第二章主要公式资料地址：/jl1、回归模型概述（1）相关分析与回归分析经济变量之间的关系：函数关系、相关关系相关关系：单相关和复相关，完全相关、不完全相关和不相关，正相关与负相关，线性相关和负相关，线性相关和非线性相关。

相关分析：——总体相关系数XY ρ=——样本相关系数()()nii XY XX Y Y r --=∑——多个变量之间的相关程度可用复相关系数和偏相关系数度量 回归分析：相关关系 + 因果关系（2）随机误差项：含有随机误差项是计量经济学模型与数理经济学模型的一大区别。

（3）总体回归模型总体回归曲线：给定解释变量条件下被解释变量的期望轨迹。

总体回归函数：(|)()i i E Y X f X =总体回归模型：(|)()i i i i i Y E Y X f X μμ=+=+ 线性总体回归模型：011,2,...,i i iY X i n ββμ=++=（4）样本回归模型样本回归曲线：根据样本回归函数得到的被解释变量的轨迹。

（线性）样本回归函数： 01ˆˆˆi i Y X ββ=+ （线性）样本回归模型：01ˆˆˆi i iY X e ββ=++ 2、一元线性回归模型的参数估计（1）基本假设① 解释变量：是确定性变量，不是随机变量var()0i X =② 随机误差项：零均值、同方差，在不同样本点之间独立，不存在序列相关等()01,2,...,i E i n μ==2var()1,2,...,i i n μσ==cov(,)0;,1,2,...,i j i j i j n μμ=≠=③ 随机误差项与解释变量：不相关cov(,)01,2,...,i i X i n μ==④ （针对最大似然法和假设检验）随机误差项：2~(0,)1,2,...,i N i n μσ=⑤ 回归模型正确设定。

【前四条为线性回归模型的古典假设，即高斯假设。

满足古典假设的线性回归模型称为古典线性回归模型。

】 （2）参数的普通最小二乘估计（OLS ） 目标：21minnii e=∑对于一元线性回归模型：011,2,...,i i i Y X i n ββμ=++=正规方程组：011011ˆˆ2[()]0ˆˆ2[()]0ni i i ni i i i Y X X Y X ββββ==⎧--+=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩∑∑ 解得：011112211ˆˆ()()ˆ()n n i i i i i i n ni i i i Y X X X Y Y x y X X x βββ====⎧=-⎪⎪⎪--⎨==⎪⎪-⎪⎩∑∑∑∑（3）最大似然估计（ML ）对于一元线性回归模型：011,2,...,i i i Y X i n ββμ=++=重要的基本假设：2~(0,)1,2,...,cov(,)0;,1,2,...,var()01,2,...,i i j i N i n i j i j n X i nμσμμ⎧=⎪=≠=⎨⎪==⎩ 得到：201~(,)1,2,...,i i Y N X i n ββσ+=【且cov(,)0;,1,2,...,i j Y Y i j i j n =≠=，这个对最大似然法的估计很重要】则目标：12,,...,n Y Y Y 的联合概率密度最大，即()2012112121ˆˆ()2max (,,...,)()()()1ni i i n n Y X nf Y Y Y f Y f Y f Y eββσ=---=⋅⋅⋅∑=最终结果与OLS 得到的结果相同。

（4）OLS 估计量的性质① 线性性11ˆni i i v Y β==∑，其中21ii nii x v x==∑01ˆni ii wY β==∑，其中1i i w Xv n =- ② 无偏性1111ˆ...n n i i i i i i v Y v ββμ=====+∑∑ → 1111ˆ()()ni i i E v E ββμβ==+=∑ 0011ˆ...nni i i i i i wY w ββμ=====+∑∑ → 0001ˆ()()ni i i E w E ββμβ==+=∑ ③ 有效性2121ˆvar()n ii xσβ==∑，22121ˆvar()nii nii Xnxσβ===∑∑可以证明，OLS 得到的方差最小。

