高中数学选修2-2综合测试题一一、选择题（共8题，每题5分）1、复数(2)z i i =+在复平面内的对应点在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 2、定积分1101dx x +⎰的值为（ ）A 、1B 、ln2 C、122- D 、11ln 222- 3、某班一天上午安排语、数、外、体四门课，其中体育课不能排在第一、第四节，则不同排法的种数为（ ）A 、24B 、22C 、20D 、12 4、已知14a b c =+==则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A 、a>b>cB 、c>a>bC 、c>b>aD 、b>c>a5、曲线32y x =-+上的任意一点P 处切线的斜率的取值范围是（ ）A、)+∞ B、()3+∞ C、()+∞ D、[)+∞ 6、已知数列{}n a 满足12a =，23a =，21||n n n a a a ++=-，则2009a ＝（ ）A 、1B 、2C 、3D 、0 7、函数()ln f x x x =的大致图像为（ ）8、ABCD-A 1B 1C 1D 1是单位正方体，黑白两只蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”.白蚂蚁爬行的路线是AA 1→A 1D 1，…，黑蚂蚁爬行的路线是AB →BB 1，…，它们都遵循如下规则：所爬行的第i +2段与第i 段所在直线必须是异面直线（i ∈N *），设黑白蚂蚁都爬完2007段后各自停止在正方体的某个顶点处，则此时黑白蚂蚁的距离是（ ）AB 、1C 、0 DCDA 1二、填空题（共6题，30分）9、已知2()ln(22)(0)f x x ax a a =-+->，若()f x 在[1)+∞，上是增函数，则a 的取值范围是 ．10、若复数1111i iz i i-+⋅=+-，则复数z= ___11、质点运动的速度2(183)m/s v t t =-，则质点由开始运动到停止运动所走过的路程是12、若a b ∈R ，，且22(i)(1i)32i a b +++=+，则ab的值等于．13、为如图所示的四块区域涂色，要求相邻区域不能同色，现有3种不同颜色可供选择，则共有_______种不同涂色方案（要求用具体数字作答）.14、若在区间[-1, 1]上，函数3()10f x x ax =-+≥恒成立，则a 的取值范围是_________________三、解答题（共6题，80分）15、已知复数22(815)(918)z m m m m i =-++-+在复平面内表示的点为A ，实数m 取什么值时， （1）z 为实数？z 为纯虚数？（2）A 位于第三象限？16、观察给出的下列各式：（1）tan10tan 20tan 20tan 60tan 60tan101++=o o o o o ogg g ； oooooo由以上两式成立，你能得到一个什么样的推广？证明你的结论．17、设2(0)()cos 1(0)x x f x x x ⎧=⎨->⎩ ≤，，试求π21()f x dx -⎰．18、如图，设铁路AB 长为80，BC ⊥AB ，且BC ＝10，为将货物从A 运往C ，现在AB 上距点B 为x 的点M 处修一公路至C ，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4. （1）将总运费y 表示为x 的函数； （2）如何选点M 才使总运费最小？A BC M19、已知函数）（）（023≠++=a cx bx ax x f 是定义在R 上的奇函数，且1-=x 时，函数取极值1．（1）求c b a ，，的值；（2）若对任意的[]1121，，-∈x x ，均有 12f x f x s -≤（）（）成立，求s 的最小值；20、已知等腰梯形OABC 的顶点A B ，在复平面上对应的复数分别为12i +、26i -+，且O 是坐标 原点，OA BC ∥．求顶点C 所对应的复数z ．21、已知各项为正的数列{}n a 的首项为12sin a θ=（θ为锐角）212n a +=，数列{}n b 满足12n n n b a +=.（1）求证：当x (0,)2π∈时，sin x x <；（2）求n a ，并证明：若4πθ=，则12n a a a π+++<L（3）是否存在最大正整数m ，使得sin n b m θ≥对任意正整数n 恒成立？若存在，求出m ；若不存在，请说明理由.高中数学选修2-2测试题一参考答案一、选择题（每题5分）1—5： B 、B 、D 、C 、D ； 6—8：A 、A 、C ； 二、填空题：9、12a <≤； 10、-1 ； 11、108m .； 12、2- 13、18； 14、[0,2； 三、解答题15、解：（1）当2918m m -+＝0即m ＝3或m ＝6时，z 为实数； …………………………3分 当28150m m -+=，29180m m -+≠即m ＝5时，z 为纯虚数.…………………………6分（2）当2281509180m m m m ⎧-+<⎨-+<⎩即3536m m <<⎧⎨<<⎩即3<m<5时，对应点在第三象限. ……………12分16、解：可以观察到：10206090++=oooo，5157090++=oooo， 故可以猜想此推广式为：若π2αβγ++=，且αβγ，，都不等于ππ()2k k +∈Z ，则有tan tan tan tan tan tan 1αββγγα++=g g g ．