与椭圆有关的最值问题
圆锥曲线在高考中占很重要的地位，每年必考。
对椭圆、双曲线、抛物线的研究方法基本相同，椭圆 为三曲线之首，对椭圆的学习就更为重要了。
而椭圆中的最值问题是比较重要的课题，它主要体现了转化 思想及数形结合的应用，涉及到的知识有椭圆定义、标准方程、参数方程、三角函数、二次函数、不等式 等内容。
能够考查学生的分析能力、理解能力、知识迁移能力、解决问题的能力等等。
下面介绍几种常见 的与椭圆有关的最值问题的解决方法。
1 •定义法
2 2
例1。
P(-2, 3 ),F2为椭圆——=1的右焦点，点M 在椭圆上移动，求丨MP| + | MF 2 |的最大值
25
16
和最小值。
分析：欲求丨MP| + | MF 丨的最大值和最小值 可转化为距离差再求。
由此想到椭圆第一定义 | MF | =2a- | MF | , F 1为椭圆的左焦点。
解：| MP| + | MF | = | MP| +2a- | MF | 连接 PR 延长 PF 1 交椭圆于点M 1,延长F 1P 交椭圆于点M 2由三角形三边关系知
-| PF |兰| MP| - | MF |兰| PR |当且仅当M 与M 1重合时取右等号、M 与M 2重合时取左等号。
因为 2a=10,
| PF 1 | =2所以(| MP| + | MF |) ma>=12, (| MP | + | MF | )
min
=8
2 2
X y
结论1：设椭圆二 2 =1的左右焦点分别为F 1、F 2, P(x o ,y o )为椭圆内一点，M(x,y)为椭圆上任意
a b
一点，则| MP | + | MF |的最大值为 2a+ | PF 1 |，最小值为2a - | PR |。
2 2
例 2： P(-2,6),F 2为椭圆— -L
25
16
M ，此点使| MP| + | MF |值最小，求最大值方法同例 1。
MF |连接PF 1并延长交椭圆于点 皿仆则M 在M 1处时| MP | - | MF
I 取最大值| PF 1 |。
二| MP | + | MF |最大值是10+ , 37，最小值是,41
2 2
x
y
结论2:设椭圆一2
- =1的左右焦点分别为F 1、F 2, P(x o ,y o )为椭圆外一点，M(x,y)为椭圆上任意一点，
a
b
则| MP | + | MF |的最大值为 2a+ | PF 1 |，最小值为 PF ?。
2. 二次函数法
2 2
例3•求定点A(a,0)到椭圆务'£ =1上的点之间的最短距离。
a b
分析：在椭圆上任取一点，由两点间距离公式表示|
PA |，转化为x,y 的函数，求最小值。
1
1
解：设 P(x,y)为椭圆上任意一点，| PA | 2=(x-a) 2+y 2 =(x-a) 2+1-
x 2
= (x_ 2a)2+1d 由椭圆方
=1的右焦点，点 M 在椭圆上移动，求| MP | + | MF |的最大值和
最小值。
分析：点P 在椭圆外，PF 2交椭圆于 解：| MP | + | MH | = | MP | +2a- |
M 1
M 2
2 2
程知x 的取值范围是卜..2, , 2 ]
(1) 若丨 a ,则 x=2a 时丨 PA | min =
1 _a 2
2
(2)
若 a> —,则 x= . 2 时 I PA | min = I a -
2 I
2
(3)
若 a<-二,则 | PA | min = | a+ • 2 I
2
2 2
结论3：椭圆△—
y -
=1上的点M(x,y)到定点A(m,O)或B(O,n)距离的最值问题，可以用两点间距离公式
a 2
b 2
表示| MA |或| MB |,通过动点在椭圆上消去 y 或x,转化为二次函数求最值，注意自变量的取值范围。
3. 三角函数法
2
X 2
例4 :椭圆一〒-y =1上的点M(x,y)到直线I : x+2y=4的距离记为d,求d 的最值
4
X*2?-4转化为x 或y 的函数就太麻烦了，为了统一变量，可以用椭圆
、5
的参数方程，即三角换元
2 2
结论4:若椭圆务-y - =1上的点到非坐标轴上的定点的距离求最值时
，可通过椭圆的参数方程,
a b
统一变量转化为三角函数求最值。
4. 判别式法
例4的解决还可以用下面方法
把直线平移使其与椭圆相切，有两种状态，一种可求最小值，另一种求最大值。
解。
令直线 m ： x+2y+c=0将x = — 2y — C 代入椭圆方程整理得 8y 2+4cy+c 2-4=0，由△ =0解得c=± 2^2 ,
C =-
2 2时直线m ： x+2y- 2 2 =0与椭圆切于点P 则P 至憤线I 的距离为最小值，且最小值就是两平行
分析：若按例3那样 d=
d=
解：d=
x 2y-4
x5
x = 2C O S
令」y = sien 皆R )
2 COST 2sin v-4
2
<5
V 5
v'2 sin (日 +匸)_2
当 si n
(寸.一)=1 日
寸,d min ：
4
4 5 -2 10
5
当 sin (二• — )= — 1 日寸,d max =
4
c=2 ••.2时直线m ： x+2y+2・.2 =0与椭圆切于点Q ,则Q 到直线I 的距离为最大值，且最大值就是两平行
i —
I 直线m 与I 的距离，所以d max = 4 5 2 10。
5
结论5:椭圆上的点到定直线I 距离的最值问题，可转化为与I 平行的直线m 与椭圆相切的问题，利用判 别式求岀直线m 方程，再利用平行线间的距离公式求岀最值。
说明：有些题目可以用几种不同的方法去解决，我们必须清楚它们的最优解法，以便提高做题速度及准确 率。
直线m 与l 的距离，所以
d _4J^—2J10
d
min =
5。