高三数学201712青浦区2017学年第一学期高三年级期终学业质量调研测试数学试题2017.12.19（满分150分，答题时间120分钟）学生注意：1． 本试卷包括试题纸和答题纸两部分．2． 在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题． 3． 可使用符合规定的计算器答题．一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.1．设全集=U Z ，集合{}{}2,1,0,1,2,2,1--==P M ，则P M U= ________．2．已知复数i2iz =+（i 为虚数单位），则z z ⋅= ． 3．不等式23(1)43122x x x ---⎛⎫> ⎪⎝⎭的解集为 ．4．函数()2cos cos f x x x x =+的最大值为 ．5．在平面直角坐标系xOy 中，以直线2y x =±为渐近线，且经过椭圆22+14y x =右顶点的双曲线的方程是 .6．将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为 .7．设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k = ． 8．已知6(12)x +展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，则ba= ． 9．同时掷两枚质地均匀的骰子，则两个点数之积不小于4的概率为 . 10．已知函数22log (),0()3,0x a x f x x ax a x +≤⎧=⎨-+>⎩有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ．11．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，121a a ==，平面内三个不共线的向量,,OA OB OC ，满足11()(1), 2.n n n OC a a OA a OB n n -+=++-≥∈*N ，若,,A B C 在同一直线上，则2018S = .12．已知函数()()(2)f x m x m x m =-++和()33xg x =-同时满足以下两个条件：高三数学201712①对任意实数x 都有()0f x <或()0g x <； ②总存在0(,2)x ∈-∞-，使00()()0f x g x <成立． 则m 的取值范围是______________．二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13. “a b >” 是“22a b ab +⎛⎫> ⎪⎝⎭”成立的…………………………………………（ ）． （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件14.已知函数()2sin 25f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，若对任意实数x ，都有12()()()f x f x f x ≤≤，则21x x -的最小值是……………………………………………………………………………（ ）． （A ）π（B ）2π（C ）2（D ）415. 已知向量i 和j 是互相垂直的单位向量，向量n a 满足n i a n ⋅=，21n j a n ⋅=+，n ∈*N ， 设n θ为i 和n a 的夹角，则…………………………………………………………（ ）．（A ）n θ随着n 的增大而增大（B ）n θ随着n 的增大而减小（C ）随着n 的增大，n θ先增大后减小（D ）随着n 的增大，n θ先减小后增大16．在平面直角坐标系xOy 中，已知两圆221:12C x y +=和222:14C x y +=.又点A 坐标为(3,1)-，M N 、是1C 上的动点，Q 为2C 上的动点，则四边形AMQN 能构成矩形的个数为……………………………………………………………………………………（ ）． （A ）0个（B ）2个（C ）4个（D ）无数个三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，22PA AD AB ===，E 是PB 的中点. P高三数学201712APCB （1）求三棱锥P ABC -的体积；（2）求异面直线EC 和AD 所成的角(结果用反三角函数值表示). 18．（本题满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.已知抛物线2:2C y px =过点(1,1)P ．过点1(0,)2D 作直线l 与抛物线C 交于不同两点M N 、，过M 作x 轴的垂线分别与直线OP 、ON 交于点A B 、，其中O 为坐标原点．（1）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （2）求证：A 为线段BM 的中点．19.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.如图，某大型厂区有三个值班室A 、B 、C ．值班室A 在值班室B 的正北方向2千米处，值班室C 在值班室B 的正东方向3（1）保安甲沿CA 从值班室C 出发行至点P 处，此时1PC =，求PB 的距离；（2）保安甲沿CA 从值班室C 出发前往值班室A ，保安乙沿AB 从值班室A 出发前往值班室B ，甲乙同时出发，甲的速度为1千米/小时，乙的速度为2千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离为3千米（含3千米），试问有多长时间两人不能通话？高三数学20171220.