数学试题卷(理科) 第1页（共4页）金丽衢十二校2015学年高三第二次联考数学试卷(理科)命题人：高雄略 王飞龙 审题人：卢 萍 郑惠群本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.考试时间120分钟. 试卷总分为150分.请考生将所有试题的答案涂、写在答题纸上.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．平行直线l 1：3x +4y -12=0与l 2：6x +8y -15=0之间的距离为( ▲ )A ．310B ．910C ．35D ．952．命题“∃α∈[0, +∞），sin α>α”的否定形式是( ▲ )A ．∀α∈[0, +∞），sin α≤αB ．∃α∈[0, +∞），sin α≤αC ．∀α∈(-∞,0），sin α≤αD ．∃α∈(-∞,0），sin α>α3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积等于( ▲ ) cm 3 A ．4+23πB ．4+32πC ．6+23πD ．6+32π4．若直线l 交抛物线C ：y 2=2px (p>0)于两不同点A ，B ，且|AB |=3p ，则线段AB 中点M 到y 轴距离的最小值为( ▲ ) A ．p2B ． pC ．3p 2D ．2p5．已知φ是实数，f (x )=cos x ﹒cos(x +π3)，则(第3题图)俯视图正视图侧视图数学试题卷(理科) 第1页（共4页）D AB CD 1 (第6题图)“φ=π3”是“函数f (x )向左平移φ个单位后关于y 轴对称”的( ▲ )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．如图，将四边形ABCD 中△ADC 沿着AC 翻折到AD 1C ，则翻折过程中线段DB 中点M 的轨迹是( ▲ )A ．椭圆的一段B ．抛物线的一段C ．一段圆弧D ．双曲线的一段7．已知双曲线C :2222x y ab-=1(a , b >0)虚轴上的端点B (0, b )，右焦点F ，若以B 为圆心的圆与C 的一条渐近线相切于点P ，且//， 则该双曲线的离心率为( ▲ ) A ．5B ．2C ．1+32D ．1+528．已知非零正实数x 1, x 2, x 3依次构成公差不为零的等差数列.设函数f (x )=x α，α∈{-1, 12, 2, 3}，并记M ={-1, 12, 2, 3}.下列说法正确的是( ▲ )A ．存在α∈M ，使得f (x 1) , f (x 2) , f (x 3)依次成等差数列B ．存在α∈M ，使得f (x 1), f (x 2), f (x 3)依次成等比数列C ．当α=2时，存在正数λ，使得f (x 1), f (x 2), f (x 3)- λ依次成等差数列D ．任意α∈M ，都存在正数λ>1，使得λf (x 1), f (x 2), f (x 3)依次成等比数列第Ⅱ卷二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．设集合A ={x ∈N |6x +1∈N }，B ={x |y =ln(x -1)}，则A = ▲ ，B = ▲ ，)(B C A R = ▲ .10．设函数f (x )=A sin(2x +φ)，其中角φ的终边经过点P (-1,1)，且0<φ<π，f (π2)= -2.则φ= ▲ ，A = ▲ ，f (x )在[-π2, π2]上的单调减区间为 ▲ ．11．设a >0且a ≠1，函数f (x )=⎩⎨⎧a x +1-2,x ≤0,g (x ), x >0为奇函数，则a = ▲ ，g (f (2))= ▲ ．12．如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =BC =CC 1=2，AC =23，M 是AC 的中点，则异面直线CB 1与C 1M 所成角的余弦值为 ▲ .13．设实数x ,y 满足x +y -xy ≥2，则|x -2y |的最小值为 ▲ .ACA 1M BB 1(第12题图)C 1数学试题卷(理科) 第1页（共4页）14．已知非零平面向量a , b , c 满足a ·c = b ·c=3，|a -b |=|c |=2，则向量a 在向量c 方向上的投影为 ▲ ，a ·b 的最小值为 ▲ .15．设f (x )=4x +1+a ·2x +b (a , b ∈R )，若对于∀x ∈[0,1]，| f (x )|≤12都成立，则=b ▲ .三、解答题：本大题共5小题，共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．(本小题15分)在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为a , b , c ，且2sin(A -B )=a sin A -b sin B , a ≠b ． (Ⅰ)求边c ；(Ⅱ)若△ABC 的面积为1，且tan C =2，求a +b 的值．17．