a11 a 21 an1 a1m a22 a2 m an 2 anm a12
1 矩阵的定义：按矩形排列的一组数。如：
A [aij ]nm
A称为（nm）矩阵，它有n行和m列。矩阵中 包含的数称为矩阵的元素，简称矩阵元。第 i 行第 j 列的矩阵元以 aij 表示。 13
A
3
量子化学

矢量的标积(点积) a b ab cos (a b) c a c b c a b b a
o o
cos 0 1; cos 90 0 i i j j k k 1 i j j i j k k i i k 0 A B (ax i a y j az k ) (bx i by j bz k )
7




量子化学
A B (ax i a y j az k ) (bx i by j bz k ) (a y bz az by )i (az bx axbz ) j (axby a y bx )k

A B ax bx
a b a1b1 a2b2 a3b3 ai bi

i
a a a1 a a a | a |
2 2 2 2 3 2 i i
2
5
量子化学
所以，有
e j a e j ei ai ij ai a j
i i



单位并矢式(unit dyadic)
A = [aij]nm
AH = [aji*] mn
18
量子化学
例2
1 2i A i 2
1 2i A* 2 i
1 i A 2i 2
T
1 i A 2i 2
H
如果 F = ABCX
则 FH = (ABCX)H = XHCHBHAH
量子化学
2 矩阵的运算
相等 A = B, [aij] = [bij]
表示A和B的行数和 列数都相等，且每个 对应元素也都相等。
加法 C = A + B, cij = aij + bij 两个矩阵的行数 和列数要都相等 数乘 C = A, cij = aij 对易律和结合律 A + B = B + A，A =A A + (B + C) = (A + B) + C (a + b)A = aA + bA, (A + B) = A + B
1 2 例： A 3 4
1
1 2 A 3 2 1 2
1
1 1 0 1 2 2 AA I 3 4 3 2 1 2 0 1
23
量子化学
定理：方阵AB乘积之逆等于B之逆左乘A之逆， 即 (AB)-1 = B-1A-1
14
量子化学
矩阵和矩阵相乘
乘法规则：一个n行m列的矩阵可以和m行k列 的矩阵相乘，得到一个n行k列的矩阵，即：
a11 a12 a a 21 22 C AB an1 n 2 a1m a2 m anm b11 b12 b b 21 22 bm1 bm2 b1k c11 c12 c c b2k 21 22 bmk cn1 cn2 c1k c2k cnk
0 0 k 0 kI 0 0 0 0 k 纯量矩阵和同阶方阵的乘积可以对易，即
SA = AS 但对角阵与同阶方阵的乘积一般不能对易。
22
k 0 S 0 0
量子化学
5 方阵的逆
如果方阵A为非奇异的（|A|0），则可以找到另 一同阶方阵A-1，使A-1A =AA-1=I ，则A-1称为A的 逆矩阵，简称“逆”。
或
U-1 = UH UHU = U-1U = I
如酉阵的元素都是实数，则称此酉阵为正交阵。
例如：直角坐标系中坐标变换关系可以写成矩 阵形式
x ' cos y ' sin
sin x cos y
axbx a y by az bz
4
量子化学

a b ei e j ai a j
i j
1 if ei e j ij ji 0 if


i i
j j
相互正交基矢(mutually orthogonal basis vectors)
1 0 I 0 0
0 0 1 0 [ ij ] 0 0 0 0 1
单位矩阵与同阶方阵A的乘积可以对易；单位 矩阵的任何整数次方等于单位矩阵。 IA学
纯量矩阵（ Scalar matrix ）：对角元素为相同 的数，其余都是零的方阵，用S表示。
a11 a12 a a 21 22 an1 n 2
a1m b11 b12 a2 m b21 b22 anm bm1 bm 2
16
量子化学
1 0 1 例1 A 0 1 0
2 1 B 0 1 1 0
2 1 1 0 1 3 1 AB 0 1 0 1 0 1 0 1 0
2 1 2 1 2 1 0 1 BA 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0
4
| * d
a
11

量子化学
如果 <X|Y> = 0， 称X和Y正交。当X=Y时， XHX 的平方根称为矢量 X 的长度或模 (norm), 即
X
X X x x x x x xn
H * 1 1 * 2 2 * n
12
量子化学
3. 2 矩阵 (Matrices)
A ax i ay j az k


则：C (ax bx ) i (a y by ) j (az bz ) k

C A B

B bx i by j bz k


C A B
A
B
B C A B
证明：由逆矩阵定义，得： (AB)-1(AB)=I 而由结合律 B-1A-1(AB) = B-1(A-1A)B=B-1IB = IB-1B=I· I =I 比较上面两式可得： (AB)-1 = B-1A-1 得证
24
量子化学
6
Hermite矩阵和Unitary矩阵
凡方阵A和它的转置共轭矩阵AH相等者，则称 A为Hermite对称矩阵（ Hermite symmetric matrix ），简称Hermite矩阵，即：
i
j ay by
k az bz
8
量子化学
2 行矢和列矢 n个分量分别由行矩阵和列矩阵 表示。 y
X x1

x2
... xn
3 Dirac 符号
y2 Y y n
1
行矢—左矢 （ bra vector）， 以“ 列矢—右矢 （ket vector）, 以 “ 。 左矢与右矢互为转置共轭
A = AH
1 如： A i e i i
aij=aji*
i
e 2 a i 就是Hermite矩阵 H ∵ A=A ai 3
当A元素aij全部为实数，且aij= aji时，则称A为 对称矩阵 25
量子化学
凡方阵的逆矩阵等于转置共轭矩阵的，称为酉 阵（ Unitary matrix ），用U表示，即：
nm
m k
nk
只有前一矩阵的列数与后一矩阵的行数相等时 才能相乘，否则不能相乘。 15
量子化学
cij aip bpj
p 1
m
(i = 1, 2, …, n, j= 1,2, …, k)
b1k c11 c12 b2 k c21 c22 bmk cn1 cn 2 c1k c2 k cnk
i
如直角坐标中： a i ax j a y k az 列矩阵(Column matrix)




a1 a a2 a 3
ax 直角坐标中： a ay a z
2
量子化学
若：


矢量的加减法


一般而言AB BA, 即矩阵乘法不满足交换 律，但满足结合律ABC = A(BC) =(AB)C 17
量子化学
转置矩阵、共轭矩阵、转置共轭矩阵
把矩阵A的行列互换，叫矩阵的转置，转置后 得到的新矩阵称为A的转置矩阵，用符号AT表 示，即
A = [aij]nm
AT = [aji] mn
若在转置矩阵AT中，每个矩阵元素用它的共轭 复数来代替则形成的新矩阵称为转置共轭矩阵， 用符号AH表示，即
量子化学
第三章 矩阵与算符
– 3.1 矢量
– 3.2 矩阵 (Matrices)
– 3.3 行列式(Determinants) – 3.4 算符(Operators)
– 3.5 量子力学的基本假设
1
量子化学
1. 三维矢量代数

任何一个矢量都可以写成一个基矢{ēi}的线性组合。 三维矢量：a e1 a1 e2 a2 e3 a3 ei ai