以A为基点，点C的速度。
vA vB vBA B vA
vC vCA
vA
C
v v v v C = v A + v CA
O
A II ωA D
ωO
课后练习
I
6-2 刚体平面运动的速度分析
2、速度投影法
v v v v B = v A + v BA
投影于AB连线
vB vBA
B
vA
[vB ]AB = [v A ]AB
2、 已知平面图形上一点A的速度 vA
和图形角速度 ω
v 速度瞬心P：过点A作 v A 的垂线，
并取 PA =
vA
A
vA
vA
P ω
ω
。
S
ω
6-2 刚体平面运动的速度分析
3、平面运动刚体在固定平面上做纯滚动时，其接触点为速度瞬 心。
v
P
注意：只有在接触面是固定面时, 圆轮上接触点才是 速度瞬心.
6-2 刚体平面运动的速度分析
定轴转动
6-2 刚体平面运动的速度分析
瞬时平移的说明
vA
O
A
ω
vA
A
M
ω
B 该瞬时，连杆AB的速度瞬心在无穷远处 选A为基点，则连杆AB上任一点M的速度 该瞬时AB上各点的速度相等。
vB
O
vM vB
B
ω AB = 0
vM = v A
各点加速度是否相等?
6-2 刚体平面运动的速度分析
x A = f1 (t ) y A = f 2 (t ) ϕ = f 3 (t )
刚体平面运动的角速度和角加速度为
& ω =ϕ
& =ϕ && α =ω
刚体平面运动的角速度和角加速度为代数量且唯一
6-2 刚体平面运动的速度分析
1、基点法 运动分解：B点的速度=随基点Ａ的平动 速度+绕基点Ａ的转动速度
平面图形上任意两点的速度在 这两点连线上的投影相等。
ω
A
vA
6-2 刚体平面运动的速度分析
速度投影法说明
[vB ]AB = [v A ]AB
1、速度投影定理不能求平 面图形的角速度。 2、反映了刚体不变形的性 质,适用于任何形式的刚体 运动。
vB vBA
B
vA
ω
A
vA
6-2 刚体平面运动的速度分析
vA
O A
ω
vB
B
结论：平面运动刚体作 瞬时平移时，刚体上各 点的速度皆相同，刚体 角速度为零。但各点的 加速度不同，刚体角加 速度不为零。
牢记！
现在，你能解释 这种现象了吗？
P
离车轮与地面的接触处近的钢丝看得较清楚，而 离得远的钢丝则模糊不清，甚至看不见。
6-2 刚体平面运动的速度分析
例6-4 椭圆规尺的A端以速度vA沿 x 轴的负向运 动，如图所示，AB=l。试求B端的速度以及规尺AB的 角速度。和杆AB中点D的速度。 （速度瞬心法求解） y
v v v A = vB
vA
O A
ω
vB
B
6-2 刚体平面运动的速度分析
特例2 两垂线共线。则速度瞬心在两点速度矢端连线与AB延长 线的交点处。
A B P
vA vB
6-2 刚体平面运动的速度分析
特例2 两垂线共线。则速度瞬心在两点速度矢端连线与AB延长 线的交点处。
A P
vA
vB
B
6-2 刚体平面运动的速度分析
B C vA vA D vDA A II ωA
v A = (r1 + r2 )ωO
以A为基点，两轮接触点D的速度。
v v v v D = v A + v DA
ωO
O I
vD = 0
vDA (r1 + r2 )ωO ωA = = r2 r2
以A为基点，点B的速度。
v v v v B = v A + v BA
刚体ED应用速度投影定理
v E cos 30 o = v D
速度投影法只能在一个刚体上应用，不能求刚体角速度
如何解释 这种现象？
离车轮与地面的接触处近的钢丝看得较清楚，而 离得远的钢丝则模糊不清，甚至看不见。
6-2 刚体平面运动的速度分析
3、速度瞬心法 1）寻找平面图形S上速度为零的点
vPA
S
N P
vB vBA
ω
B
v v v v B = v A + v BA
vAΒιβλιοθήκη v v BAv v A 基点速度
Ｂ绕Ａ转动的速度 A
vA
v BA = AB ⋅ ω
平面图形上任意一点的速度等于基点的速度与该点绕基点转 动的速度的矢量和。
6-2 刚体平面运动的速度分析
