x 2 ) 6 1 5 ，则二阶差商 f [ x1 , x2 , x3 ] __________ ； x3 x 2 42 2
3、数值微分中，已知等距节点的函数值 ( x0 , y0 ), ( x1 , y1 ), ( x2 , y 2 ) ，则由三点的求导公式， 有 f ( x1 ) _______________ ； 4、求方程 x x 1.25 0 的近似根，用迭代公式 x
1
………5 分
C) A
故 R A 1 C A ，则有
R A
A 1 C ．
………10 分
5 a 3 5 a 5 1 1 x ， (3 a ) (3 a ) 3 0 ， 6 3 6 3 6 3 2
………10 分
故此迭代格式是线性收敛的． 2、证明： （1）因 R 1 ，所以 I–R 非奇异， 又因 I–R=CA，所以 C，A 都是非奇异矩阵． （2）R= I–CA ( A
1 ( ( x) 3x) ( x) 2
1 ( ( x) 3) 2 1 1 ( x) ( x) 3 1 2 2 1 故 xk 1 ( xk ) [ ( xk ) 3xk ], k 0,1,2 收敛． 2
3、分别将 f ( x) 1, x, x , x , x , x 代入数值求积公式，得到方程组
9、O（h） ； 10、 a (
1 2
,
1 2
)．
二、1、(1)先求二次拉格朗日（Lagrange）插值多项式
9 1 9 1 ( x 1)( x ) ( x )( x 3) ( x )( x 1) 27 4 1 4 4 1 4 p 2 ( x) 1 1 9 8 1 9 9 1 9 8 ( 1)( ) (1 )(1 3) ( )( 1) 4 4 4 4 4 4 4 4
2
x 1.25 ，取初始值 x0 1 ，
那么 x1= _________ ； 5、解初始值问题
y f ( x, y ) 近似解的梯形公式是 yk+1 = _________ ； y ( x0 ) y 0
6、 A
1 1 ，则 A 的谱半径 ( A) ______ ，cond (A)＝______ ； 5 1
2 3 4 5
………10 分 ………15 分
4 A BC 0 A (a ) 0 Ca 16 2 2 3 Aa 0 Ca 0 Aa 3 0 Ca 3
解出
………5 分
AC
4
10 16 12 ,B ,a ， 9 9 5

xn 1
f ( x, y( x))dx
三、1、证明： （1）因 f ( x) ( x a) ，故 f ( x) 6 x ( x a)
3 2 2 3
由 Newton 迭代公式： x n 1 x n
f ( xn ) ，n=0,1,… f ( x n )
………5 分
1 0 a 10、设 A 0 1 a ，当 a ____________时，必有分解式 A=LLT，其中 L 为下三角阵． a a 1
二、计算题（共 60 分，每题 15 分）
3
1、 （1）设 f ( x) x 2 , x0
1 9 1 9 , x1 1, x2 , 试求 f(x)在 , 上的三次 Hermite 插值多 4 4 4 4
R A
A 1 C
三：一、填空题（共 20 分，每题 2 分）
1、2.3150；
5 (3) f [ x 2 , x3 ] f [ x1 , x 2 ] 2 11 2、 f [ x1 , x 2 , x3 ] ； x3 x1 4 1 6
4、1.5； 5、 y k
数值分析模拟试卷（三）
班级 学号 姓名
一、填空题（共 20 分，每题 2 分） 1、设 x*=2.3149578…，取 5 位有效数字，则所得的近似值 x=_______________ ；. 2、设一阶差商 f [ x1 , x 2 ]
f ( x2 ) f ( x1 ) 1 4 3 ， x2 x1 2 1
2
7、设 f ( x) 3x 2, xk kh, k 0,1,2,，则 f [ xn , xn1 , xn 2 ] ______ ，
f [ xn , xn1 , xn2 , xn3 ] ______ ；
8、若线性代数方程组 AX=b 的系数矩阵 A 为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞 德尔迭代都_______ ； 9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为_____
得 x n 1
3 ( xn a) 2 5x a xn 2 3 n 2 ，n=0,1,… 6 6 x n ( x n a) 6 xn
（2）因迭代函数 ( x)

5 a 5x a 2 ，而 ( x) x 3 ， 6 3 6 6x
又 x 3 a ，则 ( x)
h 1 4 y n yn 1 ) y n 1 y n 1 ( y n 3
三、证明题（共 20 分，每题 10 分） 1、设 f ( x) ( x a) ，
3 2
（1）写出解 f(x)=0 的 Newton 迭代格式； （2）证明此迭代格式是线性收敛的． 2、设 R=I－CA，如果 R 1 ，证明： （1）A、C 都是非奇异的矩阵； （2）
项式 H ( x) 使满足 H ( xi ) f ( xi ), i 0,1,2, H ( x1 ) f ( x1 ) ；
（2）写出余项 R( x) f ( x) H ( x) 的表达式． 2、已知 x ( x) ，满足 ( x) 3 1 ，试问如何利用 ( x) 构造一个收敛的简单迭代 函数 ( x) ，使 xk 1 ( xk ), k 0,1,2 … 收敛？
3、
1 ( y2 y0 ) ； 2h
h [ f ( xk , y k ) f ( xk 1 , y k 1 )] ； 2
6、 ( A) 8、收敛；
6 ; cond ( A) 6 ； 7、 f [ xn , xn1 , xn2 ] 3 ， f [ xn , xn1 , xn2 , xn3 ] 0 ；
1 4
………10 分
1 9 2 1 9 1 9 ( x )( x 1) 2 ( x ), ( x) ( , ) ． 4! 16 4 4 4 4
5
………15 分 ………5 分
2、由 x ( x) ，可得 x 3x ( x) 3x ， x 因 ( x)
………5 分
9 4 3 14 由于 H ( x1 ) f ( x1 ) ，解出 A 2 225 14 3 263 2 233 1 所以 H ( x) x x x 225 450 450 25
又设 H ( x) p 2 ( x) A( x )( x 1)( x ) （2）余项 R(x)=
5
………10 分
又将 f ( x) x , x 代入该数值求积公式，等式成立， 将 f ( x) x 代入该数值求积公式，等式不成立，
6
所以该数值求积公式具有 5 次代数精确度，是 Gauss 型的数值求积公式． 4、利用数值积分方法构造该数值解公式对方程 y f ( x, y) 在区间 得
………15 分 上积分， ………5 分
y( xn1 ) y( xn1 )
xn 1 xn 1
f ( x, y( x))dx
记步长为 h，对积分

xn 1 xn 1
f ( x, y( x))dx 用 Simpson 求积公式得
2h h 1 4 y n yn 1 ) [ f ( xn 1 ) 4 f ( xn ) f ( xn1 )] ( y n xn 1 6 3 h 1 4 y n yn 1 ) ． 所以得数值解公式： y n 1 y n 1 ( y n ………15 分 3
3、试确定常数 A，B，C 和 a，使得数值积分公式

2 2
f ( x)dx Af (a) Bf (0) Cf (a)
有尽可能高的代数精度．所得的数值积分公式代数精度是多少？是否为 Gauss 型的？ 4、推导常微分方程的初值问题
y f ( x, y ) 的数值解公式： y ( x0 ) y 0