费县实验中学
高二数学组
教学目标
目标：1.理解椭圆中的最值问题；
2.掌握解决椭圆中的最值问题的方法.
重点：椭圆中的最值问题； 难点：椭圆中的最值问题。
椭圆中的最值问题
1.设点P是椭圆 x2 y2 1(a b 0)上的动点， a2 b2
a F是椭圆的一个焦点,则|PF|的最大值为____,c
例6:已知椭圆x2+4y2=4,在椭圆上
求一点P, 使P到直线L: x-y+4=0 的距离最小, 并求最小值. y
离L最近
思路分析：可先设出与L平
行且与椭圆相切的直线方程.
P
切线方程与椭圆方程联立,利
用 0求出参数,再解方程
l
x
o
组求切点P的坐标.
离L最远
解:设与l平行的切线方程为y x m， 将y=x+m代人椭圆方程得:x2 4(x m)2 4, 化简得：5x2 8mx 4(m2 1) 0.
的最大值为1_0_+_2__2,最小值为1_0___2_.2
设椭圆的右焦点为F',则有
y
|MF|+|MF'|=10.
|MF|+|MB|=10+|MB||MF'|， F
由于||MB||MF'|| |BF'|=2 2，
B
x
0 F'
10 2 2 |MF|+|MB| 10+2 2，
由 0 5 m2 0 m 5. 与椭圆相切且与直线L最近的直线方程为
y x 5.
当m 5时,解方程组可得P( 4 5 ， 5 )， 55
从而可得最小距离为d 4 2 10 . 2
例7.已知F为椭圆 x2 y2 1的左焦点,B(2, 2)是 25 9
其内一点,M为椭圆上的动点,则 | MF | | MB |
C
B
坐标轴和原点对称.
设AC方程为y kx(k 0),A(x0, y0 ),
x2 由 a2
y2 b2
1得：x02
y kx
a2b2 a2k2 b2
,
S矩形ABCD
4x0 y0
4kx02
4ka2b2 a2k2 b2
4a2b2 a2k b2
k
பைடு நூலகம்
2
4a2b2 a2k b2
k
2ab.
当且仅当k b 时等号成立. a
4.设点P是椭圆
x2
y2
1(a
b
a
0)上的动点，
a2 b2
值F1 ,为F2_是2__椭b_2_圆__的1_(两用焦含点有, 则a, b的F1式PF子2的表余示弦). 值的最小
a2 1 2c2 a2
1 2e2
5.椭圆 x2 y2 1(a b 0)的焦点 a2 b2
bc 三角形PF1F2的最大面积为_____.
6.过椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)中心的直线交
椭圆于A, B两点，F为椭圆的一个焦点，则
bc ABF面积的最大值为________.
例5.设矩形ABCD内接于椭圆
x a
2 2
y2 b2
1
(a b 0)，则矩形ABCD的最大面积
为_______.
y
D
A
由椭圆及矩形的对称性可知:
x
o
矩形的四个顶点关于
a c 最小值为______.
2.设点P是椭圆 x2 y2 1(a b 0)上的动点， a2 b2
F1,F2是椭圆的两焦点,则F1PF2取得最大值时点
P的坐标为_(_0_,____b.)
3.设弦AB过椭圆 x2 y2 1(a b 0)的焦点，
2a 则 | AB |的最大值_a_2___b,2为最小值为__2_b__2_.