专题20 不等式训练
【训练目标】
1、掌握不等式的性质，能利用不等式的性质，特殊值法等判断不等式的正误；
2、熟练的解一元二次不等式，分式不等式，绝对值不等式，对数不等式，指数不等式，含根式的不等式；
3、掌握分类讨论的思想解含参数的不等式；
4、掌握恒成立问题，存在性问题；
5、掌握利用基本不等式求最值的方法；
6、掌握线性规划解决最优化问题；
7、掌握利用线性规划，基本不等式解决实际问题。

【温馨小提示】
在高考中，不等式无处不在，不论是不等式解法还是线性规划，基本不等式，一般单独出现的是线性规划或基本不等式，而不等式的解法则与集合、函数、数列相结合。

【名校试题荟萃】
1、若实数且，则下列不等式恒成立的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据函数的图象与不等式的性质可知：当时，为正确选项，故选C．
2、已知，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
3、，设，则下列判断中正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】令，则，故选B
4、若，且，则下列不等式成立的是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
.
5、袋子里有大小、形状相同的红球个，黑球个（）.从中任取个球是红球的概率记为.若将红球、黑球个数各增加个，此时从中任取个球是红球的概率记为；若将红球、黑球个数各减少个，此时从中任取个球是红球的概率记为，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
6、若，，则下列不等式错误的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
因为，，所以，，故A、B正确；由已知得，
，所以，所以C错误；由，得，，所以
成立，所以D正确．故选C．
7、已知直线恒过定点A，点A也在直线上，其中、均为正数，
则的最小值为（）
A.2
B.4
C.6
D.8
【答案】D
8、已知，直线与直线互相垂直，则的最小值等于（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
，因为直线与直线互相垂直，
所以，，当时，等号成立．
9、若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
若，则，符合题意，若，则，于是
．所以．
10、点在单位圆上，、是两个给定的夹角为的向量，为单位圆上动点，设
，且设的最大值为,最小值为,则的值为( )
A. B. C. F.
【答案】C
11、在约束条件：下，目标函数的最大值为，则的最大值等于( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
在直角坐标系中作出可行域如下图所示，又，由线性规划知识可知，当目标函数
经过可行域中的点时有最大值，所以有，，当且仅当时成立，故选D.
12、若的内角满足，则的最小值是（）
A. B. C. D.
【答案】D
13、对一切实数,不等式恒成立, 则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
1、当时，所以取任何实数皆可
2、当时，分离变量，所以，故本题的正确选项为D
14、设均为正数，且，则的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
因为均为正数，且，所以，整理可得：，由基本不等式可得，整理可得，解得或
（舍去），所以，当且仅当时取等号，故的最小值为，故选D.
15、设实数满足，则的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
可知当曲线与线段相切时取得最大值．此时，故
，当且仅当时取等号，
对应点落在线段上，故的最大值为，选A.
16、已知正数满足，则的最大值为________.
【答案】
【解析】
由，得，所以，从而
，解得．
17、设为实数，若，则的最大值是_______.
【答案】
18、已知正数满足，则的最小值是_______.
【答案】
【解析】
因为，，所以，所以，当且仅当，即时，
取得最小值.
19、在中，角的对边分别是，若，则_________.
【答案】
【解析】
因为，所以，即.
20、给出平面区域如图所示，其中若使目标函数仅在点处取得最大值，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
由题意得：只需...
21、已知实数满足，且数列为等差数列，则实数的最大值是________. 【答案】3
【解析】
因为数列为等差数列，即，即目标函数为，画出可行域如图所示，
由图可知，当目标函数过点时取到最大值，最大值为...
22、设实数满足,则的取值范围是________.
【答案】
【解析】
作出可行域，令，则由的几何意义可知取点时，取得最大值，取点时，取得最小值，则
，又，由及单调递增，可知单调递增，故
，，所以的取值范围是．
23、设变量满足约束条件，则的取值范围是_________.
【答案】
24、已知满足约束条件，求的最小值是________.
【答案】
【解析】
可行域表示一个三角形及其内部，其中，而目标函数表示可行域内的点到点距离平方，因此所求最小值为点直线：距离的平方：
.
25、在上定义运算：，若不等式对任意实数恒成立，则实数的最大值为_________.
【答案】
26、若不等式对一切恒成立，则的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
由题意得，，设则只要由于函数在在
上单调递增，所以，故.
27、若关于的不等式对任意在上恒成立，则实常数的取值范围
是_________．
【答案】
【解析】
不等式可化为，由，得的最大值为，则，解得或，又，故实常数的取值范围是．
28、设则不等式的解集为_________.
【答案】
29.关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
要满足题意即在区间有解，设，则的最大值．因为在区间为减函数，所以的最大值为，所以，选A．
30、若不等式组的解集中所含的整数解只有，则的取值范围是_______．【答案】
【解析】
的解集为
当时，的解集为
又此时若不等式组的解集中所含整数解只有
则，即
又当时，的解集为，不满足要求
当时，的解集为，不满足要求综上的取值范围为，故答案为．。