2
比较可以知道
ρ f = cf
2
，而且 ∫ ρ f df
= ∫ c f df = 1
2
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6.一维运动粒子的状态是
Axe − λx ψ ( x) = 0 x≥0 x<0
其中 λ > 0 ，求：(a)粒子动量的概率分布函数 (b)粒子的平均动量 解：一维运动粒子的动量算符的本征函数为ψ p 在 x ≥ 0 时将波函数用本征函数展开
o
， λ = h / p = h / mv p
= 1.78 *10 −10 m = 1.78 A
o
在普通条件下，实物粒子的波长很小，所以不表现出波 动性。
P336
v ˆ = − ih r ˆ 1.证明动量算符 L × ∇ 和哈密顿算符 H v v ˆ 2 / 2m + U (r =P ) 是厄
米算符。 证明：
(b) hυ = 6.63 *10 −34 *1010 = 6.63 *10 −24 J (c)
hυ = 6.63 *10 −34 *1015 = 6.63 *10 −19 J
普通振子的能量子很小，它的能量变化很小，近似是连 续变化的。 2. 计算下列粒子的德布罗意波长 (a)能量为 100eV 的自由电子； (b)被1015 V 电子差加速的质子； (c)以速度 1m·S-1 运动的质量为 1Kg 的质点； (d)
+ * *
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ˆ+F ˆ + ]vdτ = v[( F ˆ + )u ]* d τ ， F ˆ +F ˆ + 是厄米算符。 所以 ∫ u * [ F ∫ ˆ +F
* ˆ −F ˆ + )]vdτ 同理， ∫ u [i( F + * ˆ ˆvdτ − i u * F ˆ u ) * dτ = i∫ u * F vdτ − i ∫ v( F ∫ ˆ vdτ = i ∫ u F
h e −( λ +ipx / h ) x dx = ∫ 2πh λh + ip x 0
2

2
其概率分布函数 ∵
1 = ∫ψ *ψdx
A2 1 P = c( p x ) = 2 2 2 2πh λ + p / h x
∴ A 2 = 4λ3
2λ3 1 P= 2 2 2 πh λ + p x / h
v
v
两边同时乘以，并对全空间积分，可得
∫ψ
* f
v v v v v v ′ 3 (r ) ψ ( r , t ) d 3 r = ∫ψ * f ( r ) ∫ c f ′ (t )ψ f ′ ( r )df d r v v 3v ′ = ∫ c f ′ (t ) ∫ψ f ′ (r )ψ * f ( r )d r df = ∫ c f ′ (t )δ ( f − f ′)df ′ = c f ′ (t ) ∫ δ ( f − f ′)df ′ = c f (t )
ˆ −F ˆ ∫ v[( F ˆu ) − i∫ v(F
+ *
+ * ++ ˆ u ) * dτ + i v ( F ˆ u ) * dτ + i u * F )iu ]* dτ = ( − i ) ∫ v ( F ∫ ˆ u ) dτ = −i ∫ v ( F ∫ ˆ vd τ =
ˆ vd τ dτ + i ∫ u * F
* + + * ˆ ˆvdτ + u * F ˆ u ) * dτ ]vdτ = ∫ u * F vdτ + ∫ v( F ∫ ˆ vdτ = ∫ u F * * * * ˆ ++ ˆ + u ) * dτ = v ( F dτ + ∫ v ( F vd τ = ∫ ˆu ) dτ + ∫ u F
ˆ+F ˆ )u ] d τ = v ( F ∫ v[( F ∫ ˆu ) ˆu ) dτ + u F ∫ v(F ∫ ˆvd τ
无限趋近于光速。因为总能量远大于静能 mc 2 ，此时 m 可以 忽略， E ≈ pc ， λ = h / p = hc / E = hc / uq = 1.24 *10 −21 m
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(c) (d)
λ = h / p = h / mv = 6.63 *10 −34 m = 6.63 *10 − 24 A vp = 2k B T m
∴ ∵ 而
v v 3v c f = ∫ψ * f ( r )ψ ( r , t ) d r f = ∫ ρ f f df
∫ρ
f
df = 1
ρf ≥ 0
