∴
∂ 2ψ 1 ( x) + λ2 xψ 1 ( x) = 0 2 ∂x
由边界条件得ψ 1 ( x) = A sin( λ x x) ， A sin( λ x a) = 0 ，
λx = n1π a
（ n1 = 1,2,3........ ）
2 a
本征函数ψ 1 ( x) = A sin( n1π
a
x) ，归一化后得 A =
nπ nπ nπ 8 sin( 1 z ) sin( 2 y ) sin( 3 z ) abc a b c
2 n2 λ 2 h 2π 2 n12 n2 = ( 2 + 2 + 3 ) 2m 2m a b c2 2
2 2 h ∵ λ2 = λ2 x + λ y + λz ∴ E =
n1 , n 2 , n3 = 1,2,3........
其中 k =
2 mE / h 2
。
2
x) 2m( E − U ) + ψ ( x) = 0 解：由定态薛定谔方程 d ψ ( 2 2 dx h
∴
′′( x) + ψ1 ′′ ( x ) + ψ2 ′′( x ) + ψ3
2m( E − U 1 ) ψ 1 ( x) = 0 h2 2mE ψ 2 ( x) = 0 h2
∴
ψ 1 ( x) =
nπ 2 sin( 1 x ) a a nπ 2 sin( 3 z ) c c
同理可得ψ 2 ( y) =
nπ 2 sin( 2 y ) ，ψ 3 ( z ) = b b
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ψ ( x, y, z ) =
2
= e −iEt / h
2
v 3 2 v 3 2 * v * v φ ( r ) φ ( r ) d r = φ ( r ) φ ( r ∫ E E ∫ E E )d r 与
t 无关。
5.证明在具有分立能量本征值的定态中， 动量的平均值为零。
v v 证明：定态波函数为ψ E (r , t ) = φ E (r )e − iEt / h v v * r * v ˆ ψd 3 r = ∫ψ * (−ih )∇ψd 3 r = −ih ∫ φ E p = ∫ψ * p (r )e iEt / h e − iEt / h ∇φ E (r )d 3 r = −ih ∫ φ E (r )∇φ E (r )d 3 r
7.质量为 m 的粒子在一维势阱中运动，求粒子的能谱。
∞ v U (r ) = −U0
当x ≤ 0 当0 < x < a 当x≥0
0
解： （1）束缚态下粒子能量的取值为 − U 0 < E < 0
d 2ψ ( x) 2m( E − U ) + 定态薛定谔方程为 ψ ( x) = 0 dx 2 h2
① x ≤ 0 ，U ( x) = ∞ ，∴ψ 1 ( x) = 0
v v 3.自由运动离子初始时刻处于坐标有确定值 r = r0 的状态，求
任意时刻的波函数ψ ( r , t ) 。
v v v 解：初始时刻的波函数为ψ (r ,0) = δ (r − r0 )
v
由自由粒子的定态薛定谔方程可得
− h2 2 v v ∇ ψ (r , t ) = Eψ (r ) 2m
v v v v v ψ (r , t ) = ψ (r )e −iEt / h = ψ (r ,0)e − iEt / h = δ (r − r0 )e −iEt / h v v v δ (r − r0 ) = ∑ c nψ n (r ) =
这是待定系数 A，D 的线性齐次方程组，它有非 0 解的条件
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sin k1 a e − k 2a = 0， k1 cos k1a − k 2 e − k2 a tgk1 a = − k1 / k 2
sin( k1 a )k 2 e − k 2 a + k1 cos(k1 a)e − k 2 a = 0 a 2m( E + U 0 ) h (E + U 0 ) −E
n
1 (2π ) 3
∞
−∞
v v v v ik ( r − r0 ) e d k ∫
v ψ (r , t ) =
1 (2π ) 3 1 (2π ) 3
∞
−∞ ∞
v v v v −iEt / h ik ( r − r0 ) e d k e ∫
E=
h 2k 2 2m
=
v v v ihk 2 t v exp[ − ( i k ( r − r ) + )]dk 0 ∫ 2m −∞
∴ p = −i h ∫ φ
* E
v v v * v ( r )∇φ E (r )d 3 r = ih ∫ φ E (r )∇φ E (r )d 3 r
