解：连杆AB作平面运动，瞬心在P1点，则
ω AB
=
vA AP1
=
rω =
AB cos 30°
2
3rω
3l
vB = BP1 ⋅ωAB = AB sin 30° ⋅ωAB
= 3 rω
3
连杆BC作平面运动，瞬心在P2点，则
ωBC
vC =
= vB = BP2
CP2 ⋅ωBC
3rω
3l
=3 3
rω
vA
ωA
O 30º
vA
vD D
A
vB
Pω
B
a
t A
aCt aCn
D
a
n A
A aBt
Q
B
α aBn
速度分布
加速度分布
加速度瞬心
• 加速度瞬心不好找，一般不用加速度瞬心解题 • 只有刚体定轴转动速度瞬心和加速度瞬心重
合。 • 一般瞬时平动的物体，加速度瞬心好找 • 圆轮匀速滚动，圆心为加速度瞬心。
几个问题的讨论
１、有速度投影定理，有没有加速度投影定理？
avB = avA + avBnA + avBt A
aBt A
B
aA
只有角速度为零，即瞬时平动，有
[av
A
] AB
=
[avB
] AB
αω A
aBnA
aA
几个问题的讨论
２、有没有加速度瞬心？加速度瞬心和速度瞬心重合吗？
•瞬时加速度为0的点称为加速度瞬心 •加速度瞬心存在
100 100
P
ωBC
vC
C
45º
B
vB
ω
A
ω1
45º D
6-3 刚体平面运动的加速度分析
加速度分析：B为基点
aCt B
avCn + avCt = avB + avCnB + avCt B aCnB
作用线： √ √ √ √ √ B
大小： √ ？ √ √
？ aB
C
aCt
aCn
aB
BC投影得
A
aCt = −aB cos 45° − aCnB
ω AB
=
vA AP
=
2rad/s
vB = BP ⋅ωAB = 2.828m/s
vA
ω
A
O
45º
45º
vB
B
AB作av平B 面=运av动A ，+以avABn点A 为+基avB点t A，则B点的加速η 度为
其中
aA
=
a
n A
= OA⋅ω2
=
20 m
s2
aA A
O 45º
aBnA
=
AB
⋅
ω
2 AB
= 4m
上式对时间取导数
&x&A = −l sinψψ&& − l cosψψ& 2
&y&B = l cosψψ&& − l sinψψ& 2
u &x&A = 0
x
aB
=
&y&B
=
−
8u 2 3 3l
α
= ψ&&
=
−
4u 2 3 3l 2
解析法: 1、写出机构任意位置坐标函数或约束方程。 ２、角度一般是有向角，由定线到任意位置。 ３、注意求导时的正负 4、经常利用做垂线、余弦定理、正弦定理建立约束 方程。注意约束方程中的常量和变量。 5、注意坐标原点建立在固定位置。
思考：1、刚体平面运动加速度分析是不 是也有三种方法？
2、速度瞬心的加速度是否为零？ 加速度瞬心是否存在？
6-3 刚体平面运动的加速度分析
基点法
运动分解：B点的加速度= 随基点A的平动加速度 ＋ 绕基点A的转动的加速度
avB = avA + avBnA + avBt A
a
t BA
B
aA
αω A
a
n BA
aA
aBnA = BA ⋅ω 2
aBt A = BA ⋅α
例6-7图示曲柄连杆机构中，已知曲柄OA长0.2 m，连杆AB长
1m，OA以匀角速度ω =10 rad/s绕O轴转动。求图示位置滑块B的
速度、加速度和AB杆的角加速度。
P
解：AB作平面运动，瞬心在P点，则
ωAB
vA = OA ⋅ω = 2 m s
度。
y
解：建立坐标系Oxy
B
xA = l cosψ
yB = l sinψ
上式对时间取导数
ψ
u x&A = −l sinψψ&
y&B = l cosψψ&
O
A
x x& A = u
ω
= ψ&
=
−
u l sin
ψ
vB = y&B = −u cotψ
