P46:第一章习题：1.验证(),()d m 满足距离定义。

解：设{}i x ξ=，{}i y η=属于X ，α是数，()1,sup .j j j d x y ξη≥=-(1)对j ∀，有0j j ξη-≥，所以1sup j j j ξη≥-，(),0d x y ≥，且1sup 00j j j j j j j ξηξηξη≥-=⇔-=⇔=，即(),0d x y =当且仅当.x y =(2) ()()11,sup sup ,j j j j j j d x y d y x ξηηξ≥≥=-=-=；(3)设{}i z ζ=()()1111,sup sup ()()sup sup ,(,)j j j j j j j j j j j j j j d x z d x y d y z ξζηξξζηξξζ≥≥≥≥=-≤-+-≤-+-=+综上(1)，(2)，(3)，(),d 满足距离定义。

3.试证明：在空间()s 中的收敛等价于坐标收敛。

证：设{}()(),1,2,n n jx s n ξ=∈=，{}()(0)0jx s ξ=∈，()⇒若0n x x →，则必有()(0)lim ,1,2,n j j n j ξξ→∞==，否则，j N +∃∈，00ε>，与正整数列的子序列{}1k k n ∞=，使()(0)0,1,2,k n j j k ξξε-≥=，因为()1tf t t=+是单调递增， 所以()()(0)00()(0)011,,1,2,2211k k k n j j n j jn j jd x x k ξξεεξξ-≥⋅≥⋅=++-，这与()0,0k n d x x →矛盾， 故()s 中的收敛可推出坐标收敛。

()⇐若()(0)lim ,1,2,n j j n j ξξ→∞==，则对j ∀，0ε∀>，0N N +∃∈，0n N ∀>，()(0)2n j jεξξ-<，()()(0)0()(0)1111,,1,2,2211n j j n j j n j j j j d x x k ξξεεξξ∞∞==-=⋅<⋅=++-∑∑，由ε的任意性得()0,0.n d x x → 故命题得证。

4.证明：空间()c 是可分的。

证：令0s 表示所有形如12{,,,,,,}m m m r r r r r 的元素的集合，m 为任意正整数，(1,2,)j r j m =是任意的有理数，所以0s 可数。

故要证0s 在收敛序列空间()c 内是稠密，只需证明()x c ∀∈，0s ∃中序列{}1k k x ∞=使(,)0k d x x →。

对()x c ∀∈，x 为收敛序列， 所以对0ε∀>，m ∃∈，,i j m ≥时，有.3i j εξξ-<当j m <时，构造{}()1k j k r ∞=使0ε∀>，0K ∃∈，0k K ∀>时有()3k j j r εξ-<，令{}()()()()12,,,,,k k k k k m m x r r r r =，则对0ε∀>，,m k ∃∈，0k K ∀>恒有()()()111(,)sup max sup ,sup k k k k j j j j j jj j mj m d x x r r r ξξξ≥≤≤≥+⎧⎫=-=--⎨⎬⎩⎭ ()1max ,sup ()3k m m m j j m r εξξξ≥+⎧⎫≤-+-⎨⎬⎩⎭max ,333εεεε⎧⎫≤+<⎨⎬⎩⎭所以0s 在()c 中稠密，即()c 可分。

9.证明：(1)pl p ≤<∞是完备的距离空间。

证：设()()()12(,,)n n n xx x =是p l 中的Cauchy 序列，则对任意0ε>，存在0N >，使得当,m n N >时，()()()()1.pp m n m n p i i pi x x x x ε∞=-=-<∑(1)于是对每个固定的i ，,m n N >时，()()()().m n m n i i px x x x ε-≤-<这表明对每个固定的i ，{}()1n in x ≥是Cauchy 数列。

因此{}()n i x 收敛。

设当n →∞时()(1,2,).n i i x x n →=令12(,,).x x x =下面证明p x l ∈并且().n x x →由(1)式知道，对任意1k ≥，当,m n N >时，()()1.kpm n p i i i x x ε=-<∑在上式中固定n N >时，先令m →∞，再令k →∞，得到()1.pn p i i i x x ε∞=-≤∑(2)这表明().n p x xl -∈由于p l 是线性空间，故()().n n p x x x x l =-+∈而且式(2)还表明，当n N >时().n px x ε-≤因此()().n x x n →→∞故(1)p l p ≤<∞是完备的。

26.设T 是从赋范线性空间1,X 到赋范线性空间2,Y 的有界线性算子，证明112211sup sup x x T Tx Tx =≤==证明：由2001112211supsup sup x x x TxT Tx T x x x x ≠≠≠⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭， 得1112222111,011sup sup supsupx x x x x TxTxT Tx Tx T x x =≤≤≠≠≤≤≤≤=，故式中“≤”均可改为等号，命题得证。

