切向无外力，故切向加速度为0
( ) Rθ cosϕ + Rθ 2 sinϕ + r θ +ϕ = 0
cosϕ ≈ 1,sinϕ ≈ ϕ,θ ≈ ω
ϕ
+
R r
ω 2ϕ
=
R+ r
r
θ0ω 2
sin ωt
单摆运动方程
16
机械与运载工程学院
单摆运动方程 单摆固有频率
ϕ
+
R r
ω 2ϕ
=
R+ r
r
θ0ω 2
sin ωt
x2
无阻尼动力吸振器系统
m2
m1、 k1：主系统的质量和弹簧刚度
k2 x1
m1 上作用有简谐激振力
F1 sin ωt
m1
阻尼动力吸振器：
k1
质量 m2 弹簧 k2
4
无阻尼动力吸振器
机械与运载工程学院
左图：一阶模态响应；中间：动力吸振器；右图：二阶模态响应 5
机械与运载工程学院
⎡ ⎢⎣
X1 X2
⎤ ⎥⎦
⎡X1 ⎤
⎢ ⎣
X
2
⎥ ⎦
=
F1 Δ
⎡⎢k2 ⎣
− m2ω k2
2
⎤ ⎥ ⎦
X 0 = F1 / k1
X1 =
1− Ω2
X 0 Ω4 − (2 + μ)Ω2 +1
X2 =
1
X0 Ω4 − (2 + μ)Ω2 +1
7
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4 X1 / X0
2
X2 / X0
μ = 0.3 X1 =
1− Ω2
反共振
m2 k2
吸振器参数 k2、m2 一般选为：
F1 sin ωt
m1
k2 = m2 = μ 使吸振器的固有频率和
k1 m1
主系统的固有频率相等
k1
记： ωn = k1 / m1 = k2 / m2
Ω = ω / ωn
x2 x1
则 Δ 可写为：Δ = k1k2[Ω4 − (2 + μ)Ω2 +1]
X
=
⎡ ⎢ ⎣
X1 X2
⎤ ⎥ ⎦
F1 sin ωt
⎡ ⎢ ⎣
X1 X2
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡ ⎢
k1
⎣
+
k2 − m1ω −k2
2
k2
−k2 − m2ω
2
⎤ −1 ⎥ ⎦
⎡ F1 ⎢⎣ 0
⎤ ⎥⎦
有没有可能m1的振幅为零？
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m2 k2
m1
x2 x1
k1
2
机械与运载工程学院
⎡ ⎢ ⎣
X1 X2
2
0
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Ω
1.1
1.2
1.3
当 ξ = 0.10 和 ξ = 0.32时，可见当 Ω = 1时，主系统振幅并不为零，但是和 无阻尼系统的两个共振振幅相比，共振振幅明显下降。
当 ξ = ∞时，系统变成单自由度系统，共振点 Ω = 0.976 。 Ω ≠ 1
11
机械与运载工程学院
例：一无阻尼单自由度系统在频率为100Hz的简谐激励力作用下
发生激烈的共振现象。为解决该问题，在系统上附加一吸振器，
构成的二自由度系统的两个固频为80Hz，125Hz。工程要求激频 在60~120Hz范围内系统不发生共振，试重新设计该吸振器。
x2
ωn
m2
ω1
ω2
k2 x1
F1 sin ωt
m1
k1
12
2
机械与运载工程学院
解： 由 Ω12 + Ω22 = 2 + μ 可知μ = 0.2025
0
X 0 Ω4 − (2 + μ)Ω2 +1
-2
X2 =
1
X0 Ω4 − (2 + μ)Ω2 +1
-4
-6
0
1
2
共振点 反共振点 共振点
Ω1 = 0.762 Ω = 1 Ω2 = 1.311
3
Ω
虽然 ω = k1 = k2 出现反共振，但在反共振点的两旁存在两个共振点。
m1
m2
为允许激励频率 ω 在 Ω = 1 附近有一定范围的变化，Ω1, Ω2应当相距远些。
r
当 ω = ωn = ω
R 时，系统的微幅扭振消失。 r
通常扭振频率为圆盘角速度的n倍，故设计时取 n =
R。 r
由于单摆摆动频率随转速自动变化，故对任意转速，总能消 除圆盘的扭振。
18
3
60
ka
=
F1 X2
= 117.7 = 117.7 kN 0.001
