a1F1(s) a2 F2 (s)
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a1，a2为任意常数
证明
0 -a 1 f 1 ( t ) a 2 f 2 ( t )e - s td t 0 - a 1 f 1 ( t ) e - s td t 0 - a 2 f 2 ( t ) e - s td t
a 1F 1(s)a2F 2(s)
s2
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7.1.3 冲激函数 A d（t）
冲激函数的定义
- dtftdtf0
可得 L A dt 0 A dte - std t A e 0 A
对于单位冲激函数来说，可令上式 A=1，即得：
Ldt1
书中表7 -1给出了一些常见函数的拉普拉斯变换
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拉氏变换法的实质就是将微分方程经数学变换转变成代数 方程，然后进行代数运算，再将所得的结果变换回去。它 和应用对数计算数的乘除相类似。不同的只是在对数运算 中变换的对象是数，而在拉氏变换中变换的对象是函数。
拉氏变换法的优点：
（1）求解过程得以简化，又同时给出微分方程的特解及齐 次方程的通解，而且初始条件能自动包含在变换式中，对 于换路起始时有突变现象的问题处理更方便；
（2）对于常用的阶跃函数、冲激函数、指数函数及一些 超越函数等经变换以后，可转换成为简单的初等函数。
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7.2 拉普拉斯变换的基本性质
e-jt t
1 2s- 1js 1js2 s2
Lcostts2 s2
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4、衰减正弦函数 e - t sin t
故有
e-tsin t2 1je--jt-e-jt
L [e - as t it] n 1 [ 1 - 1 ] 2 j(s a )- j (s a ) j
(sa)2 2
L[e-atsi nt] (sa)22
5、衰减余弦函数 e - t cos t
与衰减正 弦函数相 类似可得
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L e - tc o s tt s s 2 2
6、双曲线正弦函数 sh bt t
shbt1 ebt -e-bt 2故有Lshbt Nhomakorabeas2-bb2
7、双曲线余弦函数 ch bt t
与双曲线正弦函数相类似可得
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Lchbtts2
s
-b2
7.1.2 t的正幂函数 t n t (n为正整数
由定义可得 t n t 的拉普拉斯变换为
Ltnt tne-stdt 0
则
t n e - s t d t
udv
0
0
uv 0 - 0 udv
- t n e - s t n t n - 1 e - s t d t
t
1 s-a
( a)
=0
( a)
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a 称为收敛域
拉氏反变换 由F(s)到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换，简称拉氏反变换
拉氏变换对
f(t) 1 jF(s)estds
2j -j
F(s) L[ f (t)] 拉氏正变换 f (t) L-1[F(s)] 拉氏反变换
工程中常见的函数(除少数例外)有下列两类:(1) t的指数函 数；(2) t的正整幂函数。许多常用的函数如阶跃函数、正 弦函数、衰减正弦函数等，都可由这两类函数导出。
拉普拉斯变换有许多重要性质。利用这些基本性质可以方便 地求出一些较为复杂函数的象函数，同时通过这些基本性质 可以将电路在时域内的线性常微分方程变换为复频域内的线 性代数方程。从而得到复频域中的等效电路。
7.2.1 线性特性
若 f1(t) L
L
F1(s) f2(t)
F2(s)
则 a1 f1(t) a2 f2 (t) L
例 求函数的象函数 f(t)ea1t bea2t
解 L [f(t) ]L [ea 1 tba 2 e t]1 b s-a 1 s-a2
7.2.2 尺度变换
若 f (t) L 则 f1(at) L
解 根据拉氏变换的定义
F(s)
0-
f
(t)e-stdt
e e dt e dt e at -st
-(s-a)t
-(s-a)t
0-
0-
-(s -a) 0-
1 [1-lime-(s-a)t ] 因s为 j
s - a t
lime-(s-a)t 0
t
lim e e -( -a)t - jt
第7章 电路的拉普拉斯变换分析法
7.1 拉普拉斯变换的定义 7.2 拉普拉斯变换的基本性质 7.3 拉普拉斯反变换 7.4 复频域电路 7.5 电路的拉普拉斯变换分析法
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7.1 拉普拉斯变换的定义
拉普拉斯变换（简称拉氏变换）是求解常系数线性 微分方程的工具。
拉氏正变换
设一个变量t的函数f(t)，在任意区间能够满足狄利赫利条 件（一般电子技术中处理的函数都满足这一条件）
s
0 s0
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n t n - 1 e - s t d t s0
设 utn, dve-stdt 亦即
LtntnLtn-1t s
依次类推，则得
LtntnLtn-1t s
LtntnLtn-1tnn-1Ltn-2t
s
ss
nn-1n-2 ss s
2s1s1ssnn!1
当n=1时，有
L[t(t)] 1
t <0 f (t) 0
t 0
0
f
(t)e-st dt
为有限值
F(s) f(t)e-stdt 0-
S j
拉氏正 变换
0
积分下线 0- 后面讨论中写成0
f(t)：原函数；F(S)：f(t)的象函数。
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例 用定义求f(t)象函数。其中a为实数，且a>0。
f(t)eat(t)
2、正弦函数 sin t t
sint1 ejt -e-jt 2j 故有
Lsi nttL 2 1jejt
-e-jt
t
2 1js-1j-s1js2 2
Lsi ntts2 2
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3、余弦函数 cos t t
故有
cost1ejt e-jt 2
Lco tstL 1 2ejt
下面来讨论一些常见函数的拉普拉斯变换
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7.1.1 指数函数 e t t (为常数)
由定义可得 e t t 的拉普拉斯变换为
F(s) 1
s -
由此可导出一些常用函数的变换 ：
1、单位阶跃函数 t
(t)
1 0
t 0 t <0
F(s) 1
0
s -
L t 1
s
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