考点四十 圆的方程知识梳理1．圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．确定一个圆最基本的要素是圆心和半径．2. 圆的标准方程(1) 以(a ，b )为圆心，r (r >0)为半径的圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2． (2) 特殊的，以(0，0)为圆心，r (r >0)为半径的圆的标准方程为x 2＋y 2＝r 2． 3. 圆的一般方程方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0可变形为⎝⎛⎭⎫x ＋D 22＋⎝⎛⎭⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F4. (1) 当D 2＋E 2－4F >0时，方程表示以⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F 2为半径的圆；(2) 当D 2＋E 2－4F ＝0时，该方程表示一个点⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2； (3) 当D 2＋E 2－4F ＜0时，该方程不表示任何图形． 4. 点与圆的位置关系点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)点在圆上：(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2； (2)点在圆外：(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2； (3)点在圆内：(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2. 5. 解决与圆有关的最值问题的常用方法(1) 形如μ＝y －bx －a 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2) 形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3) 形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．典例剖析题型一 求圆的方程例1 若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为 ． 答案 (x －2)2＋(y ±3)2＝4解析 因为圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x ＝2上，又圆与y 轴相切，所以半径r ＝2，设圆心坐标为(2，b )，则(1－2)2＋b 2＝4，b 2＝3，b ＝±3．变式训练 (1)圆心在y 轴上且经过点(3，1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是 ．(2) 已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为______________． 答案 (1) x 2＋y 2－10y ＝0 (2) (x －2)2＋y 2＝10解析 (1)设圆心为(0，b )，半径为r ，则r ＝|b |，∴圆的方程为x 2＋(y －b )2＝b 2. ∵点(3，1)在圆上，∴9＋(1－b )2＝b 2，解得：b ＝5. ∴圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.(2) 设圆心坐标为(a,0)，易知(a －5)2＋(－1)2＝(a －1)2＋(－3)2， 解得a ＝2，∴圆心为(2,0)，半径为10， ∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.解题要点 求圆的方程一般用待定系数法，根据题意，可以选择标准方程或一般方程求解． 题型二 点与圆的位置关系例2 已知圆的方程是(x －2)2＋(y －3)2＝4，则点P (3，2)满足 ． 答案 在圆内解析 因为(3－2)2＋(2－3)2＝2<4，故点P (3，2)在圆内．变式训练 点P (1，－2)和圆C ：x 2＋y 2＋m 2x ＋y ＋m 2＝0的位置关系是________. 答案 在圆C 外部解析 将点P (1，－2)代入圆的方程，得1＋4＋m 2－2＋m 2＝2m 2＋3>0， ∴点P 在圆C 外部．题型三 二次方程表示圆的条件例3 方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件的是 ． 答案 m <14或m >1解析 由(4m )2＋4－4×5m >0，得m <14或m >1.变式训练 方程2x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋10＝0表示的图形是 ． 答案 一个点解析 方程2x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋10＝0，可化为x 2＋y 2－2x ＋4y ＋5＝0， 即(x －1)2＋(y ＋2)2＝0，∴方程2x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋10＝0表示点(1，－2)．解题要点 1.方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件是D 2＋E 2－4F ＞0． 2.二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件：⎩⎪⎨⎪⎧B ＝0，A ＝C ≠0，D 2＋E 2－4AF >0.，即方程中不含xy 项， x 2，y 2前系数相同，且D 2＋E 2－4AF ＞0． 题型四 与圆有关的最值问题例4 已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求： (1)yx 的最大值和最小值； (2)y －x 的最小值；(3)x 2＋y 2的最大值和最小值．解析 (1)如图，方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆．设yx＝k ，即y ＝kx ， 则圆心(2,0)到直线y ＝kx 的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值． 