(2)在欧氏空间中: 度量矩阵是正定矩阵; 度量矩阵是可逆的.
x1 x2 xn T A x1 x2 xn ( , )
x11 x22 xnn
Hermite矩阵 : 规定记号:
AH
T
A,
称AH为A的复共轭转置。
复共轭转置有运算性质 : (1)AH ( A)T ; (2)( A B)H AH BH ; (3)(kA)H k AH ; (4)( AB)H BH AH ; (5)( AH )H A; (6)若A可逆，则( AH )1 ( A1 )H .
&3.1 欧氏空间、酉空间
一、概念
定义3.1.1 设V是实数域R上的n维线性空间,
如果对V中任意两个向量、 ,有唯一确定 的实数与之对应,这实数记为(, ),并且满足 下列四个条件,则这实数(, )称为与的
内积:
(1) (, ) ( , ) (2) (k, ) k(, ) (3) ( , ) (, ) ( , ) (4) (, ) 0,当且仅当 0时(, ) 0 其中 , , 是V中任意向量,k R;称定义有这
例3.1.5设n2维空间Rnn中对向量(n阶矩阵)A, B 规定内积为
( A, B) tr( AT B), A, B Rnn , 则Rnn是欧氏空间。
定义3.1.2 : 设V是复数域C上的n维线性空间,
如果对V中 任意两个向量、 ,有唯一确定的
复数与之对应,这复数记为(, )且满足下列四个 条件,则这复数(, )称为与的内积 :
第三章 内积空间、正规矩阵、Hermite矩阵
在线性空间中，向量之间的基本运算只有 加法和数乘运算，向量的度量性质没有反映， 局限了线性空间的应用。现在我们借助内积把 度量概念引入到线性空间中。
解析几何中，是用向量的长度和夹角来定 义内积，而在矩阵理论中是先定义内积概念， 再引入向量的长度、夹角等概念。
i 1
i 1
设1,2 , ,n为n维酉空间V的一组基,
n
n
, V且 xii , y j j 则
i 1
j1
n
n
nn
( , ) xii , y j j
xi y j (i , j )
i1
j 1
i1 j1
令gij (i , j ) i, j 1, 2, , n .
样内积的线性空间V 为n维欧氏空间.
例3.1.1 设Rn是n维实向量空间，若
=(a1,a2 ,...,an )T , =(b1,b2,...,bn)T 令 ( , ) T a1b1 a2b2 ... anbn 容易验证，所规定的 ( , )是Rn的内积，从而
Rn成为欧氏空间。
注: 1.今后欧氏空间Rn中的内积都指如上例3.1.1定
义的内积运算.
2.对同一个线性空间,可以定义不同的内积,因 而得到不同的欧氏空间.
例3.1.2 设在R2中对向量 (a1, a2 )T 和
(b1, b2 )T 规定内积为
( , )=2a1b1+a1b2 +a2b1+a2b2 ,
证明R2按照如上的内积运算构成是欧氏空间。
例3.1.3 用表示C[a,b]闭区间[a,b]上的所有实值 连续函数构成的实线性空间，f(x),g(x) C[a,b], 规定
( , )
T
a1b1 a2 b2 ... an bn H 容易验证，所规定的 ( , )是Cn的内积，
从而Cn成为酉空间。
二、酉（欧氏）空间的性质
1. 欧氏空间的性质
(1)( , k ) k( , );
(2)( , ) ( , ) ( , );
n
n
(3)( kii , ) ki (i , );
i 1
i 1
n
n
(4)( , ki i ) ki ( , i ).
i 1
i 1
2. 酉空间的性质
(1)( , k ) k( , );
(2)( , ) ( , ) ( , );
n
n
(3)( kii , ) ki (i , );
i 1
i 1

n
n
(4)( , ki i ) ki ( , i ).
注 在复数域C上定义内积时，不能象实数 域上内积定义方式，否则会出现矛盾。如
(,)>0, (i,i)=i2(,)=-(,), 这样(,)<0,矛盾！实际上(,k )=k(, )
例3.1.6 设Cn是n维复向量空间，若
=(a1,a2 ,...,an )T , =(b1,b2,...,bn)T
令
显然，实对称矩阵是实Hermite矩阵;酉空间的度 量矩阵是Hermite矩阵.欧氏空间的度量矩阵是实对称 阵。
定义3.1.4 : 设A C nn , 若AH A,则称A为Hermite矩阵;
若AH A,则称A为反Hermite矩阵.
容易证明： （1）AH A Re(aij ) Re(a ji ), Im(aij ) Im(a ji );
(2)AH A Re(aij ) Re(a ji ), Im(aij ) Im(a ji ).
(f(x),g(x))= b f(x)g(x)dx a
容易验证，这样规定的(f(x),g(x))是C[a,b]上的一 个内积，从而C[a,b]成为一个欧氏空间。
例3.1.4 设A为n阶正定矩阵，对于Rn中的任意两 个列向量X,Y，规定
(X,Y)=X T AY 容易验证(X,Y)是Rn上的一个内积，于是Rn成为一 个欧氏空间。
称n阶方阵： G gij
为基1,2 , ,n的度量矩阵.
g11 g12
G
gij
g21
g22
gn1 gn2
1 2
,1 ,1
n ,1
1,2 2,2
n,2
g1n
g2n
gnn
1 2
, ,
n n
n ,n
度量矩阵性质：
(1)设G为度量矩阵,则G GT ;
(1)( , ) ( , ), (2)(k , ) k( , ), (3)( , ) ( , ) ( , ), (4)( , ) 0, 当且仅当 0时(, ) 0.
其中、、 为V中任意向量,任意复数k C;
称定义有这样内积的线性空间V 为n维复欧氏 空间或酉空间.
欧氏空间与酉空间统称为内积空间.