④ 一致性随着样本量的增大，参数的估计量以概率趋向于真值11ˆlim()p ββ=，00ˆlim()p ββ=（5）OLS 回归函数的性质① 样本回归线过样本均值点(,)X Y ，即01ˆˆY X ββ=+ ② 被解释变量估计值的均值等于实际值的均值，即ˆYY = ③ 残差和为零，即10nii e==∑④ 解释变量与残差的乘积之和为零，即10ni ii X e==∑⑤ 解释变量的估计与残差的乘积之和为零，即1ˆ0ni ii Y e==∑（6）随机误差项的估计OLS 估计量（无偏）：2211ˆ2n i i e n σ==-∑ML 估计量（有偏）：2211ˆn i i e n σ==∑ 3、拟合优度检验（1）离差分解总体平方和（or 总离差平方和）()2211nnii i i TSS y Y Y ====-∑∑回归平方和()21ˆni i ESS Y Y ==-∑残差平方和()21ˆni ii RSS Y Y ==-∑有TSS ESS RSS =+（2）决定系数21ESS RSSR TSS TSS==- 【总离差中，能够解释的部分所占的比重】4、统计推断（1）参数估计的分布（T 检验）对于一元线性回归模型：011,2,...,i i iY X i n ββμ=++=由正态分布的基本假设和估计量的性质（线性性、无偏性、有效性），参数的估计量有如下性质：2210021ˆ~(,)nii nii XN nxσββ==∑∑，21121ˆ~(,)nii N xσββ=∑000ˆ~(0,1)ˆ()N SE βββ-,其中0ˆ()SE β==111ˆ~(0,1)ˆ()N SE βββ-，其中1ˆ()SE β==由于2σ未知，用2ˆσ代替，则0ˆ()SE β不再为常数。

此时， 统计量1=000ˆˆ()SE βββ-，其中，0ˆβ服从正态分布，(1)ˆ()SE β===−−−说明说明（1）：i e 服从正态分布，则2i e 服从2χ分布，残差平方和的自由度为n-2，故221~(2)nii en χ=-∑用估计量2ˆσ代替以后的统计量1=000ˆˆ()t SE βββ-−−−−→服从分布正态分布分布故：000^ˆ~(2)ˆ()t t n SE βββ-=-同理：111^1ˆ~(2)ˆ()t t n SE βββ-=-（2）区间估计002ˆˆ()t SE αββ∧⎡⎤±⎢⎥⎣⎦，112ˆˆ()t SE αββ∧⎡⎤±⎢⎥⎣⎦ （3）参数的假设检验原假设*011:H ββ=，备择假设*111:H ββ≠ → 双边检验 原假设*011:H ββ≥，备择假设*111:H ββ< → 单边检验 统计量：*111^1ˆ~(2)ˆ()t t n SE βββ-=-临界值（临界水平为α）：2t α → 双边t α → 单边判断规则：如果12t t α>，则拒绝原假设； → 双边如果1t t α>，则拒绝原假设； → 单边【在实际应用中，一般取*10β=；当检验结果为拒绝原假设时，表明该参数显著地不为零，即认为该参数对应的变量具有显著的影响能力。

】（4）结果表达【必须采用规范的表达方式】2ˆ414.0450.515(6.462)(30.773)0.992i iY X R =+=或2414.0450.515(6.462)(30.773)0.992i i iY X R μ=++=5、预测（1）总体均值的点预测（也是个别值的点预测）0010ˆˆˆ(|)i E Y X Y X ββ==+ （2）总体均值(|)i E Y X 的预测置信区间002ˆˆ()Y t SE Y α∧⎡⎤±⎢⎥⎣⎦其中，0ˆ()SE Y ∧=（3）个别值0Y 的预测置信区间002ˆ()Y t SE e α∧⎡⎤±⎢⎥⎣⎦其中，0e = 【由于误差项的存在，个别值的波动更加明显，因此其方差更大。

在实际做题中，如果未特别说明，都是计算均值的置信区间。

】。