圆的动点问题25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）△中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，过点A作直线MN⊥AC，点E是直线已知：在Rt ABCMN上的一个动点，（1）如图1，如果点E是射线AM上的一个动点(不与点A重合)，联结CE交AB于点P．若AE为x，AP为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；(2) 在射线AM上是否存在一点E，使以点E、A、P组成的三角形与△ABC相似，若存在求AE的长，若不存在，请说明理由；（3）如图2，过点B作BD⊥MN，垂足为D，以点C为圆心，若以AC为半径的⊙C与以ED 为半径的⊙E相切，求⊙E的半径．第25题图1N25．（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题2分，第（3）小题6分）在半径为4的⊙O中，点C是以AB为直径的半圆的中点，OD⊥AC，垂足为D，点E是射线AB上的任意一点，DF//AB，DF与CE相交于点F，设EF=x，DF=y．（1）如图1，当点E在射线OB上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；（2）如图2，当点F在⊙O上时，求线段DF的长；（3）如果以点E为圆心、EF为半径的圆与⊙O相切，求线段DF的长．25．如图，在半径为5的⊙O中，点A、B在⊙O上，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点，AC与OB的延长线相交于点D，设AC=x，BD=y．（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）如果⊙O1与⊙O相交于点A、C，且⊙O1与⊙O的圆心距为2，当BD=OB时，求⊙O1的半径；（3）是否存在点C，使得△DCB∽△DOC？如果存在，请证明；如果不存在，请简要说明理由．25.（本题满分14分，第（1）题4分，第（2）题4分，第（2）题6分）在梯形ABCD 中，AD//BC ，AB ⊥AD ，AB=4，AD=5，CD=5．E 为底边BC 上一点，以点E 为圆心，BE 为半径画⊙E 交直线DE 于点F ． (1) 如图，当点F 在线段DE 上时，设BE x =，DF y =，试建立y 关于x 的函数关系式， 并写出自变量x 的取值范围；(2) 当以CD 直径的⊙O 与⊙E 与相切时，求x 的值；(3) 联接AF 、BF ，当△ABF 是以AF 为腰的等腰三角形时，求x 的值。
B25．(本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分5分) 证明：（1）∵AM ⊥AC ，∠ACB =90°∴AM ∥BC ∴BPAPBC AE =--------------------------------------(1分) ∵BC =6，AC =8，∴AB=10-------------------------------------------------------------------------------------(1分) ∵AE =x ，AP =y ∴yy x -=106 ()0610>+=x xx y ----------------------------------------------------------------------------------(2分)（2）假设在射线AM 上存在一点E ，使以点E 、A 、P 组成的三角形与△ABC 相似 ∵AM ∥BC ∴∠B =∠BAE ∵∠ACB =90° ∠AE P ≠90°∴△ABC ∽△EAP ----------------------------------------------------------------------------------（2分）APAEBC AB =-----------------------------------------------------------------------------------------------（1分） ∴xx x +=610610 解得：0,33221==x x （舍去）-----------------------------------------（1分） ∴当AE 的长为332时，△ABC ∽△EAP （3）∵⊙C 与⊙E 相切，AE =x①当点E 在射线AD 上，⊙C 与⊙E 外切时，ED=6-x ， EC=286+=+-x x 在直角三角形AEC 中，222EC AE AC =+ ∴222)2(8+=+x x 解得：15=x∴⊙E 的半径为9. ----------------------------------（2分）②当点E 在线段AD 上，⊙C 与⊙E 外切时，ED=x -6， EC=x x -=+-1486 在直角三角形AEC 中，222EC AE AC =+ ∴222)14(8x x -=+ 解得：733=x ∴⊙E 的半径为79.---------------------------------（2分） ③当点E 在射线DA 上，⊙C 与⊙E 内切时，ED=6+x ， EC=286-=-+x x在直角三角形AEC 中，222EC AE AC =+∴222)2(8-=+x x 解得：15-=x （舍去）---------------------------------------（1分） ∴当⊙C 与⊙E 相切时，⊙E 的半径为9或79。