由|2k －0|k 2＋1＝3，解得k 2＝3，∴k max ＝3，k min ＝－ 3.(也可由平面几何知识，得OC ＝2，CP ＝3，∠POC ＝60°，直线OP 的倾斜角为60°，直线OP ′的倾斜角为120°)(2)设y －x ＝b ，则y ＝x ＋b ，仅当直线y ＝x ＋b 与圆切于第四象限时，截距b 取最小值，由点到直线的距离公式，得|2－0＋b |2＝3，即b ＝－2±6，故(y －x )min ＝－2－ 6.(3)x 2＋y 2是圆上点与原点的距离的平方，故连接OC ，与圆交于B 点，并延长交圆于C ′，则 (x 2＋y 2)max ＝|OC ′|2＝(2＋3)2＝7＋43， (x 2＋y 2)min ＝|OB |2＝(2－3)2＝7－4 3.解题要点 (1)与圆相关的最值，若几何意义明显时，可充分利用几何性质，借助几何直观求解．否则可转化为函数求最值．(2)①形如u ＝y －bx －a 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．当堂练习1．圆心在直线2x－3y－1＝0上的圆与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，则圆的方程为．答案(x－2)2＋(y－1)2＝2解析所求圆与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，故线段AB的垂直平分线x＝2过所求圆的圆心，又所求圆的圆心在直线2x－3y－1＝0上，所以两直线的交点坐标即为所求圆的圆心坐标，解之得圆心坐标为(2，1)，进一步可求得半径为，所以圆的标准方程为(x－2)2＋(y －1)2＝2．2．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为．答案(x－2)2＋(y＋2)2＝1解析圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(－1，1)．圆C2的圆心设为(a，b)，C1与C2关于直线x－y－1＝0对称，∴解得圆C2的半径为1，∴圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1.3. 圆的圆心和半径分别．答案解析将圆配方得：，故知圆心为(2，－1)，半径为.4．若坐标原点在圆(x－m)2+(y+m)2=4的内部，则实数m的取值范围是．答案－解析∵原点O在圆(x－m)2+(y+m)2=4的内部，∴(0－m)2+(0+m)2＜4，得2m2＜4，解得－＜m＜,即实数m的取值范围为：－＜m＜．5．方程x2+y2－x+y+m=0表示一个圆，则m的取值范围是．答案m＜解析∵方程x2+y2－x+y+m=0即表示一个圆，∴－m＞0，解得m＜．课后作业一、填空题1．以点A(－5，4)为圆心且与x轴相切的圆的标准方程是．答案(x+5)2+(y－4)2=16解析∵所求的圆以点A(－5，4)为圆心，且与x轴相切，∴所求圆的半径R=4，∴圆的标准方程为(x+5)2+(y－4)2=16．2．若一圆的标准方程为，则此圆的的圆心和半径分别为．答案解析圆的标准方程为，表示圆心为，半径为的圆．3．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是．答案(x－2)2＋(y－1)2＝1解析设圆心坐标为(a，b)，由题意知a>0，且b＝1.又∵圆和直线4x－3y＝0相切，∴＝1，即|4a－3|＝5，∵a>0，∴a＝2.所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.4．点(2a，a－1)在圆x2+y2－2y－4=0的内部，则a的取值范围是．答案－＜a＜1解析由题意，4a2+(a－1)2－2(a－1)－4＜0，即5a2－4a－1＜0,解之得：－＜a＜1．5．圆的圆心坐标是．答案(2，－3)解析将方程化为圆的标准方程得，所以圆心是(2，－3).6．圆x2+y2=16上的点到直线x－y=3的距离的最大值为．答案4+解析圆心即原点到直线的距离，所以直线与圆相交，则圆上的点到直线的最大距离为.7．若方程x2+y2－x－2y+c=0(c∈R)是一个圆的一般方程，则c的范围是．答案c＜解析化为标准方程为：，由题意得，，∴．8．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是．答案(x－2)2＋(y－1)2＝1解析由已知设所求圆的圆心坐标为：C(a，b)(a>0且b>0)，由已知有：，所以所求圆的方程为：(x－2)2＋(y－1)2＝1．9．圆的方程过点和原点，则圆的方程为．答案解析设圆的一般方程为，将三点代入得：，解得，所以圆的方程为.10．方程x2＋y2－6x＝0表示的圆的圆心坐标是________；半径是__________．答案(3，0)，3解析(x－3)2＋y2＝9，圆心坐标为(3，0)，半径为3.11．从直线x－y＋3＝0上的点向圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0引切线，则切线长的最小值为答案解析把圆的方程化为标准式后，找出圆心坐标和圆的半径，利用图形可知，当圆心A与直线x－y＋3＝0垂直时，过垂足作圆的切线，切线长最短，连接AB，根据圆的切线垂直于过切点的直径可得三角形ABC为直角三角形，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线x －y＋3＝0的距离即为|AC|的长，然后根据半径和|AC|的长，利用勾股定理即可求出此时的切线长．由于圆心(2，2)，半径为1，那么可知圆心到直线的距离为，那么利用勾股定理可知切线长的最小值为二、解答题12．求下列各圆的标准方程：(1)圆心在y=－x上且过两点(2，0)，(0，－4)(2)圆心在直线2x+y=0上，且与直线x+y－1=0切于点(2，－1)解析(1)设圆心坐标为()，则所求圆的方程为，∵圆心在上，∴，①又∵圆过(2，0)，(0，－4)∴，②，③由①②③联立方程组，可得.∴所求圆的方程为.(2)∵圆与直线相切，并切于点M(2，－1)，则圆心必在过点M(2，－1)且垂直于的直线：上，，即圆心为C(1，－2)，r=，∴所求圆的方程为：13．求经过三点A(－1，－1)，B(－8，0)，C(0，6)的圆的方程，并指出这个圆的半径和圆心坐标.解析设所求圆的方程为点A(－1，－1)，B(－8，0)，C(0，6)的坐标满足上述方程，分别代入方程，可得解得：D=8，E=－6，F=0 .于是得所求圆的方程为：,圆的半径r=,圆心坐标是.。