专题强化训练1．(2019·金华十校联考)不等式(m －2)(m ＋3)＜0的一个充分不必要条件是( ) A ．－3＜m ＜0 B ．－3＜m ＜2 C ．－3＜m ＜4D ．－1＜m ＜3解析：选A.由(m －2)(m ＋3)＜0得－3＜m ＜2，即不等式成立的等价条件是－3＜m ＜2， 则不等式(m －2)(m ＋3)＜0的一个充分不必要条件是(－3，2)的一个真子集， 则满足条件是－3＜m ＜0. 故选A.2．已知关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)<0的解集是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，则a ＝( ) A ．2 B ．－2 C ．－12D.12解析：选B.根据不等式与对应方程的关系知－1，－12是一元二次方程ax 2＋x (a －1)－1＝0的两个根，所以－1×⎝⎛⎭⎫－12＝－1a，所以a ＝－2，故选B. 3．已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．2 3解析：选C.因为lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2， 所以x ＋3y ＝1，所以1x ＋13y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋13y (x ＋3y )＝2＋3y x ＋x3y ≥4， 当且仅当3y x ＝x3y，即x ＝12，y ＝16时，取等号．4．若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( )A.355B.2C.322D.5解析：选B.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥02x －y －3≤0x －2y ＋3≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A (1，2)、B (2，1)，当两条平行直线间的距离最小时，两平行直线分别过点A 与B ，又两平行直线的斜率为1，直线AB 的斜率为－1，所以线段AB 的长度就是过A 、B 两点的平行直线间的距离，易得|AB |＝2，即两条平行直线间的距离的最小值是2，故选B.5．(2019·金丽衢十二校高三联考)若函数f (x )＝2x 2－ax －1(a <2)在区间(1，＋∞)上的最小值为6，则实数a 的值为( )A ．2 B.32 C ．1D.12解析：选 B.f (x )＝2x 2－a x －1＝2（x －1）2＋4（x －1）＋2－ax －1＝2(x －1)＋2－a x －1＋4≥22（x －1）·2－ax －1＋4＝24－2a ＋4，当且仅当2(x －1)＝2－ax －1⇒x ＝1＋2－a2时，等号成立，所以24－2a ＋4＝6⇒a ＝32，故选B.6．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －（1＋a ）≤0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－4]B ．[－4，＋∞)C ．[－4，20]D ．[－4，20)解析：选B.不等式x 2－2x －3≤0的解集为[－1，3]，假设⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －（a ＋1）≤0的解集为空集，则不等式x 2＋4x －(a ＋1)≤0的解集为集合{x |x <－1或x >3}的子集，因为函数f (x )＝x 2＋4x －(a ＋1)的图象的对称轴方程为x ＝－2，所以必有f (－1)＝－4－a >0⇒a <－4，则使⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －（1＋a ）≤0的解集不为空集的a 的取值范围是a ≥－4.7．(2019·浙江“七彩阳光”联盟高三联考)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥－2x －y ≤0x ≥－4，若不等式2x －y ＋m 2≥0恒成立，则实数m 的取值范围为( )A ．[－6，6]B ．(－∞，－6]∪[6，＋∞)C ．[－7，7]D ．(－∞，－7]∪[7，＋∞)解析：选D.作出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥－2x －y ≤0x ≥－4所对应的可行域(如图中阴影部分)，令z ＝－2x ＋y ，当直线经过点A (－4，－1)时，z 取得最大值，即z max ＝(－2)×(－4)＋(－1)＝7.所以m 2≥7，即实数m 的取值范围为(－∞，－7]∪[7，＋∞)，故选D. 8．已知b >a >0，a ＋b ＝1，则下列不等式中正确的是( ) A ．