基本不等式专题 一、知识点总结1、基本不等式原始形式（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ （2）若R b a ∈,，则222b a ab +≤2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+3、基本不等式的两个重要变形（1）若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2（2）若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；5、常用结论（1）若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）（2）若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”）（3）若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）（4）若R b a ∈,，则2)2(222b a b a ab +≤+≤ （5）若*,R b a ∈，则2211122b a b a ab ba +≤+≤≤+ （6），、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；（7）)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.（1）若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++（3）设1212,,,,,,n n a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数，则有22212(n a a a ++⋅⋅⋅+)22212)n b b b ++⋅⋅⋅+(21122()n n a b a b a b ≥++⋅⋅⋅+ 注意：1．在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．2．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤a 2＋b 22；a ＋b 2≥ab (a ，b >0)逆用就是ab ≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+22b a (a ，b >0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等，使其满足重要不等式中“正”“定”“等”的条件．3．对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y ＝x ＋m x(m >0)的单调性．4．连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．三、用均值不等式求最值的常见的技巧1、 添、减项（配常数项） 例1 求函数的最小值.分析：是二项“和”的形式，但其“积”的形式不为定值.而可与相约，即其积为定积1，因此可以先添、减项6，即，再用均值不等式.221632y x x =++221632x x ++212x +22x +22163662y x x =++-+当且仅当，即时,等号成立. 所以的最小值是.评注： 为了创造条件利用均值不等式，添项是常用的一种变形技巧;为了保证式子的值不变，添项后一定要再减去同一项. 2、 配系数（乘、除项）例2 已知，且满足，求的最大值. 分析 , 是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式是否定值， 而已知是与的和为定值，故应先配系数，即将变形为，再用均值不等式.当且仅当，即时，等号成立. 所以的最大值是. 评注： 本题是已知和为定值，要求积的最大值，可逆用均值不等式，即利用来解决. 3、 裂项例3 已知，求函数的最小值.分析 在分子的各因式中分别凑出，借助于裂项解决问题.222221620,32163(2)6266x y x x x x +>=++=++-+≥=解：22163(2)2x x +=+223x =-y 6-0,0x y >>3212x y +=lg lg x y +lg lg lg()x y xy +=xy x y+3x 2y 12xy 326x y⋅220,032lg lg lg()lg6132112lg lg 6262lg 6x y x y x y xy x y >>⋅+==⎡⎤⎡⎤+⎛⎫⎛⎫≤=⎢⎥⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=解：32x y =2,3x y ==lg lg x y +lg 622a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭1x >-()()521x x y x ++=+1x +当且仅当，即时，取等号. 所以.4、 取倒数例4 已知，求函数的最小值.分析 分母是与的积，可通过配系数，使它们的和为定值；也可通过配系数，使它们的和为 (这是解本题时真正需要的).于是通过取倒数即可解决问题. 解 由，得，.取倒数，得当且仅当，即时，取等号. 故的最小值是. 5、 平方例5 已知且求的最大值.分析 条件式中的与都是平方式，而所求式中的是一次式，是平方式但带根号.初看似乎无从下手，但若把所求式平方，则解题思路豁然开朗，即可利用均值不等式来解决.()()141110,14(1)5519x x x y x x x ++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+>=+=+++≥+=解：411x x +=+1x =min 9y =102x <<2(1)(12)x y x x +=-x (12)x -(1)x +102x <<10x +>120x ->221(12)1312(1)31131211113212x x x x y x x xx x x x --==⋅⋅+++-⎡⎤+⎢⎥++≤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦31211x x x x -=++15x =y 120,0x y >>22283y x +=x y xy当且仅当，即，时，等号成立. 故评注：本题也可将纳入根号内，即将所求式化为，先配系数，再运用均值不等式的变式.6、换元（整体思想，换元）例6 求函数的最大值.分析，进行换元，再使分子常数化，然后运用均值不等式来解决.7、逆用条件例7 已知,则的最小值是（ ） . 分析直接利用均值不等式，只能求的最小值，而无法求的最小值.这时可逆用条件，即由，得，然后展开即可解决问题.222222222((62)32(1)32(1)9333()22y x y x y x =+=⋅+⎡⎤++⎢⎥≤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦解：222(1)3y x =+32x =2y =x y =t =22,0,2,(0)2100;101212=.3,24t t x t t y t t t y t y t t t t t x =≥=-=≥+==>=≤=+==-则当时，当时，当且仅当，即所以时191(0,0)x y x y +=>>x y +xy x y +191x y =+19()()x y x y x y +=++评注：若已知 (或其他定值)，要求的最大值，则同样可运用此法.8、 巧组合例8 若且,求的最小值 . 分析 初看，这是一个三元式的最值问题，无法利用+b 来解决.换个思路，可考虑将重新组合，变成，而等于定值，于是就可以利用均值不等式了.9. 消元例9、设为正实数，，则的最小值是.分析 本题也是三元式的最值问题.由题意得，则可对进行消元，用表示，即变为二元式，然后可利用均值不等式解决问题.0,0,1199()()1010169,4,12.16.x y x y y xx y x y x y x yy x x y x yx y >>+=+=++=++≥====+解：由，得当且仅当即时，等号成立故的最小值是0,0,x y >>1x y +=19x y +,,0a b c>()4a a b c bc +++=-2a b c ++a b +≥2a b c ++()()a b a c +++()()a b a c ++4-,,0,2()()2,,1.2 2.a b c a b c a b a c b c b c a a b c >++=+++≥======-++解：由知当且仅当即时，等号成立故的最小值为,,x y z 230x y z -+=2y xz 32x z y +=2y xz ,x z三．典型例题【题型一】利用拼凑法构造不等关系1、求几个正数和的最小值。

例1求函数21(1)2(1)y x x x =+>-的最小值。

解析：21(1)2(1)y x x x =+>-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-21111(1)222(1)x x x x --=+++>-1≥312≥+52=，当且仅当211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52。

评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。

通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。

2、求几个正数积的最大值。

例2、求下列函数的最大值：①23(32)(0)2y x x x =-<<②2sin cos (0)2y x x x π=<<解析： ①30,3202x x <<->∴，∴23(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=⋅⋅- 3(32)[]13x x x ++-≤=，当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大值是1。

②0,sin 0,cos 02x x x π<<>>∴，则0y >，欲求y 的最大值，可先求y 2的最大值。

242sin cos y x x =⋅222sin sin cos x x x =⋅⋅2221(sin sin 2cos )2x x x =⋅⋅22231sin sin 2cos 4()2327x x x ++≤⋅=,当且仅当22sin 2cos x x=(0)2x π<<tan x ⇒=x arc =时，不等式中的“=”号成立，故此函数最大值是9。

2222,0,,29666=3,443,,=33.x z y y x z xz xz xz xz xz xzyx z x y z y xz >=+++≥====解：由可得当且仅当即时，取“”.故的最小值为评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。

通常要通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。