c
d dt
xo (t)
?
kxo
(t )
?
fi (t)
此式为二阶常系 数线性微分方程。
系统的数学模型可用方块图表示：
方块图描述了系统 中信号转换、传递的 过程，给出了系统的 工作原理。
☆ 举例2：电网络系统
设输入端电压u i(t)为系统输入量。电容器 c两端电压uo(t)为系统输
出量。现研究输入电压 ui(t)和输出电压 uo(t)之间的关系。电路中的
电流i(t)为中间变量。
根据电压方程，可写出
Ri(t) ?
L
d dt
i (t )
?
ui (t)
?
uo (t)
1
? uo (t) ? C i(t)dt
消去中间变量i(t)，稍加整理，即得
LC
d2 dt 2
uo
(t )
?
RC
d dt
uo
(t )
?
uo (t)
?
ui (t)
上式为二阶常系数线性微分方程。该系统也可用方块图表示。
⑵ 同一数学模型可以描述物理性质完全不同的系统。 因此，从控制理论来说，可抛开系统的物理属性，用同 一方法进行普遍意义的分析研究，这就是 信息方法 ，从 信息在系统中传递、转换的方面来研究系统的功能。
☆ 小结：⑶⑷
⑶ 在通常情况下，元件或系统的微分方程的 阶次，等于元件或系统中所包含的独立储能元的 个数。惯性质量、弹性要素、电感和电容都是储 能元件。每当系统中增加一个储能元时，其内部 就增多一层能量交换，即增多一层信息的交换， 描述系统的微分方程将增高一阶。
☆ 举例1：机械平移动力学系统
三 举例
弹簧和质量在静止平衡
时的那一点为系统的平衡工 作点。这样的坐标系原点选 择消除了重力的影响。
设系统的输入量为外作 用力fi(t)，输出量为质量块 的位移xo(t)，现研究外力fi(t) 与位移xo(t)之间的关系。
在输入fi(t)力的作用下，质量块 m将有加速度，从而产 生速度和位移。质量块的速度、位移使阻尼器和弹簧产生 粘性阻尼力fc(t)和弹性力fk(t)。这两个力反作用于质量块， 影响输入fi(t) 的作用效果，从而使质量块的速度和位移发 生变化，产生动态过程。
可以预言，未来的“文盲”将不再是目不识丁的人，而 是一些没有学会学习方法、不会自己钻研问题和没有预见能 力、分析能力的人。
学习是基础，思考是关键，实践是根本。
武汉理工大学机电工程学院 黄安贻 huanganyi@
控制工程基础 ——数学模型
数学模型： 描述系统动态特性的数学表达式，称为系统的数学模型， 它揭示了系统结构及其参数与系统性能之间的内在关系。
控制工程基础
现代教育学家认为：在教学过程中， 占中心地位的应该 是“学”而不是教 ，主张在教师指导下，由学生自己去“发 现”规律、自己去“研究”问题。 教师的主要任务 在于启发 而不在于讲解，教方法、教思路比一般地教知识、教内容更 重要。 学生的主要任务 在于思考，而不是单纯的记忆，强调 理解比单纯记忆更重要。
☆ 机械平移动力学系统的模型
根据牛顿第二定律，应有
d2 f i (t) ? f c (t) ? f k (t) ? m dt xo (t)
由阻尼器、弹簧的特性，可写出
d f c (t) ? c dt xo (t)
fk (t) ? kxo (t)
消去中间变量，写成规范形式
m
d2 dt 2
xo
(t)
?
特征方程为
an?n
?
? a n?1 n?1
?
????
⑷ 描述系统运动的微分方程的系数都是系统 的结构参数及其组合，这就说明 系统的动态特性 是系统的固有特性，取决于系统结构及其参数。

五 系统运动微分方程的一般形式
设y(t)为系统输出，r(t)为系统输入，则有
.
an y (n) (t) ? an?1 y (n?1) (t) ? ???? a1 y(t ) ? a0 y(t)
四 小结
☆ 小结：⑴⑵
⑴ 物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型。 这样的系统称为 相似系统 。在相似系统的方程中，处于 相同位置的物理量称为 相似量 。从动态性能来看，在相 同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的 系统其输出响应相似，若方程系数等值则响应完全一样。 这样就可以用电系统来模拟其它系统，进行实验研究。 这就是控制理论中的 功能模拟方法 的基础。
作用：数学模型是设计和分析控制系统的依据。显然，建立正确、 合理的系统的数学模型是关键性的步骤。
数学模型可分为两大类：外部模型和内部模型。 外部模型也称为输入—输出模型。 它着眼于系统激励与响应的关系，并不涉及系统内部变量的情况。 因而，这种方法对于单输入、单输出系统较为方便。一般而言，描述 线性时不变系统的输入 —输出关系，对连续系统是用常系数线性微分 方程来描述，对离散系统是用常系数线性差分方程来描述。 内部模型也称为状态变量描述法。 它不仅可以给出系统的响应，还可提供系统内部各变量的情况，特 别适用于多输入、多输出系统。用这种方法建立的数学式为一阶微分 方程组形式，便于计算机求解。状态变量分析法还适用于时变系统和 非线性系统，已成为系统理论与现代控制工程的基础。 建模基本方法：解析法和实验法。
?
n ? m ? bm r (m) (t ) ? bm?1r (m?1) (t) ? ???? b1 r(t ) ? b0r(t)
ai (i ? 0,1,2,???, n) b j ( j ? 0,1,2,???, m) 是由系统结构和
参数决定的常数。齐次方程为
.
an y (n) (t) ? an?1 y (n?1) (t ) ? ???? a1 y(t) ? a0 y(t) ? 0
数学模型的形式
微分方程 L变换 （组） L反变换
传递函数 （阵）
s=jω
频率特性
时间响应
变量状态图
方框图， 信号流图
现代控制理论
Nyquist图， Bode图等
2.1系统运动微分方程的建立
一 依据： 反映系统内在运动规律的物理学定律和各专业理论
二 步骤：
（1）明确输入、输出；分析信号传递、变换过程； （2）从输入端开始，按信息传递、变换过程列写各 变量之间的数学关系式；注意：因果关系和负载效应； （3）如有必要，对非线性表达式进行线性化处理； （4）消去中间变量，得到输出——输入关系式； （5）整理成规范形式。