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分.设集合A B 、均为实数集R 的子集，记{},A B a b a A b B +=+∈∈. (1)已知{}0,1,2A =，{}1,3B =-，试用列举法表示A B +；(2)设123a =，当2n n ∈≥*N 且时，曲线2221119x y n n n +=-+-的焦距为n a ，如果{}12,,,n A a a a =，122,,993B ⎧⎫=---⎨⎬⎩⎭，设A B +中的所有元素之和为n S ，求n S 的值；（3）在（2）的条件下，对于满足3m n k +=，且m n ≠的任意正整数m n k 、、，不等式0m n k S S S λ+->恒成立， 求实数λ的最大值.21.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.对于定义在[)0,+∞上的函数()f x ，若函数()()y f x ax b =-+满足：①在区间[)0,+∞上单调递减，②存在常数p ，使其值域为(]0,p ，则称函数()g x ax b =+是函数()f x 的“逼进函数”．（1）判断函数()25g x x =+是不是函数22911()2x x f x x ++=+，[)0+x ∈∞，的“逼进函数”； （2）求证：函数1()2g x x =不是函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，[)0+x ∈∞，的“逼进函数”； （3）若()g x ax =是函数()f x x =[0,)x ∈+∞的“逼进函数”，求a 的值． 青浦区2017学年第一学期高三年级期终学业质量调研测试数学参考答案及评分标准 2017.12说明1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标高三数学201712准的精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．3．第17题至第21题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数． 4．给分或扣分均以1分为单位．一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1．{2,1,0}--； 2．15； 3．(,2)(3,)-∞-+∞；4．32；5．2214y x -=；6．33π； 7．4；8．12；9.3136； 10. 1a ≥； 11．2；12. (3,2)--.二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13. A ；14. C ； 15． B ；16. D .三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分. 解： (1) 依题意，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是矩形，高 2PA =，2BC AD ==,1AB = ……………………………2分P高三数学201712∴12112ABC S =⋅⋅=△ …………………………………4分 故121233P ABC V -=⨯⨯=. ………………………………6分 (2)∵//BC AD ,所以ECB ∠或其补角为异面直线EC 和AD 所成的角θ，…… 8分又∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA BC ⊥，又BC AB ⊥，∴BC PAB ⊥面，∴BC PB ⊥,于是在Rt CEB ∆中，2BC =，2211512222BE PB ==+=，…………11分 55tan 224BE BC θ===⨯，……………………………………………………13分∴异面直线EC 和AD 所成的角是5arctan4（或421arccos 21）.………………14分 （解法二：建立空间直角坐标系，用向量法解题相应给分）18．（本题满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分. 解：（1）因为抛物线2:2C y px =过点(1,1)P ， 所以2y x =，…………………………………2分1(,0)4F ， …………………………………4分14x =-； …………………………………6分 （2）设直线l 的方程为：1,02y kx k =+≠ 设直线l 与抛物线C 的交点坐标为1122(,)(,)M x y N x y 、由2224(44)1012y x k x k x y kx ⎧=⎪⇒+-+=⎨=+⎪⎩ …………………………………8分 则12122211,4k x x x x k k -+== ……………………………………………………………10分高三数学201712直线OP 的方程为y x =，故11(,)A x x 直线ON 的方程为22y y x x =，故2112(,)y x B x x …………………………………11分1221121221122112222111()()2()222kx x kx x kx x x x y x y x y x y x x x x +++++++=== 122122x k x ==， …………………………………………………………………………13分 所以，A 为线段BM 的中点．…………………………………………………………14分19.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分. 