27.设T 是Banach 空间X 上有界线性算子，如果存在X 上有界线性算子S ，使TS ST I ==， 则T 是有界可逆的，而且1.TS -=反之，如果T 是有界可逆的，则11.TT T T I --==这里I 是X 上恒等算子，即,.Ix x x X =∀∈证：(1) 记{}()|,R T y x X y Tx =∃∈=使，则T 是从X 到()R T 的满射，若12,x x X ∃∈，使12Tx Tx y ==，则由ST I =可得111222,.STx Ix x STx Ix x ==== 所以12x x =，所以T 是从X 到()R T 得单射， 可定义从()R T 到X 中的算子：1T y x -=，当.y Tx = 则由Sy I =可得Sy STx Ix x ===，所以1T S -=，又S 是有界线性算子。

所以T 是有界可逆的。

(2) 若T 是有界可逆的，则T 既是单射又是满射，且1T -是有界线性算子。

对x X ∀∈，()y R T ∃∈，使Tx y =且1T y x -=，则11T y T Tx x --==，所以1T T I -=， 又1T Ty Tx y -==，所以1TT I -=，即11.TT T T I --==28.设X 是距离空间，:T X X →是映射。

如果T 是压缩的，求证：对任意自然数n ，nT 也是压缩的。

如果对某个自然数1n >，nT 是压缩映射，T 也一定是压缩映射吗？ 证：(1) 因为T 是压缩映射,所以(0,1)α∃∈，使得(,)(,)Tx Ty x y ραρ≤，从而222(,)(,)(,)T x T y Tx Ty x y ραραρ≤≤。

假定(,)(,)nnnT x T y x y ραρ≤成立，则有111(,)(,)(,)(,)n n n n n n T x T y T x T y x y x y ραρααραρ+++≤≤=。

于是根据数学归纳法原理，(,)(,)nnnT x T y x y ραρ≤对n ∀∈成立。

又010 1.nααα<<⇒<≤<故有(,)(,)n n T x T y x y ραρ≤。

即n T 是压缩映射。

(2) 逆命题不一定成立。

例如：()[0,1].f x =→ 2():[0,1][0,1]2xf x =→是压缩映射，但是()[0,1]f x =→不是压缩映射。

第二章习题：9.设M 是Hilbert 空间H 的一个线性流行。

证明： (1) M ⊥是H 的子空间；(2)=M M ⊥⊥（）； (3) 如果1M 也是H 的线性流行，使1M M ⊂，则1M M ⊥⊥⊂。

证：(1) 如果,x y M ⊥∈，,αβ是任意两个数，则对每个z M ∈，我们有(,)(,)(,)000x y z x z y z αβαβαβ+=+=+=，从而x y M αβ⊥+∈，因此M ⊥是H 的子空间。

(2) ()x M ⊥∀∈，对y M M ∀∈⊆有(,)0x y =，x M ⊥⇒∈ M M ⊥⊥⇒⊆（）； 下证M M ⊥⊥⊇（） 对⊥∈∀M x ，M x ⊥，故M x ⊥，所以⊥∈)(M x ，因此⊥⊥⊆)(M M ，故有⊥⊥=)(M M 。

(3)111x M x M M M x M x M ⊥⊥∈⇒⊥⊂⇒⊥⇒∈且，1M M ⊥⊥∴⊂。

10.试证明H *按如下范数：1sup ()x f f x ≤=，当f H *∈是完备的赋范线性空间。

证：H *表示Hilbert 空间H 上全体连续线性泛函按逐点定义的加法和数乘形式的线性空间。

因为f H *∈，所以1sup ()0x f f x ≤=≥，0f =当且仅当()0f x =；11sup ()sup ()x x f f x f x f αααα≤≤===；111sup ()()sup ()sup ()x x x f g f x g x f x g x f g ≤≤≤+=+≤+=+故，H *为赋范线性空间。

下证H *是完备的：设{}1n n f ∞=是H *中的Cauchy 序列，则对0ε∀>，∃正整数N 使当,n m N ≥时有n m f f ε-≤ 即 1sup ()()n m x f x f x ε≤-<因为y H ∀∈，有()()n m y yf f y yε-<，则()()n m f y f y y ε-<， 故{}1()n n f y ∞=收敛。

设lim ()()n n f x f x →∞=，则上式中令m →∞可得1sup ()()n x f x f x ε≤-≤ 当n N ≥所以，{}1()n n f x ∞=一致收敛到()f x ，而()f x 也是连续函数，则，n m f f ε-≤，即n f f →且f H *∈，故H *事完备的。

综上，H *是完备的赋范线性空间。

11.证明：对任意的x H ∈，1sup (,).y x x y ≤=证：如果0x =，结论显然成立。

因此考虑0x ≠的情形。

如果1y ≤，则Cauchy-Schwarz 不等式表明(,).x y x y x ≤⋅≤因此，我们有1sup (,).y x y x ≤≤至于相反的不等式，令/z x x =，则1z =，因此1sup (,)(,)(,/)(,)/.y x y x z x x x x x x x ≤≥===因此，1sup (,)y x x y ≤=，且上确界实际上是最大值。