(本小题15分) 在几何体ABCDE 中，矩形BCDE 的边CD =2，BC =AB =1，∠ABC =90°，直线EB ⊥平面ABC ，P 是线段AD 上的点，且AP =2PD ，M 为线段AC 的中点. (Ⅰ)证明：BM //平面ECP ； (Ⅱ)求二面角A -EC -P 的余弦值.18．(本小题14分)设函数f (x )=ax 2+b ，其中a , b 是实数.(Ⅰ)若ab >0，且函数f [f (x )]的最小值为2，求b 的取值范围；(Ⅱ)求实数a , b 满足的条件，使得对任意满足xy =1的实数x , y ，都有f (x )+f (y )≥f (x )f (y )成立.ABCDE PM(第17题图)19．(本小题15分)已知椭圆L:x2a2+y2b2=1(a>b>0)离心率为22，过点(1,22)，与x轴不重合的直线l过定点T(m,0)(m为大于a的常数)，且与椭圆L交于两点A, B(可以重合)，点C 为点A关于x轴的对称点.(Ⅰ)求椭圆L的方程；(Ⅱ)(ⅰ)求证：直线BC过定点M，并求出定点M的坐标；(ⅱ)求△OBC面积的最大值.20．(本小题15分)设数列{a n}满足：a1=2，a n+1=ca n+1a n(c为正实数,n∈N*)，记数列{a n}的前n项和为S n.(Ⅰ)证明：当c=2时，2n+1-2≤S n≤3n-1(n∈N*)；(Ⅱ)求实数c的取值范围，使得数列{a n}是单调递减数列.数学试题卷(理科) 第1页（共4页）数学试卷（理科）参考答案 第5页 （共5页）金丽衢十二校2015学年高三第二次联考数学试卷（理科）参考答案一、选择题.每小题5分，共40分.9. {}0,1,2,5, {}1x x >, {}0,1. 10. 3π4, π3π(,)88-. 11. 2, 22-2. 12. 28. 13. 22-1. 14. 32，54. 15. 172.三、解答题：本大题共5小题，共74分。

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16. 解：(Ⅰ)∵ 2sin()sin sin A B a A b B -=-，∴ 2sin cos 2cos sin sin sin A B A B a A b B -=-，由正弦定理有222cos 2cos a B b A a b -=-， ……………………4分由余弦定理有222222222222a c bb c a a b a b ac bc+-+-⨯-⨯=-， 即22222()a b a b c-=-， ∵ a ≠b ∴ 2c =. ……………………7分 (Ⅱ)∵sin tan 2cos CC C==，且22sincos 1C C +=， ∴ sin 5C =cos 5C =. ……………………9分 ∵ 11=sin 1225ABCSab C ab =⨯=，∴ ab =………………11分 由余弦定理有222224cos 22a b c a b C ab ab+-+-===，数学试卷（理科）参考答案 第5页 （共5页）∴ 226a b +=. ……………13分∴222()26a b a b ab +=++=+∴1a b +=. ……………15分17. 解：(Ⅰ)证：连接BD 、MD ，BD CE F =，MD CP N =，连接FN .矩形BCDE ，∴F 为BD 中点.EB ⊥平面ABC ，∴ D C ⊥平面ABC ，如图，在直角△ACD 中，取AP 中点Q ，连接QM ， ∵ M 是AC 的中点，∴QM//CP 又由AP=2PD ∴ QP=PD ∴DN=MN ∴FN //BM . 又∵ FN ⊆平面ECP ，而BN ⊄平面ECP ， ∴ BM //平面ECP ； ………………7分 (Ⅱ)如图，建立空间直角坐标系：以B 点为原点，BA 所在的直线为x 轴，BC 所在的直线为y 轴，BE 所在的直线为z 轴，则B (0,0,0), A (1,0,0), C (0,1,0), E (0,0,2), P (13,23,43).……………………9分 平面ACE 上，AC =(-1,1,0),AE =(-1,0,2);平面PCE 上，PC =(13-,13,43-),PE =(13-,23-,23).设平面ACE 的法向量为1n =(1x ,1y ,1z ), 平面PCE 法向量2n =(2x ,2y ,2z ),则有1111020x y x z -+=⎧⎨-+=⎩⇒111221x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，即1n =（2,2,1）； …………………………11分ACDPQMN数学试卷（理科）参考答案 第5页 （共5页）22222211403331220333x y z x y z ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩⇒222221x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩, 即2n =(-2,2 ,1). …………………………13分 ∴ cos<1n ,2n >=1212||||n n n n ⋅⨯=19.∴二面角A -EC -P 的余弦值为19. ……………………………15分18.