∴p=0
方法二： r r r ˆ ˆ = im ( H ˆr p − r H ) 先证明下列关系式： h r ˆ2 p ˆ + U ( r ) ，所以 因为 H = 2m 2 2 ˆ ˆ p p im im x x ˆ x − xH ˆ) = (H ( x − x ) h h 2m 2m im 1 i 2 ˆx ˆx ， =− [ x, p ]= − 2ih p h 2m 2h r r r ˆ ˆ = im ( H ˆr p − r H )。 推广到三维，得 h 在具有分立能量本征值的定态中，动量的平均值为 r ˆ = p im r r ˆ ∗ 3 ˆr ψ ( H − r H ) ψ d r n n ∫ h im ∗ ∗ = E n ∫ (ψ n rψ n − ψ n rψ n )d 3r h
P361 1.求在状态
v v v ψ 1 ( r ) = R ( r )Y10 (θ , ϕ ),ψ 2 ( r ) = R ( r )Y11 (θ , ϕ ),ψ 3 (r ) = R ( r )Y1−1 (θ , ϕ )
中的粒子的概率流密度，其中 Y10 , Y1±1 分别为 l = 1 的球谐函数。
h
x → ∞ ψ 3 ( x) = 0
2
∴
C = 0， ψ1 ψ2 ′ ψ2
∴ψ 3 ( x) = De − k x
x =0
根据连续性条件：
=ψ 2 =ψ3 ′ =ψ3
x =0
∴ ∴
B = 0， A sin( k1a ) = De − k2 a
2
x =a
x =a
x =a
x =a
∴ k1 A cos(k1 a) = −k 2 De − k a
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v 因为能量有分立谱， 所以 φ E (r ) 是一个实函数 （这句话有问题）
∴
v v p = −ih ∫ φ E ( r )∇φ E (r )d 3 r
由厄米算符的厄米特性，
ˆ ψd 3 r = ∫ ψ ( p ˆ ψ )* d 3r p = ∫ψ * p v v = ∫ ψ ( r )(−ih∇ψ ) * dτ = ∫ ψ (r )ih∇ψ * dτ v v v * v = ih ∫ φ E (r )e − iEt / h e iEt / h φ E (r ) dτ = ih ∫ φ E ( r )∇φ E ( r )dτ
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iht v v (r − r0 )(− ) 1 π 2m 2 m ( ) exp[ − ] = (2π ) 3 ith h 2t 2 (− 2 ) m
3 2
v v 3 im(r − r0 ) m 2 =( ) exp[ − ] 2iπth 2ht
②或者是力学量取值的几率 ρ i = ci 2
v v v * v * v * v c i (t ) = ∫ φ E (r )ψ E (r , t )d 3 r = ∫ φ E (r )φ E (r )e − iEt / h d 3 r = e −iEt / h ∫ φ E (r )φ E (r )d 3 r ρ i = ci
当x ≤ a 当a < x < b 当x ≥b
2m( E − U 2 ) ψ 3 ( x) = 0 h2 k 22 =
令 k12 = 2m(U 12 − E ) > 0 ，
h
2m(U 2 − E ) 2mE > 0， k2 = 2 > 0 2 h h
∴ 方程的解为
ψ 1 ( x) = A1e ( kx + δ )
2m( E + U 0 ) x) 2m( E + U 0 ) + = k12 ②0 < x < a， d ψ( ψ ( x ) = 0 ，令 2 2 2
2
dx
h
h
>0
∴
ψ 2 ( x ) = A sin( k1 x) + B cos(k1 z )
2 令 − 2mE = k2 ,E < 0 2
d 2ψ ( x) 2mE ③ x ≥ 0， + 2 ψ ( x) = 0 dx 2 h ψ 3 ( x ) = Ce k2 x + De − k 2 x
4.证明在定态中，力学量的概率分布不随时间变化。 证明：
v v , t ) = φ E (r )e − iEt / h ①定态波函数ψ E (r
设力学量 F 的本征矢为ψ n 力学量的概率分布为 cn 2 = ∫ψ n*ψdτ
d cn dt
2 * * = cn ∫ψ n * ∂ψ * ∂ψ dτ + c n ∫ψ n dτ ∂t ∂t 2