证明如下：由π2αβγ++=，得π2αβγ+=-， 所以πtan()tan cot 2αβγγ⎛⎫+=-=⎪⎝⎭， 又因为tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-，所以tan tan tan()(1tan tan )cot (1tan tan )αβαβαβγαβ+=+-=-， 所以tan tan tan tan tan tan tan tan tan (tan tan )αββγγααβγαβ++=++g g gtan tan tan cot (1tan tan )1αβγγαβ=+-=．17、解：ππ02211()()()f x dx f x dx f x dx --=+⎰⎰⎰π0221(cos 1)x dx x dx -=+-⎰⎰π20201(sin )3x x x -1=+-1π4π13232=+-=-．总运费为2(50)50)y x x =-+≤≤ …………………………… 6分（2）2(050)y x '=-+≤≤，令0y '=，解得1x=2x =……9分当0x ≤<时，0y '<，y ]；当50x ≥>时，0y '>，y Z故当x =y 取得最小值. ……………………………12分 即当在距离点BM 处修筑公路至C 时总运费最省. ……………………13分 19、解：(1)函数）（）（023≠++=a cx bx ax x f 是定义在R 上的奇函数,），（）（x f x f -=-∴即02=bx 对于R x ∈恒成立，0=∴b . cx ax x f +=3）（,c ax x f +='23）（Θ1-=x 时，函数取极值1. ∴103=--=+c a c a ，,解得:2321-==c a ， ．故1322，=0,a b c ==-……………………………………………6分(2)x x x f 23213-=）（,)1)(1(232323)(2+-=-='x x x x f ,()11，-∈x 时0<'）（x f ,[]1,1)(-∈∴x x f 在上是减函数, ……………8分故[]1,1)(-∈∴x x f 在上最小值为(1)f ＝－1，最大值为(1)1f -=,因此当[]1121，，-∈x x 时,12min ()()2Max f x f x f x f x -≤-=（）（）．…12分12min ()()Max f x f x s f x f x s -≤⇔-≤（）（），故s 的最小值为2 ………14分20、解：设i()z x y x y =+∈R ，．由OA BC ∥，OC AB =，得OA BC k k =，C B A z z z =-，即2612y x -⎧=⎪+=， OA BC ≠Q ，3x ∴=-，4y =舍去． 5z ∴=-． 21、解：（1）令()sin (0)2f x x x x π=-<<，则()cos 10(0)2f x x x π'=-<<<故()f x ]，（2212n a +=得10)n n a a +=>又12sin a θ=，∴22sin2a θ===，32sin4a θ===，猜想：12sin2n n a θ-= ………………………………5分下面用数学归纳法证明：①n ＝1时，12sin a θ=，成立， ②假设n ＝k 时命题成立，即12sin2k k a θ-=，则n ＝k ＋1时，1k a +===＝2sin2kθ，即n ＝k ＋1时命题成立.由①②知12sin 2n n a θ-=对n ∈N*成立.…………………………8分由（1）知122sin22n n n a θθ--=<，n ∈N*故121212[1()]124[1()]41222212n n n n a a a θθθθθθθ---+++<++++==-<-L L 因此4πθ=时，12n a a a π+++<L ………………………………11分（3）12122sin2n n n n n b a θ++-==，故112sin2sin1221sin 2sin cos cos 2222n nn nn n n nb b θθθθθθ+-===>，{}n b 为递增数列，因此要使sin n b m θ≥对任意正整数n 恒成立，只需1sin b m θ≥成立，而18sin b θ≥，因此8m ≤，故存在最大自然数m ＝8满足条件。

………………………… 14分另证：由于1sin b m θ≥，可得8m ≤，因此可猜想m 的最大值8m =，下面证明8sin n b θ≥，即证12sin2sin 2nn θθ-≥恒成立.①n ＝1时，12sin 2sin b θθ=≥，成立， ②假设n ＝k 时命题成立，即12sin2sin 2kk θθ-≥，则n ＝k ＋1时，112sincossin2sin 2222sin22sin22222coscos cos 222kk k k kkkkkkk ksin θθθθθθθθθθ-+===≥≥，nθ即8sin n b θ≥对n ∈N*成立，由8m ≤知正整数m 的最大值为8………………………14分。