有真命题的序号） 6.设单位向量m =（x ，y ），b =（2，-1）。

若，则=_______________7. 设向量，1==及34=-，求3+的值 8.设a ，b 是两个非零向量。

A.若|a+b|=|a|-|b|，则a ⊥b B.若a ⊥b ，则|a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数λ，使得b=λaD.若存在实数λ，使得b=λa ，则|a+b|=|a|-|b|类型类型（六）平面向量基本定理例1.如图，在平行四边形ABCD 中，,M N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM ＝c ，AN ＝d ，试用c ,d 表示AB ，AD ． 练习1.设ee 21,是平面向量的一组基底，则当__________,21==λλ时，2211=+e e λλ练习2．如图所示，在ABC ∆中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB mAM =，AC nAN =，则m n + 的值为______．变式训练：1． 如图,平面内有三个向量,,OA OB OC ,其中OA 与OB 的夹角为o120，OA 与OC 的夹角为o 30，且1,23OA OB OC ===若(,)OC OA OB R λμλμ=+∈则λμ+的值为________． 2．如图，在ABC ∆中，13AN NC =，P 是BN 上的一点， 若211AP mAB AC =+，则实数m 的值为_______． 3.在△ABC 中，∠ A=90°，AB=1，设点P ，Q 满足AP =AB λ，AQ =(1-λ)AC ，λ ∈R 。

若BQ∙CP=-2，则λ=（A ）13（B ）23C ）43（D ）24、给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ,它们的夹角为120o，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧B A上运动若y x +=,其中R y x ∈,,则y x +的最大值是 。

5.．已知△ABC 和点M 满足++=0．若存在实数m 使得+=m 成立，则m =A ．2B ．3C ．4D ．56.△ABC 中，点D 在AB 上，CD 平分∠ACB ．若CB =a ，CA =b ，| a |=1，| b |=1，则CD =A ．31a +32b B ．32a +31b C ．53a +54b D ．54a +53b 7.在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（ ） A ．23 B ．13 C ．13- D ．23-8.已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（ ） Ａ.AO OD = Ｂ.2AO OD = Ｃ.3AO OD = Ｄ.2AO OD = 9.已知ABC ∆和点M 满足0MA MB MC ++=.若存在实m 使得AB AC mAM +=成立，则m =A.2B.3C.4D.510．已知向量()()()3,4,6,3,5,3OA OB OC m m =-=-=---,若点AB C ，，能构成三角形，则实数m 满足的条件是__________．C BO AAB类型（七）三角形形状与四心问题1. 平面上有四个互异点A 、B 、C 、D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 的形状是______． 2. 在△ABC 中，已知向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为 3.已知非零向量,22||||,0)||||(,=⋅=⋅+BC AC AC AB 满足和 则△ABC 为（ ）A ．等边三角形B ．等腰非直角三角形C ．非等腰三角形D ．等腰直角三角形4.若P 为ABO ∆所在平面内一点，且满足+=,则点P 在（ ）A..AOB ∠平分线所在的直线上B.线段AB 的垂直平分线上 C .AB 边所在的直线上 D.AB 边的中线上5．已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是三角形ABC 的重心，动点P 满足OP =13(12OA +12OB +2OC ),则点P 的轨迹一定通过三角形ABC 的( )A.外心B. 内心C. 重心D. 垂心 6．在三角形ABC 中，动点P 满足：222CA CB AB CP =-∙，则P 点一定通过△ABC 的( )A.外心B. 内心C. 重心D. 垂心类型（八）几何法与坐标法求数量积问题1.在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM=3，BC=10，则AB AC ⋅=________. 2． 在Rt △ABC 中，===∠AC AB AC C .,4,2则π3.如图，在矩形ABCD中，2AB BC ==，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF =，则AE BF 的值是 ▲ ．4.已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则CB DE ⋅的值为________，DC DE ⋅的最大值为______。

5．在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM CN BCCD=，则AM AN ⋅的取值范围是 ．6.如图4，在平行四边形ABCD 中 ，AP ⊥BD ，垂足为P ，3AP =且AP AC = .7．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，=3，||=1，则·= A． BCD8、半圆的直径6=AB ,O 为圆心，C 为半圆上不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点（不与O 、C 重合），则（+）∙的最小值是 。

类型（九）其它问题1、 设非零向量a =)2,(x x ,)2,3(x b -=,且b a ,的夹角为钝角，则x 的取值范围是（A ）)(0,∞- （B ）) ⎝⎛0,34（C ）)(0,∞-) ⎝⎛0,34（D ） ⎝⎛⎪⎭⎫-∞-31, ) ⎝⎛-0,31 ) ⎝⎛∞+,342．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为()1,0-，()3,0，()1,5-，求第四个顶点的坐标． 3.若平面向量a ，b 满足||1a b +=，a b +平行于x 轴，(2,1)b =-，则a = .类型（十）平面向量与三角函数结合题1. 已知322ππα<<，A 、B 、C 在同一个平面直角坐标系中的坐标分别为 (3,0)A 、(0,3)B 、(cos ,sin )C αα。

(I)若||||AC BC =，求角α的值；(II)当1AC BC ⋅=-时，求22sin sin(2)1tan ααα++的值。

DAB C.cos ,20,1010)sin()2(;cos sin 120)cos ,1(),2,(sin .5的值求若的值和）求（），（相互垂直，其中已知平面向量φπφφθθθπθθθ<<=-∈=-=b a.)(sin tan 2cos )()2(;tan )1(0.),2,1(),cos ,(sin .6的值域求函数的值求且已知向量R x x A x x f A n m n A A m ∈+==-==的取值范围。

组基底？（不能作为平面向量的一为何值时，向量）当）（，（）（，（已知=≤≤=21310cos sin .8θπθθθ。