还可以证明对于过原点的回归
å Var(bˆ2 ) =
s2
X
2 i
，
å sˆ 2 = ei2
n -1
而有截距项的回归为
å Var(bˆ2 ) =
s2 xi2
，
å sˆ 2 = ei2
n-2
12
8000
= 650 m 2.23´ 5.4772 ´ 1 + 5.0833 = 650 m 30.1250
【练习题 2.5 参考解答】
没有截距项的过原点回归模型为: Yi = b2 X i + u
因为
å å ei2 = (Yi - bˆ2 Xi )2
求偏导 令 得
å ¶ ei2 å å ¶bˆ2
å sˆ 2 = ei2 = 300 = 30
n - 2 12 - 2
sˆ = sˆ 2 = 30 = 5.4772
当 X f = 1000 时：
å Cˆ f m ta 2sˆ
1 + (X f n
- X )2 xi2
= 650 m 2.23´ 5.4772 ´
1 + (1000 - 800)2
12
=2
(Yi - bˆ2 Xi )(- Xi ) = -2
ei X i
å ¶ ei2 å ¶bˆ2
=
2
(Yi - bˆ2 Xi =
X iYi
X
2 i
åå 而有截距项的回归为 bˆ2 =
xi yi xi2
å å 对于过原点的回归，由 OLS 原则:
ei = 0 已不再成立, 但是 ei X i = 0 是成立的。
（2）对所建立的多个回归模型进行检验 由人均 GDP、成人识字率、一岁儿童疫苗接种率分别对人均寿命回归结果的参数 t 检验 值均明确大于其临界值,而且从对应的 P 值看,均小于 0.05,所以人均 GDP、成人识字率、一 岁儿童疫苗接种率分别对人均寿命都有显著影响.
（3）分析对比各个简单线性回归模型 人均寿命与人均 GDP 回归的可决系数为 0.5261 人均寿命与成人识字率回归的可决系数为 0.7168 人均寿命与一岁儿童疫苗接种率的可决系数为 0.5379 相对说来,人均寿命由成人识字率作出解释的比重更大一些
第二章练习题及参考解答
【练习题 2.1 参考解答】 （1） 分别设定简单线性回归模型，分析各国人均寿命与人均 GDP、成人识字率、一岁 儿童疫苗接种率的数量关系: 1) 人均寿命与人均 GDP 关系
Yi = b1 + b2 X1i + ui
估计检验结果:
2) 人均寿命与成人识字率关系
3) 人均寿命与一岁儿童疫苗接种率关系
【练习题 2.3 参考解答】
（1）当 X f = 1000 时，消费支出 C 的点预测值；
Cˆi = 50 + 0.6X i =50+0.6*1000=650
（2）在 95%的置信概率下消费支出 C 平均值的预测区间。
å Cˆ f m ta 2sˆ
1 + (X f - X )2
n
xi2
å 已 经 得 到 ： X = 800 ， X f = 1000 ， ( X i - X )2 =8000 ， t0.025 (10) = 2.23 ， å ei2 = 300
8000
= 650 m 2.23´ 5.4772 ´ 5.0833 = 650 m 27.5380
（3）在 95%的置信概率下消费支出 C 个别值的预测区间。
å Cˆ f m ta 2sˆ
1 + 1 + ( X f - X )2 = 650 m 2.23 ´ 5.4772 ´
n
xi2
1 + 1 + (1000 - 800)2