即为方程〔1〕的解。
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三、求二元一次不定方程整数解的一般方法 先求一个特殊解，再根据定理1写出其通解。
对于方程(1),若有解，则可化为
ax by c , (a , b ) 1 (3) 的形式
一般地，利用辗转相除法，得到 a s b t 1 ,
又 令 t 2 u z，
逐步往回代入，可得 z t 2 u 2 7 t ;
x 23 81t; y 25 88 t; t Z
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习题讲解：
P3 1 3 . 证 明 ： 方 程 a x b y N , a 0 , b 0 , ( a , b ) 1
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三、求二元一次不定方程整数解的一般方法
代数运算，观察法
例5 求
107 x 37 y 25
的一切整数解。
25 4 x y ' 1 4
解：y 令y'
25 107 x
3 x
37 25 4 x 37
x
37 3 7 y ' 2 5 4
（2）
注 ： 如 果 ( a , b ) 1 , 则 (1) 的 解 为 x x 0 b t , y y 0 a t .
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定理1的证明：
ax by c
(1)
证：把〔2〕代入〔1〕，成立，故〔2〕是〔1〕的解。
设 x ', y ' 是 (1)的 任 一 解 ， 又 x 0 , y 0 是 (1)的 解 . 所 以 有 a x ' b y ' a x 0 b y 0 .
9 y ' 6
取 y ' 1 x 3 y 8
即得到原方程的一个整数解 x 0 3 , y 0 8 从而所求的一切整数解为
x 3 37 t , y 8 107t , t Z
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三、求二元一次不定方程整数解的一般方法 变量代换法 例6 求
有 整 数 解 ( a 1 , a 2 , , a n ) N .
(1)
( ) 当 n 2时 ， 结 论 显 然 成 立 .
假设上述条件对n-1是成立的，下证对n也成立。
令 d 2 ( a 1 , a 2 ), 则 ( d 2 , a 3 , , a n ) d , 且 d N .
假设存在非负整数解，则
从 而 m , n 1，
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x 1, y 1 1，
代入〔*〕，显然不成立。
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§2.2 多元一次不定方程 一、多元一次不定方程有解的判定 定理1 方程
a 1 x 1 a 2 x 2 a n x n N , a 1 , , a n , N Z
消去z得到方程
7 x 4 y 100
这里，方程的个数少于未知数的个数，在实数范围内， 方程的解有无穷多个。而我们所关心的是其有无整数 〔或正整数〕解，这种方程〔组〕称为不定方程。
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小明家现有边长相等的正三角形、正方形、正五 边形、正六边形四种地板砖，要选择其中两种用 以铺地板,则下列选择正确的是（ ） A、① ②、 B、① ③、 C、 ② ③、 D、 ② ④
a 1 ( x ' x 0 ) b1 ( y ' y 0 ) ( a 1 , b1 ) 1
（* ）
a 1 ( y ' y 0 ) t Z , 使 得 y ' y 0＝ a 1 t，
即 y ' y0 + a1t
代 入（ * ） ， 得 x ' x 0 b1 t .
第二章
不定方程
§2.1 二元一次不定方程
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一、问题的提出〔百钱买百鸡〕
鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一。 百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？”
分析：设x, y, z分别表示鸡翁、鸡母、鸡雏的只数， 则可列出方程如下：
x y z 100 1 5 x 3 y z 100 3
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二元一次不定方程的一般形式为
ax by c , a , b, c Z , a , b 0 (1)
例 1 求 方 程 7 x 4 y 100 所 有 正 整 数 解 .
y
100 7 x 4
25
7x 4
x 4 , y 1 8; x 8 , y 1 1; x 12, y 4.
思 考 ： N a b a b呢 ？
（1）方程的一般解可以表示为
x x 0 b t , y y 0 a t , t 0 , 1, 2 ,
在a个单位长度内，y一定有整数解。 所以，一定存在某个 t Z
0 y y0 at a 1
，使得
N b( y0 at ) a
有 整 数 解 ( a 1 , a 2 , , a n ) N .
证 明 ： ( ) ， 记 ( a 1 , a 2 , , a n ) d .
(1)
〔1〕有解 d a 1 , , d a n d N .
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定理1 方程
a 1 x 1 a 2 x 2 a n x n N , a 1 , , a n , N Z
176 x 162 y 2
的一切整数解。
解：原方程可化为 8 8 x 8 1 y 1
令 x y z， 则方程可化为 7 x 8 1 z 1 .
再 令 u x 1 1 z，
则方程可化为 7 u 4 z 1 则方程可化为 4 t u 1 u 4 t 1 .
注：该方法对一次项系数较小的方程比较实用。
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二、二元一次不定方程解的形式和判定
ax by c , a , b, c Z , a , b 0 (1)
定理1 若〔1〕式有整数解 x x 0 , y y 0 则〔1〕式的一切解可以表示为
x x 0 b1 t , y y 0 a 1 t , 其 中 ，1 a a (a , b ) ,b b (a , b ) , t 0 , 1, 2，
1
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对此t，代入原方程，得 x
N b ( a 1) a
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a b a b b ( a 1) a
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4 .证 明 ： 方 程 a x b y N , a 1, b 1, ( a , b ) 1
当 N a b a b时 有 非 负 整 数 解 ； N a b a b时 则 不 然
ax by c (1)
定理2
有整数解 ( a , b ) c .
若 d c ， 则 c c1d , c1 Z .
显 然 ； ， 记 d (a , b ) d 可 以 表 示 为 as bt .
所 以 c c1 ( a s b t )
取 x c 1 s , y c 1 t，
思 考 ： N a b a b呢 ？ ( 2 )当 N a b a b 时 ，
代入原方程，有
a ( x 1) b ( y 1) a b (* )
又 ( a , b ) 1，
所 以 a ( y 1) , b ( x 1) ， 即 y 1 m a , x 1 n b .
( 4 )6 x 8 y 1 .
x x 0 4 t , y y 0 3 t , t 0 , 1, 2 ,
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说明：定理1给出了方程通解的一般形式。这样，
解决问题的关键在于求一个特解。 问题：所有的二元一次方程都有解吗？
例如 6 x 8 y 1.
所 以 方 程 d 2t2 a3 x3 an xn N 有 解 ，
令其一整数解为 t 2 ', x 3 ', , x n '
N N 的非负整数解的个数为 或 ab 1. ab
设
x 0 , y是原方程的一个非负整数解， 0 x x0 bt , y y0 at , t Z
则其一切整数解可以表示为
由 x 0, y 0
ax0 N ab
t
ax0 ab
则 x 0 cs , y 0 ct .
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例3 求方程 7 x 4 y 1 的一个特殊解。 解：用7、4进行辗转相除法
7 4 1 3 4 3 1 1 3 7 41 1 4 31
7 ( 1) 4 2 1 .
所 以 ， 4 ( 7 4 1) 1, 即 1
从 而 ， 0 1; y 0 2 . x
注：若原方程是 7 x 4 y 1 ，则化为 7 x 4 ( y ) 1 ，
原方程有一个特解 x 1, y 2 .