例说求函数的最大值和最小值的方法例1.设x 是正实数，求函数xx xy 32++=的最小值。

解：先估计y 的下界。

55)1(3)1(5)21(3)12(222≥+-+-=+-+++-=x x x x x x x y又当x =1时，y =5，所以y 的最小值为5。

说明 本题是利用“配方法”先求出y 的下界，然后再“举例”说明这个下界是可以限到的。

“举例”是必不可少的，否则就不一定对了。

例如，本题我们也可以这样估计：77)1(3)1(7)21(3)12(222-≥-++-=-++++-=x x x x x x x y但y 是取不到7的。

即7不能作为y 的最小值。

例 2. 求函数1223222++--=x x x x y 的最大值和最小值。

解 去分母、整理得：(2y 1)x 2+2(y +1)x +(y +3)=0.当21≠y 时，这是一个关于x 的二次方程，因为x 、y 均为实数，所以=[2(y +1)]24(2y 1)(y +3)0, y 2+3y -40,所以 4y 1又当31-=x 时，y =4;x =2时，y =1.所以y min =4，y max =1.说明 本题求是最值的方法叫做判别式法。

例3.求函数152++-=x x y ，x [0,1]的最大值解：设]2,1[1∈=+t t x ，则x =t 21y = 2(t 21)+5t = 2t 2+5t +1原函数当t =169,45=x 即时取最大值833例4求函数223,5212≤≤+--=x x xx y 的最小值和最大值解：令x 1=t (121≤≤t ) 则tt tty 4142+=+=y min =51,172max=y例 5.已知实数x ,y 满足1x 2+y 24,求f (x )=x 2+xy +y 2的最小值和最大值解：∵)(2122y xxy +≤∴6)(23),(2222≤+≤++=y x xy y xy x f又当2==y x 时f (x ,y )=6，故f (x ,y )max =6 又因为)(2122y xxy +-≥∴21)(21),(2222≥+≥++=y x xy y xy x f又当22,22-==y x 时f (x ,y )=21，故f (x ,y )min =21例6.求函数2224)1(5+++=x x x y 的最大值和最小值解：原函数即111)1(5222++-+=x xy令112+=x t (0<t 1) 则y =5t 2t +1 ∴当x =3时，函数有最小值2019，当x =0时，函数取最大值5例7.求函数|]211[1|)(+-=x x x f 的最大值 解：设α=+=+}211{,]211[x n x ，则 f (x )=|21|1|-=-αn x 由于 0<1,故f (x )21，又当x =122-k (k 为整数)时f (x )= 21, 故f (x )max =21例8.求函数113632424+-++--=x x x x x y 的最大值解：原函数即222222)1()0()2()3()(-+---+-=x x x x x f在直角坐标系中，设点P(x ,x 2),A(3,2),B(0,1)，则f (x )=|PA||PB||AB|=10又当6137+-=x 时，f (x )=10故f max (x ) = 10例9.设a 是实数,求二次函数y =x 24ax +5a 23a 的最小值m ，当0a 24a 210中变动时，求m 的最大值解：y =x 24ax +5a 23a =(x 2a )2+a 23a 由0a 24a 210解得：622-≤≤-a 或62+a 6 故当a =6时，m 取最大值18例10.已知函数f (x )=log 2(x +1)，并且当点(x ,y )在y =f (x )的图象上运动时，点)2,3(yx 在y =g (x )的图象上运动，求函数p (x )=g (x )f (x )的最大值。

解 因为点(x ,y )在y =f (x )的图象上，所以y =log 2(x +1)。

点)2,3(yx 在y =g (x )的图象上，所以)3(2x g y =故 )13(log 21)(),1log(21)3(2+=+=x x g x x g2222)1(13log 21)1(log )13(log 21)()()(++=+-+=-=x x x x x f x g x p令2)1(13++=x x u ，则8989)4311(213)1(2)1(2)1(3222≤+-+-=+++-=+-+=x x x x x u当4311=+x ，即31=x 时，89=u ，所以89max=u从而89log 21)(2max ==x p 。

例11.已知函数2622+++=x bx ax y 的最小值是2，最大值是6，求实数a 、b 的值。

解：将原函数去分母，并整理得(ay )x 2+bx +(62y )=0.若y =a ，即y 是常数，就不可能有最小值2和最大值6了，所以y a 。

于是=b 24(ay )(62y )0,所以y 2(a +3)y +3a 82b 0.由题设，y 的最小值为2，最大值为6，所以(y 2)(y -6)0, 即 y 28y +120.由(1)、(2)得⎪⎩⎪⎨⎧=-=+1283832b a a 解得：62,5±==b a例12.求函数48148)(22----=x x x x x f 的最小值和最大值。

解 先求定义域。

由⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥-048140822x x x x 最6x 8.]8,6[,686)6(8)(∈-+-=---=x x x x x x x x f当x [6,8]，且x 增加时，6-+x x 增大，而x -8减小，于是f (x )是随着x 的增加而减小，即f (x )在区间[6，8]上是减函数。

所以f max (x )=f (8)=0, f min (x )=f (6)=032例13.设x ,y ,z 是3个不全为零的实数，求2222zy z yzxy +++的最大值 分析：欲求2222zy z yzxy +++的最大值，只须找一个最小常数k ，使得xy +2yzk (x 2+y 2+z 2)∵ x 2+y 22αxy (1)y 2+z 22α-1yz∴ x 2+y 2+z 22αxy +2α-1yz令2α=α-1,则=51 解：∵yz z y xy y x 5454,52512222≥+≥+∴)2(52222yz xy z y x+≥++ 即252222≤+++zy x yzxy又当x =1,y =5，z =2时，上面不等号成立，从而2222zy z yzxy +++的最大值为25例14.设函数f :(0,1)R 定义为⎪⎩⎪⎨⎧<<==+=q p q p q px q p x xx f 0,1),(,1)(当是无理数时当求f (x )在区间)98,87(上的最大值解：(1)若x )98,87(且x 是无理数，则 f (x )=x <98 (2) 若x )98,87(且x 是有理数，设q p x =，其中(p ,q )=1,0<p <q ,由于91888781981789879887-⋅≤≤+⇒⎩⎨⎧≤+≥+⇒⎩⎨⎧<<<<q p q qp p q q p p q q p 所以63q +964q 8，∴q17 因此1716989898819181)()(≤+=+=+-≤+==q q q q q q p q p f x f1716)1715(=f∴f (x )在区间)98,87(上的最大值1716)1715(=f 作业：1.若3x 2+2y 2=2x ,求x 2+y 2的最大值2.设x ,y 是实数，且0622222=+--+-y x y xy x求u =x +y 的最小值3.已知x 1,x 2是方程x 2(k 2)x +k 2+3k +5=0 (k R)的两个实数根，求x 12+x 22的最大值和最小值4.求函数xx x x y 243222-++-=的最小值。