log 3a >0B ．3a －b <13C ．log 2a ＋log 2b <－2D ．3⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥6解析：选C.对于A ，由log 3a >0可得log 3a >log 31，所以a >1，又b >a >0，a ＋b ＝1，所以a <1，两者矛盾，所以A 不正确； 对于B ，由3a －b <13可得3a －b <3－1，所以a －b <－1，可得a ＋1<b ，这与b >a >0，a ＋b ＝1矛盾，所以B 不正确；对于C ，由log 2a ＋log 2b <－2可得log 2(ab )<－2＝log 214，所以ab <14，又b >a >0，a ＋b ＝1>2ab ，所以ab <14，两者一致，所以C 正确；对于D ，因为b >a >0，a ＋b ＝1， 所以3⎝⎛⎭⎫b a ＋a b >3×2b a ×ab＝6，所以D 不正确．故选C. 9．(2019·绍兴市柯桥区高三期中)已知x ，y ∈R ，( ) A ．若|x －y 2|＋|x 2＋y |≤1，则(x ＋12)2＋(y －12)2≤32B ．若|x －y 2|＋|x 2－y |≤1，则(x －12)2＋(y －12)2≤32C ．若|x ＋y 2|＋|x 2－y |≤1，则(x ＋12)2＋(y ＋12)2≤32D ．若|x ＋y 2|＋|x 2＋y |≤1，则(x －12)2＋(y ＋12)2≤32解析：选B.对于A ，|x －y 2|＋|x 2＋y |≤1，由(x ＋12)2＋(y －12)2≤32化简得x 2＋x ＋y 2－y ≤1，二者没有对应关系；对于B ，由(x 2－y )＋(y 2－x )≤|x 2－y |＋|y 2－x |＝|x －y 2|＋|x 2－y |≤1，所以x 2－x ＋y 2－y ≤1，即(x －12)2＋(y －12)2≤32，命题成立；对于C ，|x ＋y 2|＋|x 2－y |≤1，由(x ＋12)2＋(y ＋12)2≤32化简得x 2＋x ＋y 2＋y ≤1，二者没有对应关系；对于D ，|x ＋y 2|＋|x 2＋y |≤1，化简(x －12)2＋(y ＋12)2≤32得x 2－x ＋y 2＋y ≤1，二者没有对应关系．故选B.10．若关于x 的不等式x 3－3x 2－ax ＋a ＋2≤0在x ∈(－∞，1]上恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3]B ．[－3，＋∞)C ．(－∞，3]D ．[3，＋∞)解析：选A.关于x 的不等式x 3－3x 2－ax ＋a ＋2≤0在x ∈(－∞，1]上恒成立， 等价于a (x －1)≥x 3－3x 2＋2＝(x －1)(x 2－2x －2)， 当x ＝1时，1－3－a ＋a ＋2＝0≤0成立，当x ＜1时，x －1＜0， 即a ≤x 2－2x －2，因为y ＝x 2－2x －2＝(x －1)2－3≥－3恒成立， 所以a ≤－3，故选A.11．(2019·温州市高三高考模拟)若关于x 的不等式|x |＋|x ＋a |＜b 的解集为(－2，1)，则实数对(a ，b )＝________．解析：因为不等式|x |＋|x ＋a |＜b 的解集为(－2，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＋|－2＋a |＝b 1＋|1＋a |＝b，解得a ＝1，b ＝3.答案：(1，3)12．若实数x ，y 满足x ＞y ＞0，且log 2x ＋log 2y ＝1，则2x ＋1y 的最小值是________，x －y x 2＋y 2的最大值为________．解析：实数x ，y 满足x ＞y ＞0，且log 2x ＋log 2y ＝1，则xy ＝2， 则2x ＋1y≥22x ·1y ＝2，当且仅当2x ＝1y，即x ＝2，y ＝1时取等号， 故2x ＋1y的最小值是2， x －yx 2＋y 2＝x －y（x －y ）2＋2xy ＝x －y（x －y ）2＋4＝1（x －y ）＋4x －y ≤12（x －y ）4x －y＝14，当且仅当x －y ＝4x －y，即x －y ＝2时取等号，故x －y x 2＋y 2的最大值为14，故答案为2，14.答案：2 1413．(2019·兰州市高考实战模拟)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥03x ＋4y ≤12，则z ＝2x ·⎝⎛⎭⎫12y的最大值为________．解析：作出不等式组⎩⎨⎧x ≥0y ≥03x ＋4y ≤12表示的平面区域如图中阴影部分所示．又z ＝2x·⎝⎛⎭⎫12y＝2x －y，令u ＝x －y ，则直线u ＝x －y 在点(4，0)处u 取得最大值，此时z 取得最大值且z max ＝24－0＝16.答案：1614．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1，x ≤0－x 2＋x ，x >0，则关于x 的不等式f (f (x ))≤3的解集为________．