解：(Ⅰ)由题， f [f (x )]=a 3x 4+2a 2bx 2+ab 2+b ，记t =x 2当ab >0时，二次函数b ab bt a t a y +++=22232的对称轴abt -=<0, …3分 显然当0<a 时，不符合题意，所以0,0>>b a ，所以当0=t 时，f [f (x )]取到最小值，即有22=+b ab ……………5分 从而 02>-=bbab ，解得20<<b ； ……………7分 (Ⅱ)∵ 1xy =，即1y x=，且()()()()f x f y f x f y +≥， ∴ ()()11f x f f x f x x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥， 即22222211()2()a x b ab x a b x x +++++≥. ……………9分 令221[2,)t x x=+∈+∞，则22(1)2a b t a b b -+-≥要恒成立， ……12分 需要(1)0a b -≥，此时(1)y a b t =-在[2,)+∞上是增函数， 所以222(1)2a b a b b -+-≥，即2()2()0a b a b +-+≤，⇒02a b +≤≤ 所以实数a ,b 满足的条件为(1)002a b a b -⎧⎨+⎩≥≤≤ ………………15分数学试卷（理科）参考答案 第5页 （共5页）19.解：(Ⅰ)由题，⎪⎩⎪⎨⎧=+=1211222b a b a ，解得⎩⎨⎧==1222b a ， ∴ 椭圆L 的方程为1222=+y x ； ……………………4分 (Ⅱ) (ⅰ)由对称性可知若直线BC 过定点，则定点必在x 轴上.设直线l 的方程为x =ty +m ，A (x 1,y 1)，B (x 2, y 2)，C (x 1,-y 1)代入1222=+y x ， 可得 022)2(222=-+++m tmy y t ……………①则 2212221228(2)02222t m tm y y t m y y t ⎧⎪∆=-+⎪-⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩≥…………………②…………7分 设直线BC 的方程为)(112121x x x x y y y y --+=+，令y =0，则mm y y y ty y y y x y x x 222121211221=++=++=所以直线BC 过定点M （m2,0）； ……………………11分 (ⅱ)记△OBC 的面积为S ，则S =||2||22||21|)(|||21212t t t tm m y y OM +=+=--⨯⨯由②可知，||t 2>m ), ……………………13分(1)若222>-m 即2>m 时，S max =222222-+-m m ；数学试卷（理科）参考答案 第5页 （共5页）(2)2m ≤时，S max =22. ……………………15分20.解：(Ⅰ)易得a n >0(n ∈N *)，由a n +1=ca n +1a n 得a n +1a n =2+1a n2>2，所以{a n }是递增数列，从而有a n ≥2，故a n +1a n ≤2+14<3, ………………………4分由此可得a n +1<3a n <32 a n -1<………<3n a 1=2﹒3n ，而a 1=2，所以S n ≤2(1+3+32+…+3n-1)=3n -1， …………………………7分 又有 a n +1>2a n >22 a n -1>………>2n a 1=2n +1， 所以 S n ≥2+22+…+2n =2n +1-2.所以，当c =2时，2n +1-2≤S n ≤3n -1(n ∈N *)成立； ……………………8分 (Ⅱ)由a 1=2可得a 2=2c +12<2，解得c <34， ……………………………10分若数列{a n }是单调递减数列，则a n +1a n = c +1a n 2<1，得a n >11-c ，记t =11-c ……①又a n +1-t =(a n -t )( c -1ta n )，因为a n -t (n ∈N *)均为正数，所以c - 1ta n >0,即a n >1tc…… ② 由(Ⅰ) a n >0(n ∈N *)及从c ，t >0可知a n +1-t <c (a n -t )<…<c n (a 1-t )= c n (2-t ) 进而可得 a n < c n -1(2-t )+t …………③由②③两式可得 对任意的自然数n ，1tc< c n -1(2-t )+t 恒成立.因为0<c <34，t <2，所以1tc < t ，即1c < t 2=11-c ，解得c >12. ……………………12分下面证明：当12<c <34时，数列{a n }是单调递减数列.由a n +1=ca n +1a n 及a n =c a n -1+1 a n -1(n ≥2)，两式相减得a n +1-a n = (a n -a n -1)( c - 1a n -1a n )由a n +1=ca n +1a n 有a n ≥2c 成立，则a n -1a n >4c>1c ,即 c > 1a n -1a n又当c <34时，a 2-a 1<0成立，所以对任意的自然数n ,a n +1-a n <0都成立. ……15分综上所述，实数c 的取值范围为12<c <34.。