2
D1 P k 22 2 m2 k12 P2 1 D2 P2 k11 2

k 21 k11 m1
2

m k
1
21P 1
D
k 21
0
如果荷载频率θ与任一个自振频率 ω1、 ω2重合，则D0=0, 当D1、D2 不全为零时，则出现共振现象
5
例：质量集中在楼层上m1、m2 ，层间侧移刚度为k1、k2 解：荷载幅值：P1=P，P2=0，求刚度系数： k11=k1+k2 , k21=－k2 , k22=k2 , k12=－k2
两个主振型相互正交，因与质量有关，称为第一正交关系。 3
由功的互等定理：
2 2 (m112Y11 )Y12 (m212Y21 )Y22 (m12 Y12 )Y11 (m22 Y22 )Y21
m1Y11Y12 m2Y21Y22 0(15.51)
上式分别乘以ω12、ω22，则得：
如图示对称结构在对称荷载作用下。
k11 k22 , k12 k21
与ω2相应的振型是
Psinθt m l/3 l/3
Psinθt m l/3
Y12 k12 2 2 =－1 k 22 2 m k11 2 m k12 k 21 2 2 m Y22 k11
当θ=ω2 ，D0=0 ，也有： 对称体系在对称荷载作用下时， 只有当荷载频率与对称主振型的自 2 D1 P k 22 2 m2 k12 P2 振频率相等时才发生共振；当荷载 P k 22 2 m k12 P 0 1 频率与反对称主振型的自振频率相 2 D2 P2 k11 2 m1 k 21P 等时不会发生共振。同理可知：对 P k11 2 m k 21P 0 1 称体系在反对称荷载作用下时，只 有当荷载频率与反对称主振型的自 D1 D2 不会趋于无穷大，不发生共振， Y1 , Y2 振频率相等时才发生共振。 D0 D0 共振区只有一个。
各个主振型能单独存在，而不相互干扰。
4
m1 y1 k11 y1 k12 y2 P1 (t ) 0 .. m2 y2 k 21 y1 k 22 y2 P2 (t ) 0
§15-5 ..
两个自由度体系在简谐荷载下的受迫振动
如 P (t ) P sint 1 1 P2 (t ) P2 sint y1 (t ) Y1 sint y2 (t ) Y2 sint
1 m k 2
层间动剪力:
Q1 1
2m
k
( 1 2 )
Q1 P 2 m(Y1 Y2 ) 2m P(1 ( 1 2 )) k
由此可见，在多自由度体系中，没有一个统一的动力系数。
9
例15-9：质量集中在楼层上m1、m2 ，层间侧移刚度为k1、k2 k11=k1+k2 , k21=－k2 , k22=k2 , k12=－k2 m2
(m112Y11 )Y12 (m212Y21 )Y22 0
2 2 (m12 Y12 )Y11 (m22 Y22 )Y21 0
第一主振型惯性力在第二主振型位移上所做的功等于零；
第二主振型惯性力在第一主振型位移上所做的功等于零； 某一主振型的惯性力在其它主振型位移上不做功，其能量 不会转移到其它主振型上，不会引起其它主振型的振动；
Pk 11 D D1 P(k 2 m22) k12 P2 2 P2 (k2 m1 ) k 21P1 1 22 m Y2 Y1 D0 D0 D0 D0 D0 D0
22
2
m2


