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例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的 四边形必是平行四边形.
证 AM MC BM MD
D b
A
a C
M
B
AD AMMD MCBM BC
AD与 BC平行且相等, 结论得证.
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此定理是建立数轴的理论依据
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数轴：点、方向、单位长度
．1
Oi
点P 向量 OP = xi 实数 x
．x
Px
轴上点P的坐标为x的充分必要条件是 OP = xi .
另外 设 a 0表示与非 a 同 零 方 向 向 量 的单
按照向量与数的乘积的规定，
a|a|a0
|
a a
|
a0
.
上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一 个与原向量同方向的单位向量.
例3 用向量的方法证明梯形两腰中点的连线 平行于底边且等于两底边之和的一半
证 E E F D DF C
D
E C C DFE
F
E E F B BF
E A A B BF A
B
2 E A F C ( B E D E ) C ( D A B ) F F
AB //CD
0
0
A B CD E F 1(A B C) D 1(1)CD
当 b 与 a 反向 取 时 负 即 值 b 有 a ， .
的此 唯一b 与 性.时 设 a 同 b.且 a， 向 又 a b 设 a a ba， a
b.
两式相减，得 ()a 0 ， 即 a 0，
a0，故0，即.
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( a b )a b
两个向量的平行关系 定理 设向 a量 0，那么 b平 向行 量 a的 于充
分必要条件一 是的 ：实 ， 存数 使 b 在 a 唯 .
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证 充分性显然；
当 b 与 必要a 同 性 设 向 b取 ‖ a时 取正 值 ba , ，
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第一节 向量及其线性运算
一、向量概念
二、向量的线性运算
三、空间直角坐标系
四、利用坐标作向量的线性运算
五、向量的模、方向角、投影
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一、向量的概念
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向量：既有大小又有方向的量. 向量的大小：向量长度的值.
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三、空间直角坐标系高等数学b源自a|c ||a | c|b |
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向量的加法符合下列运算规律：
（1）交换律： a b b a .
（2）结合律： a b c ( a b ) c a (b c ).
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自由向量：不考虑起点位置的向量.
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相等向量：大小相等且方向相同的向量.
a
负向量：大小相等但方向相b反的向量.a
a
a
向径： 空间直角坐标系中任一点 M与原点 构成的向量.OM
向量平行： 两个非零向量的方向相同或者相反.
k个向量共面： k( 2)个有公共起点的向量的k
个终点和起点在一个平面上.
使 a b c b c a
a b c ( 1 ) c a b c ( 1 ) a
( 1 ) c ( 1 ) a 1 , 1
若不然 则 a //c 与题设矛盾 故 a b c 0
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例1 化简 a b 51b b 3a 2 5
解 a b 51b b 3a 2 5
(13)a 15 21 55 b
2a 5b. 2
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M2
向量的方向：箭头的方向.
向量表示：a或 M1M2
M 1
以 M1为起点， M 2为终点的有向线段.
向量的模： 向量的大小.| a|或 | M1M2|
单零位向向量量：：模模长长为为0的1的向向量量,其. 方a 0向或任M 意1.M020
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(2)0, a 0
(3)0, a 与 a 反 向 ， |a | | ||a |
a 2a 1 a 2
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数与向量的乘积符合下列运算规律：
（1）结合律： (a )(a )()a
（2）分配律： ( ) a a a
2
2
EF //CD
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例4 已知三个非零向量
a,b,c
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中任意两个向量
都不平行 但 a b 与 c 平 ,b c 与 行 a 平 试证 a b c 0
证 由题设 存在 0,0
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二、向量的线性运算
1. 向量的加减法
[1] 加法：a b c
b
c
（平行四边形法则）
a
ab a b
（平行四边形法则有时也称为三角形法则）
特殊地：若 a‖
a b
b
分为同c向和|c 反| 向|a | |b |
（3） a ( a )0 .
[2] 减法
a b a ( b ) ab b
b c
a
b
b a
ab
c
a
(b)
a
b
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2. 向量与数的乘法
设 是一个数，向量a与 的乘积a规定为
(1)0, a 与 a 同 向 ， |a | |a |