m
ma
=
ka ω2
= 117.7 ×103 1522
= 5.1 kg
14
离心摆式吸振器
机械与运载工程学院
内燃机、航空发动机的转子转动时会引起轴的扭振，为减小这 种振动一般采用离心摆式吸振器。
半径为R圆盘以角速度 ω 转动
同时，圆盘作微扭振 θ0 sin ωt
1. 令系统低阶固频为60Hz. 2. 计算系统高阶固频
Ω12Ω22 = 1 ⇒ Ω2 = 1.6667
⇒ ω2 =Ω2ωn = 166.7Hz
3. 计算 μ′
Ω12
+
Ω
2 2
=
2
+
μ′
⇒ μ′ = 1.1378
ωn ω1
n = μ ′ = 1.1378 = 5.6 μ 0.2025
因此，需要将吸振器的质量和刚度均设置为原来的5.6倍。
ωn = ω
R r
强迫振动响应
ϕ = ϕ0 sin ωt
ϕ0
=
R+r rωn2
ω
2θ0
i 1
−
⎛ ⎜ ⎝
1
ω ωn
⎞2 ⎟ ⎠
=
(R + r)ω2
Rω2 − rω2
θ0
振幅比
θ0 ϕ0
=
Rω2 −ω2 r
(R + r) ω2
r
17
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振幅比
θ0 ϕ0
=
Rω2 −ω2 r
(R + r) ω2
⎤ ⎥⎦
⎡ ⎢ ⎣
x1 x2
⎤ ⎥ ⎦
+
⎡ ⎢ ⎣
k1 + k2 −k2
−k2 k2
⎤ ⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎣
x1 x2
⎤ ⎥ ⎦=Βιβλιοθήκη ⎡ ⎢⎣F1sin 0
ωt
⎤ ⎥⎦
10
机械与运载工程学院
16
取： 14
μ= 1
12
20
10
α = 1 X1 8
δ st
6
4
ξ =0 ξ =∞ ξ = 0.1 ξ = 0.32
⎤ ⎥ ⎦
=
⎢⎡k1 ⎣
+
k2 − m1ω −k2
2
k2
−k2 − m2ω
2
⎤ ⎥ ⎦
−1
⎡F1 ⎤ ⎢⎣ 0 ⎥⎦
=
F1 Δ
⎡ ⎢
k2
⎣
− m2ω 2 k2
⎤ ⎥ ⎦
Δ ：系统的特征多项式
x2
Δ = (k1 + k2 − m1ω 2 )(k2 − m2ω 2 ) − k22
m2
= m1m2ω 4 − (k1m2 + k2m1 + k2m2 )ω 2 + k1k2
=
⎡ ⎢
k1
⎣
+
k2 − m1ω −k2
2
k2
−k2 − m2ω 2
⎤ −1 ⎥ ⎦
⎡ F1 ⎢⎣ 0
⎤ ⎥⎦
=
F1 Δ
⎡⎢k2 ⎣
− m2ω k2
2
⎤ ⎥ ⎦
Δ = m1m2ω 4 − (k1m2 + k2m1 + k2m2 )ω 2 + k1k2
当 ω = k2 时 m2
X1 = 0
X2
=
−
F1 k2
ω2
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机械与运载工程学院
例：装在梁上的转动机器，由于转子的不平衡，在1450转/分时，
发生剧烈的上下振动。建议在梁上安装动力吸振器，试求吸振器 的弹簧刚度ka与质量ma 。已知不平衡力的最大值 为117.7N，并要 求吸振器质量的振幅不超过0.1厘米。
解： ω = 1450 × 2π = 152 rad s
离心摆长r，单摆绕悬点O’自由 摆动
15
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圆盘-单摆系统有两个自由度。
圆盘转动的转角为 θ = ωt +θ0 sin ωt 圆盘转动角速度为 θ = ω +θ0ω cosωt
摆锤P的法向和切向加速度为
( ) apN = −Rθ sinϕ+Rθ 2 cosϕ+r θ + ϕ 2
( ) apT = Rθ cosϕ + Rθ 2 sinϕ + r θ + ϕ
k2、m2 变大 动力吸振器变得笨拙
k2 = m2 = μ k1 m1
Ω2 1,2
=1+
μ 2
∓
μ + μ2 49
有阻尼动力吸振器 系统的强迫振动方程：
机械与运载工程学院 x2
m2
k2
c
x1
F1 sin ωt
m1
k1
⎡ m1 ⎢⎣0