25．解：（1）联结OC ，∵AC 是⊙O 的弦，OD ⊥AC ，∴OD =AD ．……………………（1分）∵DF //AB ，∴CF =EF ，∴DF =AE 21=)(21OE AO +．…………………………（1分）∵点C 是以AB 为直径的半圆的中点，∴CO ⊥AB ．……………………………（1分）∵EF =x ，AO =CO =4,∴CE =2x ,OE =421642222-=-=-x x OC CE .（1分）∴42)424(2122-+=-+=x x y . 定义域为2≥x ．…………………（1+1分） （2）当点F 在⊙O 上时，联结OC 、OF ，EF =421==OF CE ∴OC =OB =21AB =4．∴DF =2+442-=2+23．…………………………………………………（1分）（3）当⊙E 与⊙O 外切于点B 时，BE =FE ．∵222CO OE CE =-， ∴,4)4()2(222=+-x x 032832=--x x ，∴=1x 3744+，=2x 舍去(3744-）．………………………………………（1分）∴DF =37214)37448(21)(21+=++=+BE AB ．…………………………（1分） 当⊙E 与⊙O 内切于点B 时，BE =FE ．∵222CO OE CE =-，∴,4)4()2(222=--x x 032832=-+x x ，∴=1x 3744+-，=2x 舍去(3744--）．…………………………………（1分） ∴DF =37214)37448(21)(21-=+--=-BE AB ．…………………………（1分） 当⊙E 与⊙O 内切于点A 时，AE =FE ．∵222CO OE CE =-，∴,4)4()2(222=--x x 032832=-+x x ，∴=1x 3744+-，=2x 舍去(3744--）．………………………………（1分） ∴DF =327221-=AE ．……………………………………………………（1分）25题：解：（1）过⊙O 的圆心作OE ⊥AC ，垂足为E ，∴AE=，OE=．∵∠DEO=∠AOB=90°，∴∠D=90°﹣∠EOD=∠AOE ，∴△ODE ∽△AOE ． ∴，∵OD=y+5，∴．∴y 关于x 的函数解析式为：．定义域为：．（1分）（2）当BD=OB 时，，．∴x=6． ∴AE=，OE=．当点O 1在线段OE 上时，O 1E=OE ﹣OO 1=2，．当点O 1在线段EO 的延长线上时，O 1E=OE+OO 1=6，．⊙O 1的半径为或．（3）存在，当点C 为的中点时，△DCB ∽△DOC ．证明如下：∵当点C 为的中点时，∠BOC=∠AOC=∠AOB=45°，又∵OA=OC=OB ，∴∠OCA=∠OCB=，∴∠DCB=180°﹣∠OCA ﹣∠OCB=45°．∴∠DCB=∠BOC ．又∵∠D=∠D ，∴△DCB ∽△DOC ． ∴存在点C ，使得△DCB ∽△DOC ．25．(1) 过点D 作BC DG ⊥于点G ．可得8,3,,4=====BC GC AD BG AB DG ，x EG -=5； ……2分在Rt △DEG 中，∴222DG EG DE +=，即222)5(4)(x y x -+=+∴x x y -+-=16)5(2(负值舍去)…………………………………………1分定义域：x <0＜ 4.1≤ ……………………………………………1分 （2）设EF 的中点O ，联结OE ，过点O 作BC OH ⊥于点H ．,23225===HC OH OC ，，238--=x EH ；︒1⊙O 与⊙E 外切时，25+=x OE在OEH Rt ∆中，222EH OH OE +=， ∴222)25()238(2+=--+x x 化简并解得 920=x ……………2分 ︒2⊙O 与⊙D 内切时， 25-=x OE 在OEH Rt ∆中，222EH OH OE +=，∴222)25()238(2-=--+x x ，化简并解得 5x = ……………2分 综上所述，当⊙O 与⊙D 相切时，5x =或920． （3） 当4==AB AF 时， 由BE=EF ，AE=AE ，有△ABE 和△AEF 全等，1分 ∴90=∠=∠ABE AFE ，即DE AF ⊥ 在AFD Rt ∆中，22AF AD DF -==34522=- ………1分由x x y -+-=16)5(2=3，解得2=x ； ……………1分当FB FA =时，过点F 作AB QF ⊥于点Q ，有AQ=BQ ，且AD ∥BC ∥FQ …1分∴EF DF =，x x y -+-=16)5(2=x ，33725±-=x （负值舍去）；综上所述，当△ABF 是以AF 为腰的等腰三角形时时，2=x 或33725+-=x 。