=−
3u 3
y
B
ψ
O
A
x&A = −l sinψψ&
y&B = l cosψψ&
rad
s2
例6-8车轮在地面上作纯滚动，已知轮心O在图示瞬时的速度为
vO，加速度为aO，车轮半径为r，如图。试求轮的角速度和角加 速度轮缘与地面接触点C的加速度。
y
解： C点为速度瞬心
ω = vO
r
αω
O aO
vO x
对时间取导
α = ω& = 1 dvO = aO
C
r dt r
6-3 刚体平面运动的加速度分析
小结
速度分析
1、基点法 vvB = vvA + vvBA
vBA = AB ⋅ ω
2、速度投影法
[vB
] AB
=
[v
A
] AB
3、速度瞬心法
vB = ω ⋅ BP
基点法：即可求速度，也能求角速度，但计算烦琐。
速度投影法：求速度方便，但不能求角速度。 速度瞬心法：求速度和角速度方便，应为首选。
6-3 刚体平面运动的加速度分析
ωBC
=
vB BP2
=
rω
3r
=ω
3
vC = CP2 ⋅ωBC =
3 rω
3
P1
vA
ωAB
B
ωA Oα
vB
β O1
C
vC
ωBC
P2
例6-6曲柄肘杆式压床如图。已知曲柄OA长r以匀角速度ω转动，AB = BC =
BD = l，当曲柄与水平线成30º角时，连杆AB处于水平位置，而肘杆DB与铅垂 线也成30º角。试求图示位置时，杆AB、BC的角速度以及冲头C 的速度。
作业：6-6；6-7；6-8；6-13
例6-5 图示机构，已知曲柄OA的角速度为ω，OA＝AB＝BO1＝ O1C＝r，角α = β = 60º，求滑块C的速度。
解：AB和BC作平面运动，其瞬心分别为P1和P2点，则
vA = OA ⋅ω = rω
ω AB
=
vA AP1
=
rω
r
=ω
vB = BP1 ⋅ωAB = rω
O点为基点
avC = avO + avCnO + avCt O
aCt O = r ⋅α = aO
aCnO
=
r
⋅ω2
=
vO2 r
y
αω
O aO
vO x
aCt O
aCnO aO
C
aC
=
aCnO
=
vO2 r
速度瞬心具有加速度
6-3 刚体平面运动的加速度分析
刚体平面运动的加速度分析解题步骤
1、速度分析：首选速度瞬心法（不选择速度投影 法），求平面运动刚体的角速度。 2、加速度分析：基点法。弄清点的运动是直线还是 曲线.画加速度分析图。未知加速度方向可以假设。 法向加速度方向可确定。 3、利用投影式求未知加速度。 a 加速度矢量式能求解两个未知数 b 投影时应按公式的原始形式进行投影,与坐标轴的 指向一致为正,相反为负。 4 速度瞬心的加速度≠0, 因而速度瞬心法不能用于求加速度。
α1
45º D
aB = ω 2 ⋅ AB = 100mm/s2 aCnB = BC ⋅ωBC2 = 25 2 mm/s2
aCt = −106 mm/s2
α1
=
aCt CD
=
- 0.375rad/s2
解析法在刚体平面运动中的应用
B
ψ
u
O
A
例6-10 图中杆AB长 l，滑 倒时B 端靠着铅垂墙壁。已 知A点以等速度u沿水平轴线 运动，试求60º时杆端B点的 速度和加速度及杆的角加速
D 30º
P1
ωAB
B
vB
C
vC
ωBC
P2
例6-7 已知轮子在地面上作纯滚动，轮心的速度为v，半径 为r。求轮子上A1、A2、A3和A4点的速度。
解：速度瞬心A1
vA1 = 0
vo = rω = v
ω
A3
vA3
A4
vA4 vO A2
O
vA2
vA2 = vA4 = 2rω = 2v
A1
vA3 = 2rω = 2v
s2
加速度矢量式投影到η轴上得
aB cos 45o = aBnA
aB = 5.66 m s2
αAB
an BA
at
y BA
aB aA B