例6-1 椭圆规尺的A端以速度vA沿 x 轴的负向运 动，如图所示，AB=l。试求B端的速度以及规尺AB的 角速度。 y
vA vD
D A
ω
P P
vB
ω
B
速度分布而言，平面图形的运动可视为绕该瞬时的速度瞬心作 瞬时转动。与定轴转动速度分布类似。
6-2 刚体平面运动的速度分析
速度瞬心位置的确定
1、已知任意两点 的速度方向，则两 速度垂线的交点为 速度瞬心P
P
ωAB
vA
ω
A
O
vB
B
6-2 刚体平面运动的速度分析
特例1：两垂线平行。则速度瞬心P在无穷远处。这种情况称 瞬时平移。ω=0
B
O
ϕ
vA A
x
6-2 刚体平面运动的速度分析
分析： 1、AB做平面运动。 2、用基点法求解，基点A y vB vA B vBA
作用线 大小
v v v v B = v A + v BA
√
？
√
√
？ ωl
vA
ω
O
ϕ
vA A
一个矢量方程在平面情况 下，可解2个未知。 x
6-2 刚体平面运动的速度分析
y vB vA B vBA 解：基点A
例6-3 图所示平面机构中，曲柄OA=100 mm，以角速度ω = 2 rad·s－1转动。连杆AB带动摇杆CD，并拖动轮E 沿水平 面滚动。已知CD = 3CB，图示位置时A，B，E 三点恰在 一水平线上，且CD⊥ED，试求此瞬时E点的速度。
D
30o
E
B
60o
A C O
ω
6-2 刚体平面运动的速度分析
B
ω
O
ϕ
vA A
x
6-2 刚体平面运动的速度分析
y vB B vD D O vA ϕ A x
解：
ω
AB的速度瞬心为P
P
vA vA = ω= AP l sin ϕ
v B = BP ⋅ ω = v A cot ϕ
l vA vA vD = DP ⋅ ω = ⋅ = 2 l sin ϕ 2 sin ϕ
速度瞬心的特点
1、瞬时性：不同的瞬时，有不同的速度瞬心，速度瞬心具有加 速度。如果加速度为零，变为定轴转动。 2、唯一性：某一瞬时只有一个速度瞬心，速度瞬心不一定在平 面图形内。一个刚体只有一个速度瞬心。
速度瞬心不是一 个固定点。理解 成“角色”
6-2 刚体平面运动的速度分析
思考题： 1、下图所示速度瞬心是否正确？ 2、杆做什么运动？
v v v vP = v A + vPA
可找到一点P，满足
vA
A
v PA = v A
vP = 0
（P为速度瞬心）
ω
vA
在某一瞬时，平面图形内速度等于0的点，称为速 度瞬心。
6-2 刚体平面运动的速度分析
2）若以Ｐ为基点，任一点速度
v v v v B = v P + v BP
v B = v BP = BP ⋅ ω
v v v v B = v A + v BA
ω
v B = v A cot ϕ
x
O
ϕ
vA A
v BA
vA = sin ϕ
v BA vA = ω = l l sin ϕ
6-2 刚体平面运动的速度分析
刚体平面运动的速度分析的解题步骤（基点法）
1、选基点（一般选择速度已知的点） 2、作速度平行四边形。本题B点速度必须在平行四 边形的对角线。速度方向不能假设。 3、解速度三角形。求解的速度和角速度需要图示。 用vBA的方向判断角速度的转向。 速度矢量式含有6个要素,必须知道4个要素,方能求解
解 vD
D
30o
v A = OA ⋅ ω = 0.2m/s
v B cos 30 o = v A
刚体AB应用速度投影定理
E
B
60o
vB
C O
A
vA
vE
vB =
ω
vA = 0 . 231 m/s o cos 30 v v D = B ⋅ CD = 0 .693 m/s CB
v E = 0 .8 m / s
6-2 刚体平面运动的速度分析
思考：本题可以以B为基点吗？ B
ω
O
vB
v v v v A = v B + v AB
ϕ
vA vAB
例6-2 行星轮系机构如图。大齿轮I固定，半径为r1；行星齿轮II 沿轮 I 只滚而不滑动，半径为 r2 。系杆 OA 角速度为 ωO 。求轮 II 的 角速度ωA及其上B，C两点的速度。 解 杆OA定轴