v v 3v ˆψ df = c * ψ * (r f = ∫ψ * f ∫ ∫ f ′ f ′ )df f′ˆ ∫ c f ψ f (r )dfd r v v * v ˆ ′ 3 = ∫ ∫ ∫ c* f ′ c f ψ f ′ ( r ) fψ f ( r ) df dfd r v v v ′ 3 = ∫ ∫ ∫ c *f ′ c f ψ * f ′ ( r ) f ψ f ( r ) df dfd r v v 3v ′ ∫ψ * = ∫ ∫ c *f ′ c f fdf df f ′ ( r )ψ f ( r ) d r = ∫ ∫ c *f ′ c f fdf ′ dfδ ( f − f ′) = ∫ cf
。
3.利用在宽为 a 的势箱中形成驻波的条件——势箱宽度等于 半波长的整数倍，求势箱中粒子的能谱。 解：
4.波尔原子模型假定，氢原子中的电子在绕核的圆形轨道上 运动。将电子看成在这圆形轨道上传播的波。利用波的稳定 性条件（即驻波条件）求氢原子的基态能量。
v , t ) 中测 F 得值 5.证明力学量 F 有连续谱的情况下， 在状态ψ (r f
Axe − λx = ∫ c ( p x )ψ p x dp x
x
( x) =
1 e ipx x / h 2πh
其中
v c ( p x ) = ∫ψ ψ ( x)d r =
* px 3
∫ (e 2πh
0
1
∞
ip x x / h *
) Axe −λx dx
= =
A xe −( λx +ipx x / h ) dx ∫ 2πh 0 h [− xe − ( λ +ip x / h ) x 2πh λh + ip x x
ˆ +，H ˆ + 也一样。 同理可得 H y z ˆ+ 所以， H ˆ =H
，哈密顿算符也是厄米算符。
ˆ 不是厄米的，证明 F ˆ +F ˆ + 和 i( F ˆ −F ˆ + ) 是厄米的，并且可 2.若 F ˆ+F ˆ+ ˆ −F ˆ+ F F ˆ F = + i 写成 2 2 ˆ 不是厄米的，但是 证明： F ˆ +F ˆ ∫ u [F
P305
1. 计算下列各种频率的谐振子的能量子： (a)υ = 50HZ 的带电谐振子； (b)υ = 1010 HZ 的微波； (c)υ = 1015 HZ 的光波， 进而指出为什么普通振子的能量不显分立性。 答：(a)
hυ = 6.63 *10 −34 J ⋅ S * 50 HZ = 3.31 * 10 −32 J
v
v v ˆ 2 / 2m + U (r ˆ 来说 H ˆ =P ˆ 2 / 2m + U ( x) ˆ =P H ) ，对于一个分量 H x x x && * = P ˆ+ = P ˆ ，动量为厄米算符 因为 P ˆ+ 所以 H x ˆ 2 / 2m + U ( x)]+ = P ˆ 2 / 2m + U ( x) = H ˆ = [P x x x ~
的概率密度函数 ρ f 的公式：
v v 3v c f = ∫ψ * f ( r )ψ ( r , t ) d r ρ f = cf
2
∫ρ
f
df = ∫ c f df = 1
2
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证明：
F 有连续谱时ψ (r , t ) = ∫ c f ′ (t )ψ f ′ ( r )df ′
2
fdf
又∵
v v v 3v ′ 1 = ∫ψ *ψ d 3 r = ∫ ∫ c *f ′ψ * f ′ ( r ) df ∫ c f ψ f ( r ) dfd r v v v ′ 3 = ∫ ∫ ∫ c *f ′ c f ψ * f ′ ( r )ψ f ( r ) df dfd r v v 3v ′ ∫ψ * = ∫ ∫ c *f ′ c f df df f ′ ( r )ψ f ( r ) d r = ∫ ∫ c *f ′ c f df ′ dfδ ( f − f ′) = ∫ c f df
( λ + ip x / h ) x
∞
A
∞ 0
+ ∫ e −( λ +ipx / h ) x dx ]
0
∞
∵ ∴
λ >0
∴ Lim x→∞
A
e
= Lim
x →∞ ∞
e
( λ + ip x / h ) x
1 =0 (λ + ip x / h) A h 2πh λh + ip x
2
c( p x ) =
∂ ∂ v ˆ = − ih r ˆ =y ˆp ˆz − z ˆ y = −ih( y − z ) ˆp L × ∇ ，所以 L x ∂z ∂y ˆ = −ih( z ∂ − x ∂ ) L y ∂x ∂z ˆ = −ih ( x ∂ − y ∂ ) L z ∂y ∂x ˆ 来说 对于一个分量 L x ˆ vdτ = u * [ −ih ( y ∂ − z ∂ )]vdτ = −ih u * ( y ∂v − z ∂v ) dτ u L x ∫ ∫ ∫ ∂z ∂y ∂z ∂y −∞ −∞ −∞