解析：令f (t )≤3，若t ≤0，则2－t －1≤3，2－t ≤4，解得－2≤t ≤0；若t >0，则－t 2＋t ≤3，t 2－t ＋3≥0，解得t >0，所以t ≥－2，即原不等式等价于⎩⎨⎧2－x －1≥－2x ≤0或⎩⎨⎧－x 2＋x ≥－2x >0，解得x ≤2.答案：(－∞，2]15．(2019·宁波市九校联考)已知f (x )＝|x ＋1x －a |＋|x －1x －a |＋2x －2a (x ＞0)的最小值为32，则实数a ＝________．解析：f (x )＝|x ＋1x －a |＋|x －1x －a |＋2x －2a ≥|(x ＋1x －a )－(x －1x －a )|＋2x －2a＝|2x |＋2x －2a ＝2x ＋2x －2a ≥22x·2x －2a ＝4－2a .当且仅当2x ＝2x ，即x ＝1时，上式等号成立．由4－2a ＝32，解得a ＝54.答案：5416．(2019·绍兴市柯桥区高三模拟)若|x 2＋|x －a |＋3a |≤2对x ∈[－1，1]恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：|x 2＋|x －a |＋3a |≤2化为－2－x 2≤|x －a |＋3a ≤2－x 2，画出图象，可知，其几何意义为顶点为(a ，3a )的V 字型在x ∈[－1，1]时，始终夹在y ＝－2－x 2，y ＝2－x 2之间，如图1，图2所示，为两种临界状态，首先就是图1 的临界状态，此时V 字形右边边界y ＝x ＋2a 与y ＝－2－x 2相切，联立直线方程和抛物线方程可得x 2＋x ＋2a ＋2＝0，此时Δ＝0⇒1－4(2a ＋2)＝0⇒a ＝－78，而图2的临界状态显然a ＝0，综上得，实数a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－78，0. 答案：⎣⎡⎦⎤－78，0 17．(2019·温州模拟)已知a ，b ，c ∈R ，若|a cos 2x ＋b sin x ＋c |≤1对x ∈R 成立，则|a sin x ＋b |的最大值为________．解析：由题意，设t ＝sin x ，t ∈[－1，1]，则|at 2－bt －a －c |≤1恒成立， 不妨设t ＝1，则|b ＋c |≤1；t ＝0，则|a ＋c |≤1，t ＝－1，则|b －c |≤1， 若a ，b 同号，则|a sin x ＋b |的最大值为 |a ＋b |＝|a ＋c ＋b －c |≤|a ＋c |＋|b －c |≤2； 若a ，b 异号，则|a sin x ＋b |的最大值为 |a －b |＝|a ＋c －b －c |≤|a ＋c |＋|b ＋c |≤2； 综上所述，|a sin x ＋b |的最大值为2， 故答案为2. 答案：218．(2019·丽水市第二次教学质量检测)已知函数f (x )＝4－|ax －2|(a ≠0)． (1)求函数f (x )的定义域；(2)若当x ∈[0，1]时，不等式f (x )≥1恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)要使函数有意义，需4－|ax －2|≥0，即|ax －2|≤4，|ax －2|≤4⇔－4≤ax －2≤4⇔－2≤ax ≤6. 当a >0时，函数f (x )的定义域为{x |－2a ≤x ≤6a }；当a <0时，函数f (x )的定义域为{x |6a ≤x ≤－2a}．(2)f (x )≥1⇔|ax －2|≤3，记g (x )＝|ax －2|，因为x ∈[0，1]，所以需且只需⎩⎪⎨⎪⎧g （0）≤3g （1）≤3⇔⎩⎨⎧2≤3|a －2|≤3⇔－1≤a ≤5，又a ≠0，所以－1≤a ≤5且a ≠0.19．(2019·丽水市高考数学模拟)已知函数f (x )＝|x ＋a |x 2＋1(a ∈R )．(1)当a ＝1时，解不等式f (x )>1；(2)对任意的b ∈(0，1)，当x ∈(1，2)时，f (x )>bx恒成立，求a 的取值范围．解：(1)f (x )＝|x ＋1|x 2＋1>1⇔x 2＋1<|x ＋1|⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0x 2＋1<x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0x 2＋1<－（x ＋1）⇔0<x <1.故不等式的解集为{x |0<x <1}．(2)f (x )＝|x ＋a |x 2＋1>b x ⇔|x ＋a |>b (x ＋1x )⇔x ＋a >b (x ＋1x )或x ＋a <－b (x ＋1x )⇔a >(b －1)x ＋bx 或a <－[(b ＋1)x ＋bx]对任意x ∈(1，2)恒成立．所以a ≥2b －1或a ≤－(52b ＋2)对任意b ∈(0，1)恒成立．所以a ≥1或a ≤－92.。