Psint
m1
k2
D0 k1 k 2 m1 k 2
2


11
近似法求自振频率 1、能量法求第一频率——Rayleigh法
根据能量守恒定律，当不考虑阻尼自由振动时，振动体系在任何时刻的动 能T 和应变能U 之和应等于常数。 ※根据简谐振动的特点可知：在体系通过静力平衡位置的瞬间，速度最大（动 能具有最大值），动位移为零（应变能为零）；当体系达到最大振幅的瞬间
※假设位移幅值函数Y(x)必须注意以下几点：
1、必须满足运动边界条件：
（铰支端：Y=0；固定端：Y=0，Y´=0） 尽量满足弯矩边界条件，以减小误差。剪力边界条件可不计。 2、所设位移幅值函数应与实际振型形状大致接近；如正好与第 n 主振 型相似，则可求的ωn的准确解。但主振型通常是未知的，只能假定一近
§15-4
一、刚度法
两自由度体系的自由振动
k12 ( k22 2m2 ) 0
特征方程
频率方程
D
( k11 2 m1 ) k21
(k11 2m1 )( k22 2m2 ) k12k21 0
1 k11 k22 k11k22 k12k21 1 k11 k22 m m 2 m m 2 1 m1m2 2 2 1
P1(t)
y2(t)
在平稳阶段，各质点也作简谐振动：
(k11 2 m1 )Y1 k12Y2 P 1 k 21Y1 (k 22 2 m2 )Y2 P2
D0 k11 m1
2
P2(t) y1(t)
Y1=D1/D0 Y2=D2/D0
k12 k 22 2 m2 k12 k 22 m2
§15-9
（变形能最大），速度为零（动能为零）。对这两个特定时刻，根据能量守恒
定律得：
Umax=Tmax
位移幅值
ω
. v ax ，Tmax
设： y( x, t ) Y ( x) sin(t ) l l l 1 1 2 2 1 2 Tmax m ( xv dx )Y 2 ( x)dx 2 (t ) m ( x)Y 2 ( x)dx ) m ( x cos ※求频率 2 02 2 0 0 l 2 EI[Y ( x)]2 dx l 2 0 l 1 1 l EI[ ( xy 2 dx 1 22 UU EI )] dx sin (lt ) EI[Y ( x )]2 dx Y max 2 x 2 20 2 0 m[Y ( )] dx miYi 2 0 x 2 0 12 如梁上还有集中质量mi， Yi为集中质量mi处的位移幅值。
2
2 m2 k 2

k1
当m1=m2=m，k1=k2=k
2 2 2 2 Pk12 P22 k11 2 m1 k 21P2 3k 2 2 k 2 2 2 D k 22P1 m m2 m2 Dk P 1k k 22 k12 P2 2 P 1 D0 2k2 44 m k m ) k m ( 1 Y1 Y2 2 m D m D0 D0 D0 D0 D00 D0 2 24 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 m k 2 Y1 2 D1 P k 22 m2 1 k12 P2 2 1 1 2 1 k11 2 2 m1 2 3 k k212 2 2 D0 (1 2 )(1 22 ) 2 P 1 2 2 2 2 2P 2 D2 2 2kk112 m1 k 21P k 21 1 m22 2m2 k k m (1 )(1 1 ) 2
1
21m1
0
2
令
1
2
2 ( 11m1 22m2 ) ( 11 22m1m2 12 21m1m2 ) 0
1 1 ( 11m1 22m2 ) ( 11m1 22m2 ) 2 4( 11 22 12 21 )m1m2 2 2
g 9.81 31.3 1 s 解：1） st 0.01
Psinθt k2 m2
2n 2 300 31.4 1 s 60 60
频率比在共振区之内应设置吸振器。
P 2）由 k 2 弹簧刚度系数为： Y2 1000 k2 110 5 N/m 0.01 k 2 110 5 =102 kg m2 2 2 31.4



m 3km k
22 11

Y2 2 2 k 1 1 2 2 2 m )(1 2 ) P (1 2 2 2 k 1
2 (1 )(1 m 1
m
2
2 m (( )( )) 2 ) ( m
2 2 22
)
6
1 m k 2 Y1 1 2 )(1 2 ) P (1 2 2 2 k 1
Y1
3.0 P 2.0 0.618 1.618 1.0 0 -1.0 -2.0 -3.0
k
Y2 1 2 2 2 P (1 2 )(1 2 ) k 1 2


1
主振型
1
Y11 12m2 1 Y21 11m1 2
1
2
1
1
Y12 12m2 1 Y22 11m1 2
2
2
2
三、主振型及主振型的正交性
12m1Y11 12 m2Y21
m1
2 2 m1Y12
m2 Y21
m1 Y12
Y22 m2
2 2 m2Y22
可以消除m1的振动（动力吸振器原理）。 设计吸振器时，先根据m2的许可振幅Y2，选定
Psint
m2 k2
m1
k1
P k2 Y2
，再确定 m2
2
10
k2
吸振器不能盲目设置，必须在干扰力使体系产生较大振动时才有必要设置。
例：如图示梁中点放一电动机。重2500N，电动机使梁中点产生 的静位移为1cm，转速为300r/min，产生的动荷载幅值P=1kN， 问：1）应加动力吸振器吗？2）设计吸振器。(许可位移为1cm)