解：（1）在Rt ABC 中，2AB =， 23BC =，所以30C ∠=︒，………………2分在BC P 中1PC =，23BC =，由余弦定理可得2222cos30BP BC PC BC PC =+-⋅︒ …………4分223(23)1212372=+-⨯⨯⨯=，7BP =……………………………………6分 （2）在Rt ABC ∆中，2,23BA BC ==，224AC BA BC =+=，设甲出发后的时间为t 小时，则由题意可知04t ≤≤，设甲在线段CA 上的位置为点M ，则4AM t =-①当01t ≤<时，设乙在线段AB 上的位置为点Q ，则2AQ t =，如图所示，在AMQ ∆中，由余弦定理得222(4)(2)22(4)cos 60MQ t t t t =-+-⨯⨯-︒271679t t =-+>，解得APCB高三数学201712t <t >，所以0t ≤<………………………………………10分 ②当14t ≤≤时，乙在值班室B 处，在ABM ∆中，由余弦定理得22(4)422(4)cos 60MB t t t =-+-⨯⨯-︒26129t t =-+>，解得3t <或3t >+，又14t ≤≤，不合题意舍去． ……………………………………………………………13分综上所述807t ≤<时，甲乙间的距离大于3千米，小时………………………………………………14分20.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分.解：(1)因为{},A B a b a A b B +=+∈∈，所以当{}0,1,2A =，{}1,3B =-时，{}1,0,1,3,4,5A B +=- …………………………………………………………4分(2) 当2n n ∈≥*N 且时，曲线22222211119119x y x y n n n n n n +=⇔-=-+--+-即曲线表示双曲线，23n na =，………………………6分 显然当{}12,,,n A a a a =，122,,993B ⎧⎫=---⎨⎬⎩⎭时，A B +中的所有元素无重复，故和121223()()993n n S a a a n =++++--- ……………………………………10分又23n n a =，2123n n n a a a ++++=， ……………………………………11分所以221223()3993n n n S n n +=⨯+---= ……………………………………12分 (3) 0m n k S S S λ+->恒成立222m n k S S m n S k λ++⇔<=………………13分高三数学201712又3m n k +=，且m n ≠所以()222222222229()99=2213m n m n m n mn k m n m n m n +++==>++⎛⎫+ ⎪+⎝⎭…………………15分 所以92λ≤………………………………………………………16分21.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.解：（1）229111()()(25)22x x y f x g x x x x ++=-=-+=++………………………2分即()()y f x g x =-在区间[)0,+∞上单调递减，……………………………………3分 值域为10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦，所以()g x 是()f x 的“逼进函数”． ………………………………4分（2）11()()22xy f x g x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭在区间[)0,+∞上单调递减，取2x =，则13()()1044f xg x -=-=-<， 不符合“存在常数p ，使其值域为(]0,p ”，所以()g x 不是()f x 的“逼进函数”． ……………………………………………10分 （3）2a =时，()g x ax =是函数()f x x =[0,)x ∈+∞的“逼近函数”． …………………………………………………………………………………………12分 当2a <时，()()(1)(1)(2)f x g x a x a x a x -=--=-，取22px a=-，此时222(2)2222p p p f g a p a a a ⎛⎫⎛⎫->-= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭， 所以()g x 不是()f x 的“逼进函数”． ……………………………………………14分高三数学201712当2a >时，()()(1)(1)(1)(2)1f x g x a x x a x a x -=-≤+--=-+，取22x a =-，此时222(2)11222p p f g a a a a ⎛⎫⎛⎫-≤-+=- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭， 所以()g x 不是()f x 的“逼进函数”． ……………………………………………16分 当2a =时，()()f x g x x -==在区间[)0,+∞上单调递减，值域为(]0,1，所以()g x 是()f x 的“逼进函数”． ………………………………18分 （3）解法二：令()()(1)y f x g x a x =-=-，[)0,x ∈+∞对任意120x x ≤<，)1212(1)(1)y y a x a x -=---12()(1)0x x a ⎡⎤⎥=---<⎥⎦及1a ->1<，所以2a ≥因为值域为(]0,1，即(1)0y a x =->在[)0,x ∈+∞恒成立当0x =时，a ∈R ，当0x >时，1a -<，即112a a -≤⇒≤ 综上：2a =又2a =时，符合值域为(]0,1。